Rhifyddeg

Rhifyddeg

Tablau rhifyddeg i blant; Lausanne, 1835.
Enghraifft o'r canlynol	maes o fewn mathemateg
Math	gweithdrefn
Rhan o	mathemateg
Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia

Mae rhifeg yn gangen o fathemateg sy'n cynnwys yr astudiaeth o rifau, yw Rhifyddeg (o'r Groeg ἀριθμός arithmos, "rhif"). Mae'n ymwneud ag agweddau elfennol damcaniaeth rhifau, mesureg, a chyfrifiad rhifol (hynny yw, prosesau adio, tynnu, lluosi, rhannu, a chyfrifiannu pwerau ac israddau). Mae rhifeg yn rhan elfennol o theori rhif, ac ystyrir bod theori rhif yn un o'r rhanbarthau lefel uchaf o fathemateg modern, ynghyd ag algebra, geometreg a dadansoddiad. Defnyddiwyd y termau rhifyddeg a rhifyddeg uwch hyd at ddechrau'r 20g fel cyfystyron ar gyfer theori rhifau ac fe'u defnyddir heddiw, yn achlysurol, i gyfeirio at y theori rhif yn gyffredinol.

Hanes

Mae rhifyddeg cynnar wedi'i gyfyngu i nifer fechan o arteffactau sy'n dangos y cysyniad o adio a thynnu, sef yr esgyrn Ishango o Weriniaeth Ddemocrataidd y Congo, sy'n dyddio o rhywle rhwng 20,000 a 18,000 CC, er y ceir sawl dehongliad ohono, a pheth dadlau yn ei gylch.

Mae cynhanes rhifyddeg wedi'i gyfyngu i nifer fach o arteffactau, a all ddynodi'r syniad am adio a thynnu, a'r mwyaf adnabyddus yw asgwrn Ishango o ganol Affric, sy'n dyddio i tua 20,000-18,000. CC, er bod dadl ynghylch ei ddehongliad.

Mae'r cofnodion ysgrifenedig cynharaf yn nodi bod yr Eifftiaid a'r Babiloniaid wedi defnyddio'r holl weithrediadau rhifyddeg elfennol mor gynnar â 2000 CC. Nid yw'r arteffactau hyn bob amser yn datgelu'r broses benodol a ddefnyddir i ddatrys problemau, ond mae nodweddion y system rifol benodol yn dylanwadu'n gryf ar gymhlethdod y dulliau. Roedd y system hieroglyffig ar gyfer rhifolion yr Aifft, fel y rhifolion Rhufeinig diweddarach, yn disgyn o farciau cyfrif a ddefnyddiwyd i gyfri. Yn y ddau achos (hieroglyffiau a rhifolion), arweiniwyd at werthoedd a ddefnyddiodd sylfaen degol, ond nad oeddent yn cynnwys nodiant lle. Roedd cyfrifiadau cymhleth gyda rhifolion Rhufeinig yn gofyn am gymorth bwrdd cyfrif (neu'r abacws Rhufeinig) i gael y canlyniadau.

Nid oedd systemau rhif cynnar a oedd yn cynnwys nodiant lleoliadol yn ddegol, gan gynnwys bôn-60 yBabilonaidd, a bôn-20 (neu'r 'System ugeiniol') y Mayaid. Oherwydd y cysyniad gwerth lle hwn, cyfrannodd y gallu i ailddefnyddio'r un digidau ar gyfer gwahanol werthoedd at ddulliau cyfrifo symlach a mwy effeithlon.

Mae datblygiad hanesyddol rhifyddeg fodern yn dechrau yn Oes Helenistaidd Gwlad Groeg hynafol, er iddo darddu lawer yn hwyrach na'r enghreifftiau Babilonaidd a'r Aifft. Cyn gweithiau Euclid tua 300 CC, roedd astudiaethau Groegaidd mewn mathemateg yn gorgyffwrdd â chredoau athronyddol a chyfriniol. Er enghraifft, crynhodd Nicomachus safbwynt yr agwedd Pythagoraidd gynharach tuag at niferoedd, a'u perthnasoedd â'i gilydd, yn ei Gyflwyniad i Rhifyddeg.

