| dbo:abstract
|
- طريقة الفروق المنتهية (بالإنجليزية: Finite-difference method) هي تحليل عددي لحل المعادلات التفاضلية بتقريبهم مع معادلات الفروق، حيث تكون الفروق المنتهية تقارب المشتقات. فطريقة الفروق المنتهية هي طريقة تقطيع. طريقة الفروق المنتهية حاليًا هي النهج المهيمن في التحليل العددي للمعادلات التفاضلية الجزئية. (ar)
- En anàlisi numèrica, el mètode de les diferències finites és un mètode utilitzat per calcular de manera aproximada les solucions a les equacions diferencials usant equacions diferencials finites per aproximar derivades. (ca)
- Finite-Differenzen-Methoden (FDM), auch Finite-Differenzen-Verfahren, Methoden/Verfahren der endlichen Differenzen oder schlicht Differenzenverfahren, sind eine Klasse numerischer Verfahren zur Lösung gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen (DGL). Die grundlegende Idee des Verfahrens ist es, die Orts- und/oder Zeitableitungen in der Differentialgleichung in einem vorgegebenen Intervall der unabhängigen Variablen an Gitterpunkten in diesem Intervall durch Differenzenquotienten zu approximieren. Diese approximierten Lösungen der Differenzialgleichung an den Gitterpunkten lassen sich dann durch das entstehende lineare Gleichungssystem berechnen. Die erste Grafik illustriert die numerische Lösung einer partiellen DGL in 2D nach der FDM in einem krummlinigen -Koordinatensystem (Zylinderkoordinaten) mit 21 Gitterpunkten (20 Intervallen) in der r-Richtung und 11 Gitterpunkten (10 Intervallen) in der z-Richtung. Der diskretisierte Körper ist ein Zylinder mit einer Höhe von 100 cm und mit einem Radius von 200 cm. Es handelt sich eigentlich um einen (realen) 3D-Zylinder, der Besonderheiten besitzt. Die in die Berechnung eingehende Materialverteilung im Zylinder kann sich in Prinzip von Zelle zu Zelle ändern. In dem vorliegenden Modell hängt jedoch die Materialverteilung nicht von der polaren Koordinate, der -Koordinate, ab. Diese Eigenschaft muss prinzipiell auch jede physikalische Lösungsfunktion besitzen, die eine Observable ist. Somit wird das Problem zu einem mathematischen 2D-, einem -Problem. Da die Materialverteilung außerdem in z-Richtung eine Spiegelsymmetrieebene besitzt, wurde für als eine der Randbedingungen der Wert für den Gradienten vorgegeben und damit die Hälfte der Gitterpunkte eingespart. Der Zylinder ist also eigentlich 200 cm hoch. Als weitere Randbedingung wurde vorgegeben, dass die gesuchte Lösung an den Außenrändern verschwinden soll. Dass die Näherungslösung dem gehorcht, ist auf der Grafik zu erkennen. Es handelt sich bei diesem Zylindermodell um ein zwar einfaches, aber reales physikalisches Problem aus der Neutronendiffusionstheorie für ein spezielles Kernreaktormodell eines BN-Reaktors. Dargestellt wird der schnelle Neutronenfluss. In den Jahren von 1950 bis 1980 dominierte die FDM in den numerischen Programmen der Reaktorphysik zur Berechnung des Neutronenflusses. Verfahren dieser Art finden verbreitete Anwendung unter anderem bei fluiddynamischen Simulationen, zum Beispiel in der Meteorologie und der Astrophysik. Eine gewisse Verbreitung findet das Differenzenverfahren in der Baustatik. Schon 1904 analysierte Friedrich Bleich den Durchlaufträger; 1909 untersuchte Lewis Fry Richardson elastische Scheiben und 1919 elastische Platten mit dem Differenzenverfahren. Eine spezielle Finite-Differenzen-Methode zur numerischen Lösung der Wärmeleitungsgleichung ist das Crank-Nicolson-Verfahren. Zu den Pionieren des Finite-Differenzen-Verfahrens für partielle Differentialgleichungen zählen Lewis Fry Richardson, Richard Southwell, Richard Courant, Kurt Friedrichs, Hans Lewy, Peter Lax und John von Neumann. (de)
- En análisis numérico, el método de las diferencias finitas es utilizado para calcular de manera numérica las soluciones a las ecuaciones diferenciales usando ecuaciones diferenciales finitas para aproximar derivadas. (es)
