Diskussion:Orthogonalität

Vektoren

"Orthogonale Vektoren sind immer linear unabhängig und bilden somit ein Erzeugendensystem." Ein Gegenbeispiel wäre der Nullvektor, dieser ist orthogonal zu jedem anderen, aber zugleich lin abhänig, von jedem anderen Vektor.

Habe es mal ein wenig umformuliert. Die Aussage mit dem Erzeugendensystem ist sowieso unsinnig, denn jede Menge von Vektoren ist Erzeugendensystem der linearen Hülle dieser Menge (auch wenn der Nullvektor drin ist).--UrsZH 00:55, 1. Okt 2005 (CEST)

Ich habe noch die implizite Voraussetzung "reell" und "positiv definit" (je nach Def. nicht Bestandteil von "Skalarprodukt") hinzugefügt.--Gunther 01:17, 1. Okt 2005 (CEST)

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normal

gibt es einen fachlichen grund, warum weder hier noch in der BKL Normal (Mathematik) oder in Winkel (Geometrie)#Rechter Winkel dieses wort erwähnt ist? einzig in Glossar mathematischer Attribute#normal schlummert was, ohne hierher verlinkt zu sein. auch der Normalvektor fehlt mir. --W!B: 08:27, 27. Jan 2006 (CET)

Gibt's überhaupt einen Normalvektor? Ich kenn nur einen Normalenvektor. --spa-jt 10:43, 20. Jan. 2007 (CET)

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orthogonale Matrizen immer quadratisch?

Da es offenbar einen Widerspruch zwischen diesem Artikel und Orthogonale_Matrix bzgl. der quadratischen Form von orthogonalen Matrizen gibt, möchte ich auch hier auf meinen Kommentar dort verweisen. Irgendwo sollte was ergänzt oder korrigiert werden. ;)

(insbesondere zu diesem Artikel nochmal: Falls orthogonale Matrizen tatsächlich immer quadratisch sind, dann sollten meines Erachtens auch orthogonale Zeilenvektoren erwähnt werden; oder aber das quadratisch entfernt (evtl. mit expliziten Hinweis, dass dies nicht gefordert ist) falls doch auch Rechteck-Matrizen orthogonal sein können, wie es der andere Artikel behauptet.) --(Tobi)134.109.148.27 05:00, 21. Mär 2006 (CET)

Nein, kein Widerspruch. Eine Matrix kann nur dann orthogonal sein, wenn sie quadratisch ist; ein Vektor kann niemals orthogonal sein, sondern mehrere Vektoren können zueinander orthogonal sein; das steht auch so da, kursiv hervorgehoben. Und Vorsicht: Eine einspaltige oder einzeilige Matrix ist kein Vektor, sondern kann – wenn man ein Koordinatensystem gewählt hat – einen Vektor darstellen (muß aber nicht, kann auch etwas ganz anderes darstellen); eine Matrix kann eine lineare Abbildung darstellen (muß aber nicht). Im Artikel ist nur die Bezeichnung einer Spalte der Matrix als "Vektor" etwas unsauber (im Alltag hält man Vektoren und ihre Darstellung nicht immer auseinander) und sollte bereinigt werden. -- Wegner8 07:32, 21. Mär 2006 (CET)

Eine Matrix kann nur dann orthogonal sein, wenn sie quadratisch ist Dann müsste jedoch der Artikel Orthogonale_Matrix entsprechend korrigiert werden. Dort werden orthogonale Matrizen mehr oder weniger explizit als nicht unbedingt quadratisch definiert - mit quadratischen orthogonalen Matrizen nur als Spezialfall. Auch dem Rest bzgl. "Spaltenvektoren" stimme ich durchaus zu. Nur fände ich es hilfreich, wenn noch irgendwo (wohl am besten in Orthogonale_Matrix) erwähnt würde, dass bei (quadratischen) orthogonalen Matrizen zwar durchaus die Vektoren, die man aus den Matrixspalten bilden kann, orthonormal zueinander sind - aber dass dies eben auch für die Vektoren, gebildet aus den MatrixZEILEN funktioniert, dass auch diese eine Orthonormalbasis bilden. Ja, ich weiß, das folgt sowieso aus den Eigenschaften orthogonaler Matrizen - ist aber eine praktische Eigenschaft und vielleicht nicht für jeden gleich ersichtlich. --(Tobi)134.109.148.27 04:44, 22. Mär 2006 (CET)

P.S. Was ist eigentlich an der Definition dran, wie sie in der englischen Wikipedia verwendet wird: Orthogonale Matrizen sind immer quadratisch (soweit so gut) und nicht-quadratische Matrizen, deren Spaltenvektoren (sic) orthonormal sind, würden als Orthonormale Matrizen bezeichnet. (?) Dieser Begriff ist mir bisher nicht untergekommen, scheint einem kurzen Google-Test nach aber im Englischen durchaus geläufig zu sein - im Gegensatz zum Deutschen.

Vielleicht kann noch mal jemand einfügen, woher das Wort 'orthogonal' kommt. (28.03.06, 15.03)

Danke, getan. Wegner8 18:26, 28. Mär 2006 (CEST)

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ist die Definition orthogonaler Funktionen analog

analog wozu? so jedenfalls ist das keine sinnvolle Erklärung orthogonaler Funktionen

Zu der Definition im vorigen Abschnitt. Ich habe die Funktionen aber mal zu einem Unterpunkt der Vektoren gemacht, damit das deutlicher wird. --P. Birken 13:34, 9. Okt. 2006 (CEST)

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Fourierkoeffizienten

Hi, ich habe versucht den Abschnitt über die orthogonalen Vektoren etwas zu erweitern. Allerdings wurde von P. Birken revertiert, deshalb möchte ich hier darüber diskutieren inwiefern eine Erweiterung des betroffenen Abschnitts sinvoll ist.