Defnyddiwyd y system rhifolion Groegaidd gan Archimedes, Diophantus ac eraill mewn nodiant lle nad oedd yn wahanol iawn i'r nodiant modern. Nid oedd gan yr hen Roegiaid symbol ar gyfer sero tan y cyfnod Hellenistig, ac fe wnaethant ddefnyddio tair set ar wahân o symbolau fel digidau: un set ar gyfer lle’r unedau, un ar gyfer lle’r degau, ac un ar gyfer y cannoedd. Ar gyfer lle'r miloedd byddent yn ailddefnyddio'r symbolau ar gyfer y lle unedau, ac ati. Roedd eu algorithm adio yn union yr un fath â'r dull modern, a dim ond ychydig yn wahanol oedd eu algorithm lluosi. Roedd eu algorithm rhannu hir yr un peth, ac roedd yr algorithm 'ail isradd digid-wrth-ddigid', a ddefnyddiwyd mor ddiweddar â'r 20g, yn hysbys i Archimedes, a allai fod wedi'i ddyfeisio. Roedd yn well ganddo'r dull hwn na dull Hero o frasamcan olynol oherwydd, ar ôl ei gyfrifo, nid yw digid yn newid, ac mae ail isradd sgwariau perffaith, fel 7485696, yn dod i ben ar unwaith fel 2736. Ar gyfer niferoedd â rhan ffracsiynol, fel 546.934, fe ddefnyddion nhw bwerau negyddol o 60 - yn lle pwerau negyddol o 10 - ar gyfer y rhan ffracsiynol 0.934.

Roedd gan y Tsieineaid hynafol astudiaethau rhifyddeg datblygedig yn dyddio o Frenhinllin Shang a barhaodd trwy'r Brenhinllin Tang, o rifau sylfaenol i algebra datblygedig. Defnyddiodd y Tsieineaid hynafol nodiant lle tebyg i nodiant y Groegiaid. Er nad oedd ganddyn nhw ychwaith ddim symbol ar gyfer sero, roedd ganddyn nhw un set o symbolau ar gyfer lle'r unedau, ac ail set ar gyfer lle'r degau. Ar gyfer lle'r cannoedd, fe wnaethant ailddefnyddio'r symbolau ar gyfer lle'r unedau, ac ati. Roedd eu symbolau yn seiliedig ar y ffyn cyfrif hynafol. Ni wyddys yr union amser y dechreuodd y Tsieineaid gyfrifo gyda chynrychiolaeth lle, er ei bod yn hysbys iddo ddechrau cyn 400 CC. Y Tsieineaid hynafol oedd y cyntaf i ddarganfod, deall a chymhwyso rhifau negyddol yn ystyrlon. Esbonnir hyn yn y Naw Pennod ar y Gelf Fathemategol (Jiuzhang Suanshu), a ysgrifennwyd gan Liu Hui yn yr 2g CC.

Dyfeisiodd datblygiad graddol y system rhifolion Hindŵ-Arabaidd y cysyniad o werth lle a'r nodiant lle yn annibynnol, a gyfunodd y dulliau symlach ar gyfer cyfrifiannau â sylfaen degol, a'r defnydd o ddigid i gynrychioli 0. Roedd hyn yn caniatáu i'r system gynrychioli cyfanrifau mawr a bach yn gyson - dull a ddisodlodd yr holl systemau eraill yn y pen draw.

Yn gynnar yn y 6g OC ymgorfforodd y mathemategydd Indiaidd Aryabhata fersiwn bresennol o'r system hon yn ei waith, ac arbrofi gyda gwahanol nodiannau. Yn y 7g, sefydlodd Brahmagupta y defnydd o 0 fel rhif ar wahân. Dywedodd cyfoeswr iddo, sef yr esgob Syrieg Severus Sebokht (650 OC), "Mae gan Indiaid ddull cyfrifo na ellir ei or-ganmol: dull neu system resymegol o fathemateg, a'u dull o gyfrifo. Rwy'n golygu'r system gan ddefnyddio naw symbol. " Dysgodd yr Arabiaid y dull newydd hwn hefyd a'i alw'n hesab.

