「とねさんはついに一線を越えてしまったようだ。」という声が聞こえてきそうだが、そうではない。僕が興味をもったのはパンティストッキングではなく極小曲面、最小面積曲面のほうだ。
「極小」は「ごくしょう」ではなく「きょくしょう」と読む。極小と最小の違いはこの図で理解してほしい。ある限られた範囲でいちばん小さい値を極小値と呼ぶ。極小値がいくつかあったら、そのうちいちばん小さいものを最小値と呼んでいる。この図の場合は極小値が２つで、右側の極小値が最小値となっている。
話の発端は６年前にさかのぼる。「"5" で現れる不思議な形 (フェルマー点の話)」という記事でシャボン液の表面張力によってつくられる不思議な形のことを紹介した。この記事では２次元のシャボン液の膜による現象を扱ったわけだが、見える形としては膜を横から見た１次元の「線」の話である。
ネットで調べると立体的に作った針金の枠をシャボン液に浸して作る面白そうな実験がいくつか見つかった。なるほど、シャボン液の膜は表面張力によって３次元の空間の中でも面積が最小になるように張るのか。これは面白そうだ。僕もやってみたい。次のページを見れば、僕の気持がわかるだろう。
みんなの実験室14：**三角四角のしゃぼん玉？**
http://www2.tokai.or.jp/seed/seed/minnna14.htm
特に次の例には興味をひかれた。左がシャボン膜の面積が「最小」になっているケースで、右は面積が「極小」になっているケースだという。最小と極小をもたらす違いとは何だろうか？
２次元の場合だと６年前に僕の記事で図示した次のケースに対応する。この３次元版が上の左側の状況に対応するのだ。これは「４点を最小の長さの線で結ぶとこうなる。」ということを示した図だ。
でも同じことをやったのでは能がない。そして思いついたのがストッキングだ。シャボン液のときと同じ結果が得られるだろうか？それともまた違った結果になるのだろうか？
とはいえ自分で買う勇気はない。そこで「知り合い以上、友達未満」のマキちゃん（２５歳の女子）に事情を説明してお願いした。そして２週間くらいたってから受け取ったのがセブンイレブンで買ったというベージュ色のストッキング。（記事トップの写真）
事情を説明するのはとても大切だ。さもなければ変態と勘違いされて「知り合い未満」に格下げになる。
まずやってみたのがこれ。針金でできたハンガーを四角になるように折り曲げてにストッキングをかぶせてみた。
蝿たたきのようにストッキングは平面に張る。あらゆる方向に均等な張力が働いた結果、面積は最小になっていることもわかりやすい。
次に試してみたいのが乗馬で使う鞍のようなこの形。数学的には曲率（正しく言えば「ガウス曲率」）がマイナスになるケース。
曲率についてだが１次元、つまり曲線のときはわかりやすい。たとえば放物線を例にとって言えば、下に凸の放物線は曲率がプラス、上に凸の放物線は曲率がマイナス。そして曲率がゼロのときは「直線」になる。曲率の正負は放物線の方程式の係数 a の正負に一致するように決めておこう。
ところが２次元、つまり曲面の曲率はもう少し複雑だ。上の馬の鞍のような形は縦方向は上に凸で、横方向は下に凸。このとき曲率（ガウス曲率）はマイナスになる。ガウス曲率は縦方向の曲率と横方向の曲率の積（掛け算）で計算するのでマイナスｘプラス＝マイナスというのがその理由だ。
ガウス曲率 ＝ 縦方向の曲率 ｘ 横方向の曲率
そして針金をそのように曲げて作ってみたのが馬の鞍の形。針金を縦方向と横方向逆に曲げて作る。方向を変えてとりあえず３枚。
理由は後で述べるが、この曲面は最小面積になっているのだ。面の周囲が曲がった針金の枠に固定された条件で、内側の面のすべての点で張力が縦方向、横方向均等につりあっている状態である。
曲面の場合、曲率にはいくつかの種類がある。上で述べたガウス曲率の次に説明するのが「平均曲率」というものだ。平均曲率は縦方向の曲率と横方向の曲率の平均（縦曲率と横曲率を足して２で割る）で計算する。この乗馬の鞍の場合はプラスとマイナスがちょうど差し引きされてゼロになる。