- In numerical analysis, finite-difference methods (FDM) are a class of numerical techniques for solving differential equations by approximating derivatives with finite differences. Both the spatial domain and time interval (if applicable) are discretized, or broken into a finite number of steps, and the value of the solution at these discrete points is approximated by solving algebraic equations containing finite differences and values from nearby points. Finite difference methods convert ordinary differential equations (ODE) or partial differential equations (PDE), which may be nonlinear, into a system of linear equations that can be solved by matrix algebra techniques. Modern computers can perform these linear algebra computations efficiently which, along with their relative ease of implementation, has led to the widespread use of FDM in modern numerical analysis.Today, FDM are one of the most common approaches to the numerical solution of PDE, along with finite element methods. (en)
- En analyse numérique, la méthode des différences finies est une technique courante de recherche de solutions approchées d'équations aux dérivées partielles qui consiste à résoudre un système de relations (schéma numérique) liant les valeurs des fonctions inconnues en certains points suffisamment proches les uns des autres. Cette méthode apparaît comme étant la plus simple à mettre en œuvre car elle procède en deux étapes : d'une part la discrétisation par différences finies des opérateurs de dérivation/différentiation, d'autre part la convergence du schéma numérique ainsi obtenu lorsque la distance entre les points diminue. (fr)
- 数値解析における有限差分法（ゆうげんさぶんほう、英: finite-difference methods; FDM）あるいは単に差分法は、微分方程式を解くために微分を有限差分近似（差分商）で置き換えて得られる差分方程式で近似するという離散化手法を用いる数値解法である。18世紀にオイラーが考案したと言われる。 今日ではFDMは偏微分方程式の数値解法として支配的な手法である。 (ja)
- In matematica, il metodo delle differenze finite è una strategia utilizzata per risolvere numericamente equazioni differenziali che, nelle sue varianti, si basa sull'approssimazione delle derivate con equazioni alle differenze finite. Viene utilizzato prevalentemente per equazioni differenziali ordinarie, anche se il metodo viene sfruttato come schema di avanzamento nel tempo per problemi alle derivate parziali. (it)
- 유한차분법(有限差分法, 영어: finite difference method, FDM)은 유한차분 및 를 이용해 편미분방정식을 근사하는 방법이다. (ko)
- De eindige differentiemethode (Engels: finite difference method) is een methode in de numerieke wiskunde om partiële differentiaalvergelijkingen op te lossen. De methode bestaat erin de continue coördinaten te discretiseren door ze te vervangen door een rooster met afmeting en de partiële differentialen door eindige differenties. Zo wordt de Laplace-operator in 3 dimensies benaderd als De op te lossen partiële differentiaalvergelijkingen worden opgedeeld in drie klassen: elliptische, parabolische en hyperbolische differentiaalvergelijkingen. Elke soort vergt een eigen manier van eindige differentie. (nl)
- Метод конечных разностей — численный метод решения дифференциальных уравнений, основанный на замене производных разностными схемами. Является сеточным методом. (ru)
- Metoda różnic skończonych – metoda polegająca na przybliżeniu pochodnej funkcji poprzez skończone różnice, w zdyskretyzowanej przestrzeni. Można ją wyprowadzić wprost z ilorazu różnicowego, bądź z rozwinięcia w szereg Taylora. (pl)
- Finita differensmetoden (FDM) är en numerisk metod för att finna lösningar till differentialekvationer genom att ersätta derivatorna med . (sv)
- O método das diferenças finitas (MDF) é um método de resolução de equações diferenciais que se baseia na aproximação de derivadas por diferenças finitas. A fórmula de aproximação obtém-se da série de Taylor da função derivada. Hoje, os MDFs são a abordagem dominante das soluções numéricas de equações diferenciais parciais. O operador de diferenças finitas para derivada pode ser obtido a partir da série de Taylor para as seguintes funções: Portanto, a derivada primeira pode ser escrita de três formas distintas como uma diferença-quociente mais um termo de erro, obtido ao desprezar-se termos de ordem superior : , que é conhecida como fórmula das diferenças progressivas, ou , que é conhecida como fórmula das diferenças regressivas, ou ainda , que é conhecida como fórmula das diferenças centradas.Além disso, é possível obter derivadas de ordem superior. A derivada de segunda ordem é obtida a partir de e é dada por (pt)
- 在数学中，有限差分法（finite-difference methods，簡稱FDM），是一种微分方程数值方法，是通过有限差分來近似导數，从而寻求微分方程的近似解。 (zh)
