Střední doba života

Střední doba života (obvykle značená řeckým písmenem τ) je fyzikální veličina charakterizující čas setrvání dané entity v nestabilním stavu. Entitou může být nestabilní elementární částice, atomové jádro radioaktivního nuklidu, nestabilní energetický stav atomu apod.

Střední doba života je pro exponenciální přeměnu rovna převrácené hodnotě přeměnové konstanty a je přímo úměrná poločasu přeměny.

Udává se jako důležitá charakteristika elementárních částic.

Značení a jednotky

Doporučené značení střední doby života je $\tau \,$ .^[1]

Protože se jedná o čas, je hlavní jednotkou soustavy SI sekunda, značka „s“.

Vzhledem k velmi rychlému rozpadu některých částic se často používají i dekadické díly této jednotky, zejména milisekunda „ms“ a nanosekunda „ns“.

Naopak vzhledem k dlouhým dobám života některých radioaktivního nuklidů se někdy používají i vedlejší jednotky hodina „h“ a den „d“, v případech kdy se nejedná o přesnost i mimosoustavová jednotka rok (nejednoznačně stanovená, nemá jednotnou mezinárodní značku – obvykle značená „r“ z českého rok nebo „a“ z latinského annus, případně „y“ či „yr“ z anglického year).

Definice a výpočet

Střední doba života je definována jako střední doba, za niž dojde k přeměně dané entity (částice, energetického stavu apod.). Matematicky ji lze vyjádřit vztahem:

\tau ={\frac {\int _{0}^{\infty }t\,{\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t}{\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t}}

, kde

t\,

značí čas,

\left({\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t\right)\,

počet entit daného statistického souboru, které se přemění za dobu

\mathrm {d} t\,

.

Střední doba života u exponenciální přeměny

Pro exponenciální přeměnu, pro kterou je úbytek počtu entit $N\,$ dán vztahem

N=N_{0}\,\mathrm {e} ^{-\lambda t}

,

se lze prostým dosazením do definičního vztahu přesvědčit, že platí:

\tau ={\frac {1}{\lambda }}

, kde

\lambda \,

je tzv. přeměnová konstanta, u radioaktivního rozpadu zvaná rozpadová konstanta.

Dosazením střední doby života za čas ve vztahu pro exponenciální přeměnu lze získat názornou interpretaci střední doby života:

Střední doba života (pro exponenciální přeměnu) je doba, za kterou poklesne v daném statistickém souboru počet entit na ${\tfrac {1}{\mathrm {e} }}$ -násobek původního počtu, e je Eulerovo číslo.

Příbuzné veličiny

Poločas přeměny

Poločas přeměny (doporučené značení T_½)^[1] je střední doba, za níž dojde v daném statistickém souboru k přeměně poloviny entit. Pro exponenciální přeměnu je přímo úměrná střední době života podle vztahu:

T_{1/2}=\tau \,\ln 2

.

Šířka energetického stavu

Šířka energetického stavu (též šířka energetické hladiny, doporučené značení Γ)^[1] je mírou intervalu energií, které nabývá daný nestabilní kvantový systém v daném energetickém stavu (mírou neurčitosti energie dané energetické hladiny).

Tato veličina je založena na relaci neurčitosti pro určení energie a charakteristického času a je definována vztahem:

\Gamma ={\frac {\hbar }{\tau }}

, kde

\hbar \,

je redukovaná Planckova konstanta.

Používá se místo střední doby života např. v případech, kdy přeměna probíhá vlivem silné jaderné interakce a střední doba života je extrémně krátká – tedy např. jako charakteristika tzv. rezonancí.

Šířka energetického stavu má rozměr energie a jako její jednotka se zpravidla používá elektronvolt nebo jeho násobky (keV, MeV, GeV).

Charakteristiky jiných průběhů přeměn

Následující tabulka udává střední dobu života a poločas přeměny pro různé charakteristické průběhy počtu entit v souboru (rychlost úbytku entit je dána významnými rozděleními pravděpodobnosti).

průběh úbytku entit	funkce počtu entit ${\frac {N(t)}{N_{0}}}$	střední doba života $\tau \,$	poločas přeměny $T_{1/2}\,$
exponenciální	$\mathrm {e} ^{-\lambda t}$	${\frac {1}{\lambda }}$	${\frac {\ln 2}{\lambda }}$
normální	$1-\Phi \left({\frac {t-\mu }{\sigma }}\right)$ ^{[pozn. 1]}	$\mu \,$	$\mu \,$
log-normální	$1-\Phi \left({\frac {\ln t-\mu }{\sigma }}\right)$ ^{[pozn. 1]}	$\mathrm {e} ^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma }$	$\mathrm {e} ^{\mu }$
Weibullův	$\mathrm {e} ^{-({\frac {t}{\lambda }})^{\beta }}$	$\lambda \Gamma (1+{\frac {1}{\beta }})$ ^{[pozn. 2]}	$\lambda \ln(2)^{\tfrac {1}{\beta }}$
$\chi ^{2}$	${\frac {\gamma ({\tfrac {k}{2}},{\tfrac {t}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}$ ^{[pozn. 3]}^{[pozn. 2]}	$k\,$	$\thickapprox k-{\tfrac {2}{3}}\,$
logistický	${\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{\tfrac {x-\mu }{s}}}}$	$\mu \,$	$\mu \,$
log-logistický	${\frac {\alpha ^{\beta }}{t^{\beta }+\alpha ^{\beta }}}$	${\frac {\alpha \pi }{\beta \sin(\pi /\beta )}}$	$\alpha \,$

Poznámky

↑ ^a ^b $\Phi (y)={\frac {1}{\sqrt {2\;\pi }}}\int _{-\infty }^{y}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\mathrm {d} x$
↑ ^a ^b $\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }x^{y-1}\mathrm {e} ^{-x}\,\mathrm {d} x$
↑ $\gamma (a,y)=\int _{0}^{y}x^{a-1}e^{-x}dx$

Reference

↑ ^a ^b ^c ČSN ISO 31-9 Veličiny a jednotky – Část 9: Atomová a jaderná fyzika. Český normalizační institut, Praha 1996

Související články

Poločas přeměny
Radioaktivita, zejména oddíl Zákon radioaktivního rozpadu

[Φ-2] $\Phi (y)={\frac {1}{\sqrt {2\;\pi }}}\int _{-\infty }^{y}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\mathrm {d} x$

[Γ-3] $\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }x^{y-1}\mathrm {e} ^{-x}\,\mathrm {d} x$

[γ-4] $\gamma (a,y)=\int _{0}^{y}x^{a-1}e^{-x}dx$

[ISO-1] ČSN ISO 31-9 Veličiny a jednotky – Část 9: Atomová a jaderná fyzika. Český normalizační institut, Praha 1996

[1]

[pozn. 1]

[pozn. 2]

[pozn. 3]