平均曲率 ＝ （縦方向の曲率 ＋ 横方向の曲率）÷２
つまり、このような２つの曲面についてガウス曲率と平均曲率が計算できる。
赤線を縦方向、黒線を横方向とみなすことにすれば次のようになる。
左の曲面のガウス曲率＝マイナスｘマイナス＝プラス
左の曲面の平均曲率 ＝（マイナス＋マイナス）÷２＝マイナス
右の曲面のガウス曲率＝マイナスｘプラス＝マイナス
右の曲面の平均曲率 ＝（マイナス＋プラス）÷２＝ゼロ
そして次の「３次元ユークリッド空間内の極小曲面」というページを見ると冒頭には次のように書かれている。『平均曲率が曲面上のいたるところで0となる曲面を極小曲面と呼びます。 ワイヤーフレームに張る石けん膜は表面張力により面積が極小になります。 この面積極小という性質を変分法によって定式化すると、「面積が極小ならば平均曲率が0となる」ことが示されます。 』
３次元ユークリッド空間内の極小曲面
http://www.comp.tmu.ac.jp/tsakai/lectures/soron2010.html
僕が面白いと思うのは外との境界になる枠の形が決まれば、枠の中の曲面の形が１通りに決まるということだ。外枠を変形させれば曲面の形もそれに応じて変化する。
実をいうとこれは一般的にすべての次元について成り立っているのだ。たとえば次の写真は「光弾性を使った力の教材化」というページから借用した透明なスーパーボールなのだが、ボールの境界面（球の表面）に力を加えて内部の歪みを視覚化している。境界面に加える力の位置や方向、大きさに応じて、立体的な内部の圧力はその方向も含めてあらゆる場所で１通りに決まる。
外側の境界条件を決めれば内部すべての状況が決まってしまう。たとえ次元の数が違っていても数学的には同じことなのだ。ひもの境界は両方の端点であり、面の境界は外周であり、立体の境界はその表面全体である。４次元以上でも同じこと。そこにはあらゆる次元で成り立つ１つの定理が存在しているのだ。１次元のひもの場合は両端の位置を決めて吊るすと、垂れたひもの曲線が１通りに決まるということを示している。
ともかく乗馬の鞍形にストッキングを張ると面積は「極小」になっているわけだな。それじゃ「最小」と「極小」はどうやって区別すればよいのだろう？
疑問はそのままにしておいて、次の形で試してみることにした。CDやDVDを50枚まとめて買うと、このような物体を手に入れることができる。ストッキングに課せられた条件は、下の円の周囲と中央の柱のてっぺんを通るということだ。
これにストッキングをかぶせれば、面積が最小か極小になると思われるから、円錐のような形があらわれるだろうか？なぜなら柱のてっぺんと下の円周を結ぶ最短距離は直線になり、それは円錐の側面の直線（これを母線と呼んでいる）になりそうだから。
ところがやってみると次のようになった。容易に想像できた形なのだが、実際にやってみると美しい曲面があらわれたので、しばらく鑑賞してしまった。そしてこの形はシャボン膜では容易に作れない。
真横から見ると、斜面には何かの数式であらわせそうな曲線があらわれている。そして柱のてっぺんでストッキングの面は垂直になっていることがわかる。
はたしてこれは面積最小になっているのだろうか？それとも極小？理由はさらに後に持ち越すが、これで面積最小になっているのだ。
でも、もしかしたらストッキングをもっと強く張って、つまり下のほうを強く絞ったら形は円錐に近づくのだろうか？そして最大限強く張ったらほとんど円錐になるのだろうか？
やってみたのだが、形はほとんど変わらなかった。相変わらず「富士山型」の美しい曲面のままだった。この富士山型も平均曲率はゼロなので「極小曲面」になっている。
これは数学的に何か名前のついている曲面なのだろうか？
そして次に気になったのがこのような鼓（つづみ）の形。さきほどの「３次元ユークリッド空間内の極小曲面」というページによるとこれも平均曲率はゼロだから極小曲面のひとつで「懸垂面（けんすいめん）」という名前がつけられている。このときストッキングに課せられた条件は、上と下の円周を通るということだ。
