Bohrov model atoma

Bohrov model atoma vodika (Z=1)

Bohrov model atoma (fon. Borov model) predstavlja atom sa malim pozitivno naelektrisanim jezgrom oko kojeg se elektroni kreću u kružnim orbitama slično kretanju planeta oko Sunca. Dakle, po Borovom modelu atom je sličan planetarnom sistemu s tom razlikom što privlačna sila potiče od elektrostatičke interakcije a ne od gravitacije. Glavni uspjeh modela, koji je predložio Niels Bohr 1913. godine, je objašnjenje Ridbergove formule za spektralne emisione linije atomskog vodonika. Ridbergova formula je eksperimentalno od ranije bila poznata ali je tek Borovim modelom bila kvantitativno teorijski objašnjena i povezana sa osnovnim osobinama atoma.

Historija

Iz Rutherfordovih eksperimenata postalo je jasno da su pozitivno naelektrisanje i masa atoma skoncentrisani u centru atoma oko kojeg se nalazi difuzni oblak eletrona, nosioca negativnog naelektrisanja. Iz toga se prirodno nametnuo planetarni model atoma u kojem se elektroni kreću oko jezgra poput planeta oko Sunca. Međutim, planetarni model atoma nailazio je na brojne poteškoće u pogledu objašnjenja stabilnosti atoma i prirode atomskih spektara. Na primer, prema klasičnim zakonima eletrodinamike, naeletrisanje u kružnoj putanji mora da emituje elektromagnetno zračenje gubeći pri tome energiju. Tako bi i elektron u kružnoj orbiti oko jezgra trebalo neprekidno da emituje zračenje. Pri tome bi zbog gubitka energije njegova putanja trebalo da bude spiralni pad u atomsko jezgro a emitovano zračenje kontinualno jer se energija emitera neprekidno smanjuje. Međutim još krajem 19. vijeka u brojnim eksperimentima sa električnim pražnjenjem u razrijeđenim gasovima pokazano je da atomi emituju zračenje na diskretnim, dobro definisanim frekvencijama. Problem primjene klasične elektrodinamike na atomske sisteme Bohr je riješio predloživši teoriju koja je uspješno objasnila spektre jednoelektronskih atoma.

“	Nemogućnost teorija klasične fizike da objasne atomske fenomene je potom još više došla do izražaja napretkom našeg znanja o strukturi atoma. Raderfordovo otkriće atomskog jezgra (1911 g.) je odjednom otkrilo nepogodnost pojmova klasične mehanike i klasičnog magnetizma da objasne stabilnost atoma. I ovdje je opet kvantna teorija dala ključ za razjašnjenje situacije, a, posebno, postalo je moguće objašnjenje atomske stabilnosti, kao i empirijskih zakona koji upravljaju spektrima elemenata, polazeći od pretpostavke da se svaka reakcija atoma u kojoj dolazi do izmjene energije događa u potpunosti preko prijelaza između tzv. stacionarnih stanja, i da spektri nastaju u stepenastim procesima u kojima je svaki prijelaz praćen emisijom monohromatskog svetlosnog kvanta.	”
Niels Bohr

Bohrova teorija se može izložiti u obliku Bohrovih postulata (pretpostavki):

1. Elektron ne može kružiti oko jezgre po bilo kojim već samo pod tačno određenim kvanitziranim stanjima. To su tzv. dopuštene ili stacionarne staze. Krećući se po njima elektron se nalazi u stacionarnom stanju i ne emituje energiju.
2. Atom apsorbira zračenje samo kada primi određeni kvant energije i emituje određeni kvant energije kada prelazi iz jednog stacionarnog stanja u drugo (tj. kada prelazi iz stanja više energije u stanje niže). Atom ne može sponatno preći iz stanja niže u stanje više energije, nego tek kada biva pogođen sa određenim kvantom energije (fotonom). Prelazak iz višeg stanja u niže je spontan događaj, uokviren statističkom prirodom, pri čemu se emituje kvant energije (foton). Frekvencija emitovanog fotona pri prelasku iz višeg stanja u niže je prema Bohrovoj formuli:

$E_{2}-E_{1}=h\nu \,$

gdje je h - Planckova konstanta.

Energetski nivoi elektrona

Bohrov model je tačan samo za jednoelektronske sisteme poput vodonikovog atoma ili jednostruko ionizovanog helijuma ili dvostruko ionizovanog litijuma. Izvođenje formula za energetske nivoe počinje sa tri jednostavne pretpostavke:

1) Energija elektrona u orbiti je suma njegove potencijalne i kinetičke energije:

$E\,$	$=E_{kin}+E_{pot}\,$
	$={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m_{e}v^{2}-{\frac {kq_{e}^{2}}{r}}\quad \quad \quad \quad \quad (1)$

2) Moment impulsa elektrona može imati samo određene diskretne vrijednosti:

$L=m_{e}vr=n{\frac {h}{2\pi }}=n\hbar \quad \quad \quad \quad \quad (2)$

gdje je n glavni kvantni broj, n = 1,2,3,…, h Planckova konstanta, i $\hbar =h/(2\pi )$.

