Lineární lomená funkce

Lineární lomená funkce je funkce, kterou lze zapsat ve tvaru $f(x):y={\frac {ax+b}{cx+d}};\,a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\,c\neq 0$.

Vlastnosti

• Definičním oborem jsou všechna reálná čísla s jednou výjimkou ${\frac {-d}{c}}$ (tj. $D_{f}=R\setminus \left\{{\frac {-d}{c}}\right\}$).
• Grafem této funkce je (v nedegenerovaném případě) hyperbola se středem v bodě $\left[{\frac {-d}{c}};{\frac {a}{c}}\right]$.
• Asymptoty ($x={\frac {-d}{c}}$ ; $y={\frac {a}{c}}$) procházejí středem a jsou rovnoběžné s osami souřadnic.
• Jestliže by bylo $c=0$, již by se nejednalo o lineární lomenou funkci, ale lineární funkci $f:y={\frac {a}{d}}x+{\frac {b}{d}}.$

Vlastnosti funkce závisí na hodnotě výrazu $ad-bc$.

• Pro $ad-bc>0$ ($ad>bc$) se jedná o hyperbolu rostoucí na intervalech $(-\infty ;{\frac {-d}{c}})$ a $({\frac {-d}{c}};\infty ).$
• Pro $ad-bc=0$ ($ad=bc$) by se jednalo o přímku $f(x):y={\frac {a}{c}}.$
• Pro $ad-bc<0$ ($ad<bc$) se jedná o hyperbolu klesající na intervalech $(-\infty ;{\frac {-d}{c}})$ a $({\frac {-d}{c}};\infty ).$

Derivace lomené funkce je

$\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)^{'}={\frac {a(cx+d)-c(ax+b)}{(cx+d)^{2}}}.$

Po roznásobení závorek a následném odečtení vznikne tvar

${\frac {ad-cb}{(cx+d)^{2}}}.$

Související články

• Lineární funkce

Portály: Matematika