この形をストッキングで作るためには上と下で同じ半径の円盤を用意しなければならない。
しばらく考えた末、先日買った「ちびくろちゃん ２号炊き」のフタがちょうどよい具合に使えることに気がついた。
そして出来上がったのがこの曲面。円柱にはならなかった。ストッキングを強く張ってもこの曲面はくずれずに安定している。極小曲面の完成だ。
そして僕が次に見つけたのがこのPDF文書。
曲面の変分問題（極小曲面論入門）
http://www.jst.go.jp/crest/math/ja/suugakujuku/archive/text/3_Koiso_text.pdf
数式がたくさん書いてあり、とても難しいのだが12ページ目にこのような図を発見。
そうか、「極小曲面」には安定なものと不安定なものがあるわけか。そしてPDF文書内のこの図のすぐ上に「物理的に実現される極小曲面は安定なものだけであると言ってよい。したがって、極小曲面のうちで安定なものとそうでない(不安定な) ものとを区別することは自然である。」という説明がある。
つまり数学的には極小曲面はいくつもあるが、そのうち物理現象として実現するのはただ１つで最小面積曲面になっているというわけか。そうすると、これまでストッキングを使って作った曲面は、ぜんぶ物理的に安定したものだから面積が最小になっているということになる。集合の包含関係で示せば次のようになる。
（数学的な）極小面積曲面 ⊃ （物理的な）最小面積曲面
ストッキングの面の各点ではその周囲の360°全方向に張力が働くことで、できるだけ縮もうとする。あらゆる点における微小領域が可能な限り縮んだ状態になり、それが全体の面積を最小にするから最小面積曲面に落ち着く。これが物理的にあらわれる現象の直観的な説明だ。
「懸垂（けんすい）」というのがキーワードだ。ひもや鎖をだらんと垂らしてできる曲線のことを「懸垂線」と呼んでいる。
懸垂線を関数として求め、そのグラフを描いてみたい。これは「変分法」というのを使って解く問題で、次のページのようにして求めることができる。
懸垂線の２通りの導出
http://mathtrain.jp/catenary
その結果、次のように懸垂線の数式とグラフを得ることができた。
上の変分法のページには懸垂面の図が描かれていることにお気づきだったろうか？ そう、懸垂線を中心軸のまわりに回転させると懸垂面ができあがるのだ。厳密なことを言えば懸垂面についても変分法を使って極小曲面を導かなければいけないわけだが、難度が高すぎるので今回は省略させていただく。
ところで「富士山型」の最小面積曲面なのだが、この上に同じ富士山を逆さまにしてつなげるとこのような形になる。
実はこれも懸垂面なのだ。中心が極端に絞られているとはいえ、物理的には安定している。富士山型の最小面積曲面はこの形の下半分だったというわけ。上と下の富士山の曲面はその頂上のところでなめらかにつながる。それぞれ頂上のところで曲面が垂直になっているからだ。
この場合、ストッキングに課せられた条件は上下の円周を通るということだけでなく、上下の円盤の中心から柱が突き出ているとして、その柱の頂点を通るということも加えられる。上で説明した２つならべた鼓のときよりも条件がきつくなっていることに注意したい。
ひもや鎖を垂らしてできる懸垂線は、自分自身の重さでそのような形に垂れるわけだが、懸垂面のほうは面の表面張力によってそのような形の面が形成される。両者の力学的メカニズムは全く違うのに同じタイプの数式であらわされる曲線が出てくるというのはとても興味深い。
ほかにもいくつかの形で試してみた。以下はすべて最小面積曲面である。それぞれストッキングに課せられる条件を想像しながら数学的な曲面の美を堪能していただきたい。
この最後の例なのだが、みなさんはお気づきだろうか？ 傘の布地は骨と骨の間が少しへこんでいる。デザインのためにそういう形にしているのではない。これも最小面積曲面になっているからなのだ。