Steck Reckoner Leibniz oedd y gyfrifiannell gyntaf a allai gyflawni pedwar gweithrediad rhifyddeg.

Er bod y Codex Vigilanus wedi disgrifio ffurf gynnar o rifolion Arabeg (gan hepgor 0) erbyn 976 OC, Leonardo o Pisa (Fibonacci) oedd yn bennaf gyfrifol am ledaenu eu defnydd ledled Ewrop, wedi iddo gyhoeddi ei lyfr Liber Abaci ym 1202. Ysgrifennodd, "Mae dull yr Indiaid (Lladin Modus Indorum ) yn rhagori ar unrhyw ddull hysbys i gyfrifiannu: mae'n ddull gwych. Maent yn gwneud eu cyfrifiannau gan ddefnyddio naw digid a'r symbol sero".

Yn yr Oesoedd Canol, roedd rhifyddeg yn un o'r saith celfyddydau rhyddfrydol a addysgwyd mewn prifysgolion.

Roedd poblogrwydd algebra yn y byd Islamaidd canoloesol, a hefyd yn Nadeni Ewrop, yn symlhau'r broses o gyfrifo trwy nodiant degol, ac yn ddatblygiad enfawr.

Dyfeisiwyd a defnyddiwyd pob math o offer i gynorthwyo gyda chyfrifiadau rhifol. Cyn y Dadeni, roeddent crëwyd gwahanol fathau o abacws. Mae enghreifftiau mwy diweddar yn cynnwys y llithriwl, nomogramau a chyfrifianellau mecanyddol, fel cyfrifiannell Pascal. Ar hyn o bryd, maent wedi cael eu disodli gan gyfrifianellau electronig a chyfrifiaduron.

Gweithrediadau rhifyddeg

Y gweithrediadau rhifyddeg sylfaenol yw adio, tynnu, lluosi a rhannu. Er bod rhifyddeg hefyd yn cynnwys gweithrediadau mwy datblygedig, megis trin canrannau, ail isradd, yr esbonydd, logarithmau, a hyd yn oed ffwythiannau trigonometrig. Rhaid gwerthuso ymadroddion rhifyddeg yn unol â'r drefn o weithredu a cheirsawl dull i nodi hyn, naill ai gan ddefnyddio cromfachau yn benodol a dibynnu ar reolau blaenoriaeth, neu ddefnyddio rhagddodiad neu nodiant ôlddodiad, sy'n pennu'r drefn unigryw o weithredu eu hunain.

Adio

Dynodir adio gan y symbol $+$, a hwn yw'r gweithrediad mwyaf sylfaenol o fewn rhifyddeg. Yn ei ffurf syml, mae adio'n cyfuno dau rif yn un rhif sengl, sef <i id="mwtQ">swm</i> y rhifau (ee 2 + 2 = 4 neu 3 + 5 = 8).

Mae'r weithred o adio'n cael ei ddynodi gyda symbol "+" rhwng y ddau wrthrych, a'r canlyniad yn cael ei fynegi gan y nodiant "=", sef hafaliad. Er enghraifft:

$1+1=2$ ("mae un ac un yn gwneud (neu'n hafal i) dau")

$2+2=4$ ("mae dau a dau yn gwneud pedwar")

$1+2=3$ ("mae un a dau yn gwneud tri")

$5+4+2=11$ nid oes unrhyw ots ym mha drefn y daw'r rhifau, yr un yw'r ateb.

$3+3+3+3=12$ (gweler hefyd lluosi]])

Adio colofn - mae'r rhifau yn y golofn yn cael eu hadio, gyda'r cyfanswm yn ymddangos oddi tanynt.

Ceir hefyd mewn rhai amgylchiadau ble nad oes raid defnyddio'r symbol "+", ond yn hytrach cymerir hynny'n ganiataol (ee pan fo ffracsiwn yn dilyn cyfanrif, gelwir hyn yn "rif cymysg". Er enghraifft,

      3½ = 3 + ½ = 3.5.

Gall y nodiant hwn greu amwyster a dryswch gan y gallai olygu lluosi yn hytrach nag adio.