3) Elektron u orbiti održava Kulonova sila, dakle, Kulonova sila jednaka je centripetalnoj sili:

${\frac {kq_{e}^{2}}{r^{2}}}={\frac {m_{e}v^{2}}{r}}\quad \quad \quad \quad \quad (3)\,$

Pomnožimo li obje strane jednačine (3) sa r:

${\frac {kq_{e}^{2}}{r}}=m_{e}v^{2}\quad \quad \quad \quad \quad (4)\,$

sa lijeve strane dobijamo izraz za potencijalnu energiju čijom zamjenom u jednačini (1) nalazimo da je ukupna energija elektrona u orbiti:

$E={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m_{e}v^{2}-{\frac {kq_{e}^{2}}{r}}=-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m_{e}v^{2}\,\quad \quad \quad \quad \quad (5)$

Brzina elektrona je iz jednačine (2):

$r={\frac {n\hbar }{m_{e}v}}.\,$

što zamjenom u jednačinu (4) daje:

$kq_{e}^{2}{\frac {m_{e}v}{n\hbar }}=m_{e}v^{2}\,$

odnosno:

${\frac {kq_{e}^{2}}{n\hbar }}=v\,$

Zamjenom ove vrijednosti za brzinu v u izrazu za energiju, (5), a također i vrijednosti za k i \hbar, nalazimo da energija elektrona u orbitama atoma vodonika ima diskretne vrijednosti koje zavise od glavnog kvantnog broja, n:

$E_{n}\,$	$={\frac {-1}{2}}m_{e}\left({\frac {kq_{e}^{2}}{n\hbar }}\right)^{2}\,$
	$={\frac {-1}{2}}m_{e}\left({\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}q_{e}^{2}{\frac {2\pi }{nh}}\right)^{2}\,$
	$={\frac {-m_{e}q_{e}^{4}}{8h^{2}\epsilon _{0}^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}\,$

Uvrštavanjem konstanti dobija se:

$E_{n}=(-13.6\ \mathrm {eV} ){\frac {1}{n^{2}}}\,$

Izračunavanje poluprečnika putanje

Iz jednačine (3) pošto je količina kretanja jednaka $p^{2}=v^{2}m_{e}^{2}$, slijedi da je:

${\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r^{2}}}={\frac {p^{2}}{m_{e}r}}$

Preuređivanjem se dobije:

${\frac {m_{e}}{4\pi \varepsilon _{0}}}e^{2}r=p^{2}r^{2}$

Prema kvantnom uslovu, na desnu stranu jednačine umjesto $p^{2}r^{2}$ uvrstimo $(n{\frac {h}{2\pi }})^{2}$ jer je $p=m_{e}v$, a reducirana konstanta $frac{h}{2\pi }$

${\frac {m_{e}}{4\pi \varepsilon _{0}e^{2}r}}=(n{\frac {h}{2\pi }}^{2})$

Iz te jednačine izvučimo poluprečnik (r):

$r=n^{2}{\frac {h^{2}}{4\pi ^{2}}}{\frac {4\pi \varepsilon _{0}}{m_{e}e^{2}}}$

gdje je n kvantni broj koji može imati vrijednosti n=1,2,3, ...

Bohr je ovu formulu skratio uvevši oznaku α, $a={\frac {h^{2}\varepsilon _{0}}{\pi e^{2}m_{e}}}$ , koja označava najmanji mogući poluprečnik kružne putanje, tako da se formula može izraziti kao $r_{n}=n^{2}a$.

Vidimo da su vrijednosti koje sačinjavaju a konstante, pa je samim tim i α konstanta i iznosi α=0,53*10^-10 metara i naziva se Bohrov poluprečnik.

Ridbergova formula

Rydbergova formula (fon. Ridbergova formula), koja je bila empirijski poznata prije Bohrovih jednačina, u svjetlu Bohrove teorije može se shvatiti da opisuje energije kvantnih prijelaza između dobro definisanih energijskih nivoa. Bohrova formula daje numeričke vrijednosti već poznate i mjerene Ridbergove konstante, ali sada izražene preko fundamentalnih konstanti prirode, uključujući i naelektrisanje eletrona i Planckovu konstantu.

Kada elektron prelazi sa višeg energetskog nivoa na niži dolazi do emisije fotona. Korištenjem izvedenih formula za energetske nivoe vodonikovog atoma moguće je izračunati talasne dužine fotona koje ovaj atom emituje.

Energija emitovanog fotona jednaka je razlici energija nivoa među kojima dolazi do elektronskog prelaza:

$E=E_{i}-E_{f}={\frac {m_{e}q_{e}^{4}}{8h^{2}\epsilon _{0}^{2}}}\left({\frac {1}{n_{f}^{2}}}-{\frac {1}{n_{i}^{2}}}\right)\,$

gdje je q_e naelektrisanje elektrona (1,60 × 10⁻¹⁹ C), n_f je konačni nivo (final) a n_i glavni kvantni broj početnog (initial) energetskog nivoa. Normalno, početni je nivo sa većom energijom.

Pošto je energija fotona:

$E={\frac {hc}{\lambda }},\,$

njegova talasna dužina je:

${\frac {1}{\lambda }}={\frac {m_{e}q_{e}^{4}}{8ch^{3}\epsilon _{0}^{2}}}\left({\frac {1}{n_{f}^{2}}}-{\frac {1}{n_{i}^{2}}}\right).\,$

što predstavlja Ridbergovu formulu. Ova formula, gde su sve numeričke konstante bile stopljene u jednu, Ridbergovu konstantu, R, je empirijski bila tačno izmjerena i poznata u spektroskopiji još krajem 19. vijeka. Međutim, teorijskog objašnjenja i njene veze sa drugim fundamentalnim konstantama nije bilo dok Bohr nije izveo navedene jednačine. Izračunavanje talasnih dužina spektralnih linija zasnovano na Bohrovom modelu atoma, je dalo izvanredno slaganje sa eksperimentalnim rezultatima za spektar vodonika, dok su emisioni spektri drugih hemijskih elemenata bili u neslaganju s računom izvedenim iz ovog modela.