極小曲面で「面積が極小ならば平均曲率が0となる」ということの証明は、昨年T_NAKAさんがブログ記事をお書きになっているので（理数系大学生の方は）お読みになっていただきたい。
いろいろな曲面（２）＿ b ）極小曲面
http://teenaka.at.webry.info/201308/article_21.html
曲線や曲面の数学は曲線論・曲面論と呼ばれていて、微分幾何学の分野のひとつだ。微分幾何学を創始したのはアイザック・ニュートンで、曲面論は1800年代から大数学者ガウスをはじめ、多くの数学者によって研究された。
ガウスの弟子のひとりであるレオンハルト・リーマンは後に曲面論を多次元（N次元）に一般化させ、1867年に「リーマン幾何学」を発表した。そしておよそ50年後、リーマンの曲がった多次元空間の幾何学を４次元の曲がった時空に使うことでアインシュタインは一般相対性理論を発表することができたのだ。
幾何学の基礎をなす仮説について：ベルンハルト・リーマン
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/22be602fe4cee385a9939c0869c511eb
時空の幾何学：特殊および一般相対論の数学的基礎
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/ffc643a688ce45dec7460d107fe1392e
一般相対性理論に挑戦しよう！
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/ea7ad9292ce01ad4abbbc8c98f3303d0
曲線や曲面の数学的性質について学びたい方は、次の名著をお勧めしたい。（ただし高校生には難しすぎるので無理。）第５章が極小曲面の解説にあてられている。
「曲線と曲面の微分幾何（増補版）: 小林昭七著」（紹介記事）
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2019年3月26日に追記： その後このような本が刊行された。
「極小曲面入門 2019年 03 月号 [雑誌]: 数理科学 別冊」
ネットで学びたい方はこちらのサイトがよいと思う。
微分幾何
http://sshmathgeom.private.coocan.jp/diffgeom/diffgeom.html
中学生や高校生にとって夏休みはもうすぐだ。自由研究にストッキングを使ったこの実験をしてみようと思った人もいるかもしれない。
でもそれはやめたほうがよい。なぜなら「極小曲面」や「最小面積曲面」という日常的に使わない数学用語は友達や兄弟には覚えにくい言葉だ。難しい言葉は忘れられて「～クンはストッキングの研究をしているようだ。」とか「～クンはストッキングをたくさん集めているらしい。」のようにあなたの噂が陰口として広まっていくだろう。
いちど貼られた変態のレッテルをはがすのは容易なことではない。
そのようなリスクを覚悟の上で実験をしてみたいという人は、こちらからどうぞ。
「きれいに魅せるオールスルーサポートパンティストッキング（パンスト）3足セット」
今回の話のオチはこの写真。ストッキングをかぶった多数のマネキン。これらも最小面積曲面になっていて、このページから拝借させていただいた。なぜこのようなことをしているのかは不明。
参照元のページによるとマネキンの顔はそれぞれ違うそうだ。顔の凹凸がストッキングに課せられた条件となる。最小面積曲面の形もそれに対応して微妙に違っていることに注意してほしい。
つまりこれは変分問題を自分で設定して最小面積曲面を求めるためには、課せられる条件をきちんとおさえておくことが大切であることを示している。
関連ページ：
今回の記事のテーマは数学では「プラトー問題」と呼ばれているものだ。次のようなページを参照してほしい。最後の２つのPDF資料はこの問題を数学的に解く方法を紹介している。
プラトーの問題（中学生に数学の美しさを授業する）
http://home.e-catv.ne.jp/suzuho/Plateau.html
