Navierovy–Stokesovy rovnice

Navierovy–Stokesovy rovnice jsou rovnice popisující proudění nestlačitelné newtonovské kapaliny. Jedná se o soustavu nelineárních parciálních diferenciálních rovnic 2. řádu. Rovnice odvodili Francouz Claude Navier a Ir George Stokes v letech 1827 a 1845 nezávisle na sobě.

Odvození

Rovnici lze odvodit z bilance sil působících na tekutinu. Navierova–Stokesova rovnice je však speciálním případem obecné Cauchyho rovnice dynamické rovnováhy, z níž lze Navierovu–Stokesovu rovnici odvodit dosazením tenzoru napětí pro newtonovskou tekutinu. Navierova–Stokesova rovnice se dá zapsat několika způsoby, například následovně

${\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+{\vec {u}}\cdot \nabla {\vec {u}}=-{\frac {1}{\varrho }}\nabla p+\nu \nabla ^{2}{\vec {u}}+{\vec {f}}$

Význam jednotlivých členů zleva:

místní zrychlení
konvektivní zrychlení
zrychlení způsobené tlakovým spádem
zrychlení potřebné k překonání třecích sil
zrychlení způsobené objemovými silami

Symboly: ${\vec {u}}$ je rychlost, $p$ je tlak, $t$ je čas, $\varrho$ je hustota, $\nu$ je kinematická viskozita, ${\vec {f}}$ je součet intenzit objemových sil (často jen tíhové zrychlení ${\vec {g}}$ ), $\nabla$ je operátor nabla, $\cdot$ je symbol skalárního součinu podle konvence, že ${\vec {u}}\cdot \nabla =u_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\,$ .

Řešení

Navierova–Stokesova rovnice je analyticky řešitelná jen v několika málo případech jednoduchých toků. Ve složitějších případech je nutno rovnici řešit numericky.

Nadace Clayova matematického ústavu zařadila důkaz existence hladkého řešení Navierovy–Stokesovy rovnice ve třech dimenzích na seznam sedmi nejdůležitějších matematických problémů (takzvaných Problémů tisíciletí). Na každý z nich je vypsána odměna milion dolarů.

Zjednodušením rovnice jsou Eulerovy rovnice hydrodynamiky. Ty patrně hladké nejsou.^[1]

Použití

Používá se při výpočtech proudění v aerodynamice a hydrodynamice.

Reference

↑ https://sciencemag.cz/hladkost-navier-stokesovych-rovnic-byla-zpochybnena/ - Hladkost Navier-Stokesových rovnic byla zpochybněna

Literatura

Perry R.H.: Perry's chemical engineers' handbook, 7th edition, McGraw-Hill, New York, 1997, ISBN 0-07-049841-5
POKORNÝ, Milan. Navier–Stokesovy rovnice [online]. [cit. 2009-11-23]. Dostupné v archivu pořízeném dne 2016-08-04.

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu Navierovy–Stokesovy rovnice na Wikimedia Commons

Pahýl

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.

[1] ttps://sciencemag.cz/hladkost-navier-stokesovych-rovnic-byla-zpochybnena/ - Hladkost Navier-Stokesových rovnic byla zpochybněna

[1]