Teorema de Pascal

El teorema de Pascal (també anomenat Hexagrammum Mysticum Theorema) és un fonamental teorema de la geometria projectiva en què s'estableix que si un hexàgon arbitrari es troba inscrit en alguna secció cònica, i s'estenen els parells oposats de costats fins que es creuen, els tres punts en els quals s'intersecten es trobaran ubicats sobre una línia recta, anomenada la línia de Pascal d'aquesta configuració.

Figura 1. L'hexàgon irregular ABCDEF es troba inscrit en un cercle. Els seus costats s'estenen de forma tal que els parells de costats oposats s'intersecten en la línia de Pascal. Cada parell de costats oposats té un color propi: vermell, groc i blau. La línia de Pascal es troba indicada amb el color blanc.

El teorema de Pascal és una generalització del teorema de l'hexàgon de Pappus, i del dual projectiu del teorema de Brianchon. També és el teorema invers del teorema de Braikenridge-Maclaurin. Va ser descobert per Blaise Pascal el 1639 quan tenia 16 anys.

El teorema de Pascal va ser generalitzat per Möbius el 1847.

Referències

• Biggs, N. L. «T. P. Kirkman, mathematician». The Bulletin of the London Mathematical Society, 13, 2, 1981, p. 97–120. DOI: 10.1112/blms/13.2.97.

• Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L.. Geometry Revisited. Washington, DC: Mathematical Association of America, 1967, p. 76. 

• Guggenheimer, Heinrich W. Plane geometry and its groups. San Francisco, Calif.: Holden–Day Inc., 1967. MR 0213943. 

• Mills, Stella «Note on the Braikenridge–Maclaurin Theorem». Notes and Records of the Royal Society of London. The Royal Society, 38, 2, 1984, p. 235–240. DOI: 10.1098/rsnr.1984.0014.

• Modenov, P.S.; Parkhomenko, A.S.. Michiel Hazewinkel (ed.). P/p071780. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 

• Smith, D.E.. History of Mathematics. I. Dover, 1958. ISBN 0-486-20429-4. 

• Smith, David Eugene. A Source Book in Mathematics. Dover, 1959. ISBN 0-486-64690-4. 

• Stefanovic, Nedeljko. A very simple proof of Pascal's hexagon theorem and some applications. Indian Academy of Sciences, 2010. 

• Wells, David. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Londres: Penguin Books, 1991. ISBN 0-14-011813-6. 

• Young, John Wesley. Projective Geometry. The Mathematical Association of America, 1930. 

• van Yzeren, Jan «A simple proof of Pascal's hexagon theorem». The American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America, 100, 10, 1993, p. 930–931. DOI: 10.2307/2324214. ISSN: 0002-9890. MR 1252929.

Enllaços externs

• Interactive demo of Pascal's theorem (Java required) at cut-the-knot.
• 60 Pascal Lines (Java required) at cut-the-knot.
• The Complete Pascal Figure Graphically Presented Arxivat 2012-11-29 at Archive.is by J. Chris Fisher and Norma Fuller (University of Regina).