Limes superior a limes inferior

Postupné přibližování $\sup _{m\geq n}x_{m}$ k $\limsup x_{n}$ a obdobně pro limes inferior

V matematice, zejména v matematické analýze, se pod limes superior a limes inferior dané posloupnosti rozumí její omezení seshora, respektive zespoda, „v nekonečnu“, tedy hodnota, přes, respektive pod, kterou se posloupnost dostane pouze v konečně mnoha případech, ale které se skutečně nekonečně jejích hodnot nekonečně blízko blíží, nebo jí dokonce nabývají. Jedná se o největší respektive nejmenší hromadný bod dané posloupnosti.

Uvažují se nejčastěji v reálných číslech.

Případ posloupností v reálných číslech

Formální definice

Buď $(a_{n})$ reálná posloupnost. Je-li $(a_{n})$ shora ohraničená, klademe limes superior

\limsup a_{n}:=\lim _{n\to \infty }\left(\sup _{k\geq n}a_{k}\right)

V opačném případě klademe $\limsup a_{n}=\infty$ .

Je-li $(a_{n})$ zdola ohraničená, klademe limes inferior

\liminf a_{n}:=\lim _{n\to \infty }\left(\inf _{k\geq n}a_{k}\right)

V opačném případě klademe $\liminf a_{n}=-\infty$ .

Limes superior a limes inferior tedy pro reálná čísla nabývají hodnoty z množiny rozšířených reálných čísel.

Vlastnosti

Limes superior a limes inferior vždy existují (na rozdíl například od limity, která existovat nemusí)
Limita posloupnosti $a_{n}$ existuje právě tehdy, když $\liminf _{n\to \infty }a_{n}=\limsup _{n\to \infty }a_{n}.$
$\liminf _{n\rightarrow \infty }a_{n}\leq \limsup _{n\rightarrow \infty }a_{n}$
$-\liminf _{n\to \infty }a_{n}=\limsup _{n\to \infty }(-a_{n}).$