„Charakteristische Klasse“ – Versionsunterschied
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Eine '''charakteristische Klasse''' ist ein [[mathematisches Objekt]] aus der [[Differentialtopologie]]. Sie ist eine [[topologische Invariante]] eines [[Vektorbündel]]s und kann durch eine [[Differentialform]] dargestellt werden.
Eine charakteristische Klasse beschreibt mehr oder weniger die „Verdrehtheit“ eines Bündels, so entspricht die charakteristische Klasse eines trivialen Bündels meistens dem Eins-Element.
== Definition ==
Sei <math>k=\mathbb R</math> oder <math>\mathbb C</math>. Ist <math> \pi \colon E \to X </math> ein Vektorbündel mit Faser <math> V \simeq k^n </math> und <math> BG </math> die [[Graßmann-Mannigfaltigkeit]] <math> G_n (k^\infty) </math>, so lässt sich eine bis auf [[Homotopie]] eindeutige Abbildung <math> f\colon X \to BG </math> definieren, die durch eine [[Bündelabbildung]] <math> F\colon E \to \gamma^n</math> in das [[Tautologisches Bündel|tautologische Bündel]] über <math> BG </math> überlagert wird.
Sei <math> R </math> ein [[kommutativer Ring]] mit Eins-Element. Zu jeder [[Kohomologie
:<math>
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== Beispiele ==
* [[Stiefel-Whitney-Klassen]] von reellen Vektorbündeln
* [[Euler-Klasse]] von orientierten reellen Vektorbündeln
* [[Chern-Klasse]]n von komplexen Vektorbündeln
* [[Pontrjagin-Klasse]]n von reellen Vektorbündeln
== Prinzipalbündel ==
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Allgemeiner kann man charakteristische Klassen von [[Prinzipalbündel]]n definieren. Jeder [[Kohomologie]]klasse <math>c\in H^*(BG)</math> des [[Klassifizierender Raum|klassifizierenden Raumes]] <math>BG</math> der [[Lie-Gruppe]] <math>G</math> entspricht eine charakteristische Klasse von <math>G</math>-Prinzipalbündeln <math>\pi:P\rightarrow B</math>. Diese wird definiert durch <math>c(P):=f^*(c)\in H^*(B)</math>, wobei <math>f:B\rightarrow BG</math> die klassifizierende Abbildung von <math>\pi</math> ist.
Im Falle von <math>G=GL(n,\mathbb R)</math> oder <math>G=GL(n,\mathbb C)</math> entsprechen die charakteristischen Klassen von <math>G</math>-Prinzipalbündeln den charakteristischen Klassen der [[
Umgekehrt kann man zu jedem mit einer Metrik versehenen (reellen oder komplexen) Vektorbündel das [[Rahmenbündel]] als Prinzipalbündel (mit Strukturgruppe <math>G=GL(n,\mathbb R)</math> oder <math>G=GL(n,\mathbb C)</math>) betrachten, dessen charakteristische Klassen den charakteristischen Klassen des Vektorbündels entsprechen.
Charakteristische Klassen von Prinzipalbündeln lassen sich mittels [[Chern-Weil-Theorie]] aus der [[Zusammenhang (Prinzipalbündel)|Krümmungsform eines Zusammenhanges]] berechnen. Insbesondere verschwinden die charakteristischen Klassen flacher Bündel. Für diese kann man dann [[sekundäre charakteristische Klasse]]n definieren.
== Siehe auch ==
* [[Charakteristische Zahl]]
* [[Obstruktionstheorie]]
== Literatur ==
* Edwin H. Spanier: ''Algebraic Topology.'' 1. corrected Springer edition, Reprint. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0.
* [http://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf Allen Hatcher: Vector Bundles and K-Theory] (PDF; 1,2 MB)
* May: [http://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf A concise course in algebraic topology] (Kapitel 23: „Characteristic classes of vector bundles“)
[[Kategorie:Algebraische Topologie]]
[[Kategorie:Differentialtopologie]]
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