- Методи скінченних різниць, методи сіток — чисельні методи розв'язку інтегро-диференціальних рівнянь алгебри, диференціального, інтегрального числення, основані на заміні диференціальних операторів різницевими операторами, інтегралів — сумами, а функцій неперервного аргументу — функціями дискретного аргументу. Така заміна приводить до системи, взагалі кажучи, , які зрештою зводяться до лінійної системи деяким ітераційним методом. Якщо початкова задача має вигляд , де — циліндрова область інтеграції — межа області , — її основа, — шукана вектор-функція і — задані вектор-функції, — просторовий векторний аргумент, і — оператори (не обов'язково обмежені), то найпростіша схема інтеграції початкового рівняння має вигляд: , Тут — , що є розв'язком різницевого рівняння, — різницеві оператори, залежні від параметрів , сітки, , — сіткова область, що апроксимує деяким чином область , — її границя і — сіткові функції, що апроксимують функції і відповідно. Окремим випадком схеми (2) є схема з вагами, коли , — ваговий коефіцієнт. Схема (2) називається двошаровою, оскільки вона зв'язує між собою значення і різницевого розв'язку на двох тимчасових шарах ; можливі також і багатошарові схеми. Якщо оператор , де — одиничний оператор, оборотний, то схема (2) може бути представлена у вигляді, що розв'язується де оператор називаєстья оператором кроку різницевої схеми і враховує крайові умови, а — функція, залежна від і . Кажуть, що оператор , залежний від параметра , апроксимує (приблизно) оператор , якщо при . Тут — деяке еталонне сімейство функцій, на якому перевіряється апроксимація (наприклад, сімейство достатньо гладких функцій). Схема (2) називається коректною, або стійкою, якщо , де означає норму оператора в деякому банаховому просторі. (див. ), яке може залежати від . Схема (2) апроксимує рівняння (1), якщо і . Для лінійних систем рівнянь встановлені , що стверджують, що збіжність різницевого рішення до розв'язку початкового рівняння виходить з апроксимації і коректності (стійкості) різницевої схеми. Якщо властивості апроксимації, стійкості і збіжності мають місце лише при деякому співвідношенні між параметрами сітки , , де , то їх називають умовними. Якщо ж ці властивості справедливі при будь-якому співвідношенні між і , то їх називають абсолютними. Схема (2) називається явною, якщо, і неявною, якщо . Схеми, що абсолютно збіжні, існують лише в класі неявних схем. Як правило, при відповідному виборі параметрів схеми (наприклад вагових коефіцієнтів) неявні схеми є абсолютно стійкими, вони допускають скільки завгодно великий крок . Але перетворення оператора ускладнює алгоритм. У разі одновимірних задач неявні схеми реалізують методом факторизації; вони є достатньо економічними. Для багатовимірних задач неявні економічні схеми одержують за допомогою , який зводить багатовимірні задачі до послідовності одномірних або простіших задач. Для розв'язання стаціонарних задач застосовують метод стаціонування (встановлення), в якому стаціонарний розв'язок розглядається як межа нестаціонарного розв'язку із стаціонарним (або що встановлюються) краєвими умовами. Відповідно до цього стаціонарну задачу вирішують ітераційним методом, аналогічним різницевому методу інтеграції (2). На відміну від нестаціонарного випадку, оператор для ітераційного процесу повинен бути сильно стійкий, тобто повинен задовольняти умові , . При розв'язку нелінійних задач, особливо в механіці суцільного середовища, застосовують комбінації схем інтеграції з ітераційними методами (т.з. ітерації по нелінійності). (uk)
|
| rdfs:comment
|
- طريقة الفروق المنتهية (بالإنجليزية: Finite-difference method) هي تحليل عددي لحل المعادلات التفاضلية بتقريبهم مع معادلات الفروق، حيث تكون الفروق المنتهية تقارب المشتقات. فطريقة الفروق المنتهية هي طريقة تقطيع. طريقة الفروق المنتهية حاليًا هي النهج المهيمن في التحليل العددي للمعادلات التفاضلية الجزئية. (ar)
- En anàlisi numèrica, el mètode de les diferències finites és un mètode utilitzat per calcular de manera aproximada les solucions a les equacions diferencials usant equacions diferencials finites per aproximar derivades. (ca)
- En análisis numérico, el método de las diferencias finitas es utilizado para calcular de manera numérica las soluciones a las ecuaciones diferenciales usando ecuaciones diferenciales finitas para aproximar derivadas. (es)