空間図形７ 雑談で高等数学の魅力を伝える
http://blog.livedoor.jp/ddrerizayoi/archives/2015-12-09.html
曲面の変分問題（極小曲面論入門）
http://www.jst.go.jp/crest/math/ja/suugakujuku/archive/text/3_Koiso_text.pdf
シャボン玉はなぜ丸いか（曲面の変分問題と自然現象）
http://www.math.kyushu-u.ac.jp/Ext-Course/Open-Lect/zi_liao_files/koiso2011.pdf
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自然というのは難しい計算を瞬時にやって、このような形で一気に表現してしまうのですね。禁句かもしれませんが、とても神秘的です。それとも我々人間が自然の造形の瞬間的な刹那に難しい解釈を施してしまうのか。いや、法則が確立されている以上、あくまで前者でしょう。人間はときに間違いを犯してしまう存在であり、人間から見た自然は不可知なので。
これはもしかして、雪の結晶の形成も極小曲面に関係しているのでしょうか？ エネルギー消費の一番少ないありようを探した結果、結晶という形になってしまう、という。最適化問題やP≠NP予想を考える際によく出てくる「巡回セールスマン問題」も類似の問題といっていいのか悪いのか？ 北海道大学の中垣俊之先生や東工大の原正彦先生などは、餌と餌の最短距離をつないでルートを形成する粘菌の性質を利用して、粘菌コンピュータの回路の設計や研究をしているそうです(参考: Wikipedia 「粘菌コンピュータ」)。
地球には素数蝉も存在することですし、人間が地球最高の知的生命体だと名乗るのは、もう少しこういう不思議が解明されてからでも遅くないかもしれません。でも、ちょっと問題を広げ過ぎましたね。では。
ありがとうございます。実験や記事に手間をかけた甲斐がありました。
自然の行う「瞬時の計算」というのは、結局のところ「解析力学」なのだと思います。
雪の結晶の形成については学んだことがないのでわかりませんが、いくつものパターンがあるのでそれは、この記事の立方体内のシャボン膜のように複数の選択肢のうちひとつを選ぶメカニズムも働いていると思います。
「複数の極小から一つの最小を選ぴとる難しさ、そして自然がそれを行える神秘的の力を感じたものです。」
まさにそう思えますね。記事で紹介したＰＤＦ文書にも「Ｒ＾３の凸領域の境界上にある滑らかな単純閉曲線は、安定で自己交差をもたない円盤型極小曲面を高々有限個しか張らない（M.Kiso, 1983）」という定理が紹介されていました。その中から１つの最小を選び取るというのは、与えられた状況によって異なってきます。そのあたりも深く学んでいきたいと思いました。
そう言えば、ファインマンの「光と物質の不思議な理論」でも、最後の結論で、すべては「ある一つの原理」によって決まる、のような思わせぶりな表現で結ばれていて、何の原理?、と調べたら「最小原理」というものだったことを覚えています。素粒子は、ありとあらゆる可能性の中から、「最もシンプルなプロセス」が確率的に現れる、という経路積分の話で、つまり「出現頻度(曲線)」そのものも最小原理のカタチをなしている、ってことかぁ・・・、と思いました。
つまり「ストッキングの原理」も、次元は違っても、同じ自然界の原理に基いているのだろうなぁ・・・、と。
ということはこれは、結晶とかも含め、自然界の形態形成の法則でもあるのでしょうか。ついでに、「美」(美しいライン、とか・・・感覚的秩序)の法則でもあるのでしょうか。
古典力学の原理を「一般化(あらゆる座標系に普遍化)」したのが解析力学で、自然界の形態形成もそれに基づく、ということは、ものすご～～く普遍的な原理ですよね。
とすると、私の顔がこういう形をしているのも、あるいは老化のシワとかも、最小面積の原理が関与しているのでしょうか。一体、何と何の力の均衡(せめぎ合い)でこうなっているものやら・・・。(笑)