Gellir dehongli adio mewn modd geometregol hefyd, fel yn yr enghraifft ganlynol: os oes gennym ddwy ffon o hyd 2 a 5, yna, os yw'r ffyn wedi'u halinio un ar ôl y llall, daw hyd y ffon gyfun yn 7, gan fod 2 + 5 = 7.

Tynnu

Dynodir tynnu gan y symbol $-$. Dyma'r weithrediad sy'n groes i adio. Mae tynnu yn canfod y gwahaniaeth rhwng dau rif.

Gellir dangos y gwahaniaeth rhwng y rhifau a dynnir a'r gwahaniaeth gyda'r hafaliad (=). Er enghraifft,

$2-1=1$ (ar lafar: "Mae dau tynnu yw yn hafal i un.")

$4-2=2$ ("Mae pedwar tynnu dau yn hafal i ddau.")

$6-2=4$ ("Mae chwech tynnu dau yn hafal i bedwar.")

$4-6=-2$ ("Mae dau tynnu chwech yn hafal i negydd (neu minws) dau")

Fel gydag adio, ceir hefyd amgylchiadau ble nad oes raid defnyddio'r symbol -, ac mae'r cyd-destun yn ddigon amlwg mai dyma a olygir. Er enghraifft, pan geir colofn o ddau rif, gyda'r rhif ar y gwaelod mewn coch; yma, mae'r lliw yn golygu mai rhif i'w dynnu ydyw. Gwneir hyn gan gyfrifwyr.

Lluosi

Mae lluosi, wedi'i ddynodi gan y symbolau $\times$ neu $\cdot$, a hwn yw ail weithrediad sylfaenol rhifyddeg. Mae lluosi hefyd yn cyfuno dau rif yn un rhif, y lluoswm. Gelwir y ddau rif gwreiddiol yn lluosydd a'r lluosrif, ac fel arfer, gelwir y ddau yn ffactorau.

Gellir ystyried lluosi rhifau cyfan yn fath o adio ailadroddus. Ysgrifennir y lluosydd yn gyntaf ac yn lluosi yn ail,er y gall yr arfer amrywio yn ôl diwylliant. Er enghraifft, yn hytrach na defnyddio'r llwybr tarw 3 x 4 = 12, gellr adio, er mwyn cyrraedd yr un ateb:

$3\times 4=4+4+4=12$

Yma, gelwir y 3 a;r 4 yn ffactorau, a 12 yw'r lluoswm (yr ateb).

Gellir dweud fod gan luosi nodweddion 'cymudol': mae adio 3 copi o 4 yn rhoi'r un canlyniad ac adio 4 copi o 3:

$4\times 3=3+3+3+3=12$

Felly nid oes wahaniaeth i'r ateb ym mha drefn y daw'r lluosrif a'r lluosydd.

Rhannu

Dynodir rhannu gan y symbolau $\div$ neu $/$. Yn y bôn, dyma'r gwrthdro i luosi. Mae rhannu'n canfod cyniferydd.

Yn benodol, os yw c lluosi â b yn hafal ag a, a ysgrifennir:

$c\times b=a$

lle nad yw b yn sero, yna mae a rhannu â b yn hafal ag c, a ysgrifennir:

${\frac {a}{b}}=c$

Er enghraifft, mae

${\frac {6}{3}}=2$

gan fod

$2\times 3=6\,$.

Yn y mynegiad uchod, dywedwn mai a yw'r rhannyn, b yw'r rhannydd ac c yw'r cyniferydd.

Ni ddiffinir rhannu â sero (hynny yw, ni all y rhannydd b fod yn hafal â sero).

Theorem sylfaenol rhifyddeg

Mae theorem sylfaenol rhifyddeg yn nodi bod gan unrhyw gyfanrif sy'n fwy nag 1 brif ffactor unigryw ac eithrio trefn y ffactorau. Er enghraifft, dim ond un ffactoriad pennaf sydd gan 252:

252 = 2 ² × 3 ² × 7 ¹

Cyflwynodd Elfennau Euclid y theorem hon gyntaf, a rhoi prawf rhannol (a elwir yn "lemma Euclid"). Profwyd theorem sylfaenol rhifyddeg yn gyntaf gan yr Almaenwr Carl Friedrich Gauss (30 Ebrill 1777 – 23 Chwefror 1855).