- 数値解析における有限差分法（ゆうげんさぶんほう、英: finite-difference methods; FDM）あるいは単に差分法は、微分方程式を解くために微分を有限差分近似（差分商）で置き換えて得られる差分方程式で近似するという離散化手法を用いる数値解法である。18世紀にオイラーが考案したと言われる。 今日ではFDMは偏微分方程式の数値解法として支配的な手法である。 (ja)
- In matematica, il metodo delle differenze finite è una strategia utilizzata per risolvere numericamente equazioni differenziali che, nelle sue varianti, si basa sull'approssimazione delle derivate con equazioni alle differenze finite. Viene utilizzato prevalentemente per equazioni differenziali ordinarie, anche se il metodo viene sfruttato come schema di avanzamento nel tempo per problemi alle derivate parziali. (it)
- 유한차분법(有限差分法, 영어: finite difference method, FDM)은 유한차분 및 를 이용해 편미분방정식을 근사하는 방법이다. (ko)
- Метод конечных разностей — численный метод решения дифференциальных уравнений, основанный на замене производных разностными схемами. Является сеточным методом. (ru)
- Metoda różnic skończonych – metoda polegająca na przybliżeniu pochodnej funkcji poprzez skończone różnice, w zdyskretyzowanej przestrzeni. Można ją wyprowadzić wprost z ilorazu różnicowego, bądź z rozwinięcia w szereg Taylora. (pl)
- Finita differensmetoden (FDM) är en numerisk metod för att finna lösningar till differentialekvationer genom att ersätta derivatorna med . (sv)
- 在数学中，有限差分法（finite-difference methods，簡稱FDM），是一种微分方程数值方法，是通过有限差分來近似导數，从而寻求微分方程的近似解。 (zh)
- Finite-Differenzen-Methoden (FDM), auch Finite-Differenzen-Verfahren, Methoden/Verfahren der endlichen Differenzen oder schlicht Differenzenverfahren, sind eine Klasse numerischer Verfahren zur Lösung gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen (DGL). Eine spezielle Finite-Differenzen-Methode zur numerischen Lösung der Wärmeleitungsgleichung ist das Crank-Nicolson-Verfahren. Zu den Pionieren des Finite-Differenzen-Verfahrens für partielle Differentialgleichungen zählen Lewis Fry Richardson, Richard Southwell, Richard Courant, Kurt Friedrichs, Hans Lewy, Peter Lax und John von Neumann. (de)
- In numerical analysis, finite-difference methods (FDM) are a class of numerical techniques for solving differential equations by approximating derivatives with finite differences. Both the spatial domain and time interval (if applicable) are discretized, or broken into a finite number of steps, and the value of the solution at these discrete points is approximated by solving algebraic equations containing finite differences and values from nearby points. (en)
- En analyse numérique, la méthode des différences finies est une technique courante de recherche de solutions approchées d'équations aux dérivées partielles qui consiste à résoudre un système de relations (schéma numérique) liant les valeurs des fonctions inconnues en certains points suffisamment proches les uns des autres. (fr)
- De eindige differentiemethode (Engels: finite difference method) is een methode in de numerieke wiskunde om partiële differentiaalvergelijkingen op te lossen. De methode bestaat erin de continue coördinaten te discretiseren door ze te vervangen door een rooster met afmeting en de partiële differentialen door eindige differenties. Zo wordt de Laplace-operator in 3 dimensies benaderd als (nl)
- O método das diferenças finitas (MDF) é um método de resolução de equações diferenciais que se baseia na aproximação de derivadas por diferenças finitas. A fórmula de aproximação obtém-se da série de Taylor da função derivada. Hoje, os MDFs são a abordagem dominante das soluções numéricas de equações diferenciais parciais. O operador de diferenças finitas para derivada pode ser obtido a partir da série de Taylor para as seguintes funções: e é dada por (pt)
- Методи скінченних різниць, методи сіток — чисельні методи розв'язку інтегро-диференціальних рівнянь алгебри, диференціального, інтегрального числення, основані на заміні диференціальних операторів різницевими операторами, інтегралів — сумами, а функцій неперервного аргументу — функціями дискретного аргументу. Така заміна приводить до системи, взагалі кажучи, , які зрештою зводяться до лінійної системи деяким ітераційним методом. Якщо початкова задача має вигляд , , Схема (2) називається явною, якщо, і неявною, якщо . (uk)
|