本文、「枠の外側の境界が決まると、中が一通りに決まる」
これは、中よりも一つ次元が低い枠の外側が、中の状態を決めてしまう、というところが大変興味深いです。
コメントありがとうございます。
> ということは、ものすご～～く普遍的な原理ですよね。
はい、解析力学は古典力学だけでなく電磁気学、熱力学・統計力学、相対性理論、量子力学、場の量子論などあらゆる基礎物理学で成り立っていますね。
> 私の顔がこういう形をしているのも、あるいは老化のシワとかも、最小面積の原理が関与しているのでしょうか。一体、何と何の力の均衡(せめぎ合い)でこうなっているものやら・・・。(笑)
個人個人の顔の差は、遺伝子の違いによるところが大きいでしょうけれども、成長過程、老化の過程にも変分原理はきっと作用しているのでしょうね。
肥満の人についていえば、あれはあれで一応「最小」なのかな？と思ったりもします。
とはいいつつ、生物の行動は「最小」とは異なる動きをすることもあります。今日も僕は意味もなく寄り道をして帰ってきました。
非常に興味深い内容で、もともと複雑系やシステム論が好きだった自分には、思いっきりツボでした…がそれはさておき、解析力学です。
いわく、数学には、代数学と解析学の二大支柱があり、方程式などを扱う「代数学」が「静的な関係性の世界」を表すのに対し、微分積分に始まる「解析学」は「動きの世界」を表す、とありました。
だから、物理学とは「物質が動いている世界(宇宙)」についての学問なので、「動き」を対象とする「解析学」が物理学全体の土台となるのですね。(創始者ニュートンが微分積分の発見者であるのも、そういうわけだったのか、と知りました。)
ところで、ブログ本文の具体例なのですが、それぞれ何と何の力の均衡でできているか、と考えますと、シャボン玉の場合は、水が膜を伝って滴り落ちて、「膜を引き裂く力」と、それを繋ぎ止める「表面張力の粘り(分子間力)」の均衡、ストッキングの場合は、ストッキングを「全方位に引っ張る力」と「ストッキングが縮む力」の均衡、そして二点から垂れるロープは「地球が下に引っ張る力」と「ロープが(ちぎれず)繋がっている力」との均衡で、それらの「二力のせめぎ合い」が「ベストポイント＝最小作用」に落ち着くのかと思います。
それが「二力の均衡」である、ということは、止まっているようで実は「絶えずせめぎ合っている力」の「動的プロセス」として出現し続けており、その「動的プロセス」が、「最小作用」の中に安定(ループ)した結果、静的な「カタチ(造型)」として現れている、ということかと思いました。だから「最小」とは、「最高のバランス」を描き続ける「動的プロセス」の「作用」であり、それが「解析学」(動きの数学)となるのかな、と思いました。
「二力の均衡」に関して、とねさんが上に提起なさった生物に関する問題ですが、とねさんの「お家に帰ろう」という力と、「それを引き止める何らかの別要素(・・・・・誘惑?)」との二つの力が均衡し(せめぎ合い)、「途方もない寄り道」にも「直帰」にもならず、その瞬間の「最小作用」に落ち着いたのかもしれない、と・・・。
(↑文中間違いがございましたら、訂正してやって下さいませ。)
「物理数学の直観的方法」の「長い後書き」はすばらしいですよね。僕も感動しながら読みました。
なぜなぜ坊さまの「代数学」や「解析学」についてのご理解はたいしたものだと思います。微積分や解析学で、時間変数 t による微分を含んだ式は、すべて動的な変化をあらわすものです。もちろん座標変数の微分を含んだ静的なケースもあるわけですが。代数学は数学や方程式の構造や解法を研究する分野ですので、静的ですね。
「二力の均衡」についてのご理解も、お書きになっているとおりだと思います。
そして、最後にお書きになっている「寄り道」の件についてですが、ちょっとだけ違います。何かの誘惑で寄り道したわけではなく、早く家に着いてしまうのは嫌だなぁという心理が働いて、目的地もなく無駄なルートを選んで帰宅していたのです。（笑）