Theorem sylfaenol rhifyddeg yw un o'r rhesymau pennaf pam nad yw 1 yn cael ei ystyried yn rhif cysefin. Ymhlith y rhesymau eraill mae gogr Eratosthenes, a'r diffiniad o rif cysefin ei hun (rhif naturiol sy'n fwy nag 1 na ellir ei ffurfio trwy luosi dau rif naturiol llai).

Gweithrediadau yn ymarferol

Clorian wedi'i graddnodi mewn unedau imperialaidd a'r gost gysylltiedig.

Yn ystod y 19g a'r 20g datblygwyd cymhorthion amrywiol i gynorthwyo wrth drin unedau cyfansawdd, yn enwedig mewn cymwysiadau masnachol. Y cymhorthion mwyaf cyffredin oedd tiliau mecanyddol a addaswyd mewn gwledydd i ddarparu ar gyfer punnoedd, swllt, ceiniogau a ffyrlingau, a chyfrifwyr parod (ready reckoners), sef llyfrau wedi'u hanelu at fasnachwyr a oedd yn catalogio canlyniadau cyfrifiadau amrywiol fel y canrannau neu luosrifau o symiau amrywiol o arian.

Damcaniaeth rhif

Hyd at y 19g roedd theori rhif yn gyfystyr â "rhifyddeg". Roedd y problemau yr aethpwyd i'r afael â nhw'n uniongyrchol gysylltiedig â'r gweithrediadau sylfaenol ac roeddent yn ymwneud â primality, rhanadwyedd, a datrys hafaliadau mewn cyfanrifau, fel Theorem Olaf Fermat. Roedd yn ymddangos bod y rhan fwyaf o'r problemau hyn, er eu bod yn elfennol iawn i'w nodi, yn anodd iawn ac efallai na chânt eu datrys heb fathemateg ddwfn iawn sy'n cynnwys cysyniadau a dulliau o lawer o ganghennau eraill mathemateg. Arweiniodd hyn at ganghennau newydd o theori rhif fel theori rhif dadansoddol, theori rhif algebraidd, geometreg Diophantine a geometreg algebraidd rhifyddeg. Mae prawf Wiles o Theorem Olaf Fermat yn enghraifft nodweddiadol o reidrwydd dulliau soffistigedig, sy'n mynd ymhell y tu hwnt i'r dulliau clasurol o rifyddeg, ar gyfer datrys problemau y gellir eu nodi mewn rhifyddeg elfennol.

Rhifyddeg mewn addysg

Mae mathemateg yn yr ysgol gynradd yn aml yn rhoi ffocws cryf ar algorithmau ar gyfer cyfrifo rhifau naturiol, cyfanrifau, ffracsiynau a degolion (gan ddefnyddio'r system gwerth lle degol). Weithiau gelwir yr astudiaeth hon yn 'algoriaeth'.

Mae anhawster ac ymddangosiad digymell yr algorithmau hyn wedi arwain addysgwyr i gwestiynu'r cwricwlwm hwn ers amser maith, gan hyrwyddo dysgu syniadau mathemategol mwy canolog a greddfol yn gynnar. Un symudiad nodedig i'r cyfeiriad hwn oedd Mathemateg Newydd y 1960au a'r 1970au, a geisiodd ddysgu rhifyddeg yn ysbryd datblygiad axiomatig o theori set, adlais o'r duedd gyffredinol mewn mathemateg uwch.

Hefyd, defnyddiwyd rhifyddeg gan Ysgolheigion Islamaidd er mwyn dysgu cymhwyso'r dyfarniadau sy'n gysylltiedig â Zakat ac Irth. Gwnaethpwyd hyn mewn llyfr o'r enw Rhifyddeg ar ei Orau gan Abd-al-Fattah-al-Dumyati. Mae'r llyfr yn dechrau gyda sylfeini mathemateg ac yn mynd ymlaen i'w gymhwyso yn y penodau diweddarach.

Gweler hefyd

• Rhifau yn y Gymraeg