Bei der Erweiterung handelte es sich einerseits um die mathematische Darstellung der im Text erläuterten Zusammenhänge, andererseits habe ich versucht den Zusammenhang zwischen Orthogonalität und Fourierkoeffizienten darzustellen. Zugegebenermaßen beschrieb ich dies auf einer sehr abstrakten Ebene, sehe dabei jedoch keinen Fehler.

Insbesondere würde mich interessieren, was an der Formulierung

Ist die Basis $B=\left\{{\vec {b}}_{1},\dots ,{\vec {b}}_{n}\right\}$ eine Orthonormalbasis des $\mathbb {R} ^{n}$ und $\left[{\vec {x}}\right]_{B}=\left(x_{1},\dots ,x_{n}\right)^{T}$ der Koordinatenvektor des Vektors ${\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ bezüglich der Basis $B$, dann sind $\left\{x_{i}\left|i=\left[1,n\right]\right.\right\}$ die Fourierkoeffizienten bezüglich der Basis $B$.

nun falsch ist (mal abgesehen davon, dass ich das ziemlich unverständlich formuliert habe).

— MovGP0 17:09, 19. Apr. 2007 (CEST)

Du erlaeuterst nicht Dinge, sondern spielst mit Formeln rum (haeltst dich natuerlich trotz mehrfacher Ansprache nicht daran, wie wir Vektoren schreiben), wobei sich dann auch noch unnnoetige Ungenauigkeiten einschleichen. Etwa hat Orthogonalitaet nichts mit Normen zu tun. Der genannte Satz ist nicht falsch, er verfehlt nur das Thema. Er gehoert zum verlinkten Artikel Orthonormalsystem und siehe da, da steht er schon. --P. Birken 17:38, 19. Apr. 2007 (CEST)

Das aktzeptiere ich, möchte jedoch darum bitten beim nächsten Revert einfach hineinzuschreiben, dass das besser in einen anderen Artikel gehört.

btw: gemäß der aktuellen Diskussion:Vektor ist die Vektorschreibweise mit den Pfeilen so io. Solltest du meinen, dass deine Variante besser ist, so möchte ich dich bitten das dort auszudiskutieren. — MovGP0 18:20, 19. Apr. 2007 (CEST)

Bei Deinen Beiträgen sind nie einzelne punkte das Problem sondern gleich immer eine ganze Latte. Was Du zur "aktuellen Diskussion" bei Vektor schreibst, ist einfach falsch. --P. Birken 20:31, 19. Apr. 2007 (CEST)

Wie gesagt: das gehört nicht hier diskutiert. Ich bitte dich deine diesbezüglichen Kommentare hier zu posten. — MovGP0 01:15, 20. Apr. 2007 (CEST)

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Determinante von orthogonalen Matrizen

Wie wäre es mit einem Kommentar zur Determinante von orthogonalen nxn-Matrizen: $det(A^{T}\cdot A)=det(E_{n})=det(A)\cdot det(A^{T})=det(A)\cdot det(A)=det(A)^{2}$ also $det(A)=+-1$. Könnte man beim Volumenerhaltend hinzufügen. -- Eren phi 12:56, 20. Jul. 2007 (CEST)

det(A) kann auch -1 sein. --Drizzd 17:51, 20. Jul. 2007 (CEST)

Okay du hast recht, dass sind immer die dummen fehler +-1. Also den verbesserten Eintrag könnte man doch reinstellen oder?!

Ich stelle es verbessert rein. -- Eren phi 13:34, 22. Jul. 2007 (CEST)

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Projektion?

Orthogonale Projektion nennt man jene Abbildungen eines Urbildes (meist der Kugel) auf eine Ebene, die parallele Strahlen senkrecht auf die Projektionsebene aufweisen. Projiziert wird also aus dem Unendlichen. Für perspektive Projektionen ist dies gleichbedeutend mit der Abbildung üblicher Mondkarten der Vorder- und Rückseite. Den letzten Satz verstehe ich überhaupt nicht. Das heißt doch, dass alle perspektivischen orthogonalen Projektionen Mondkarten sind? Ist gemeint, dass übliche Mondkarten (annähernd) orthogonale Projektionen sind? -- Paul E. 16:05, 16. Aug. 2007 (CEST)

• Eine Grafik wäre toll! (nicht signierter Beitrag von 84.162.216.24 (Diskussion) 11:16, 23. Mär. 2008‎ (CEST))

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windschief

Geraden, die einander nicht schneiden, aber nicht parallel sind, nennt man hingegen windschief. ist in diesem Satz nicht was falsch? entweder: "...die einander schneiden" oder das "hingegen" muss weg (nicht signierter Beitrag von Oliversum (Diskussion | Beiträge) 22:06, 30. Mär. 2009 (CEST))

Huch? Wenn man es im 3D betrachtet, ist das doch vollkommen korrekt so? --PeterFrankfurt 00:48, 31. Mär. 2009 (CEST)

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Aufspaltung + BKL

Gehört der Artikel denn nicht aufgespalten und mit einer BKL versehen? Das hier ist richtig unerwünschter Mischmasch zwischen BKL in der Einleitung und dem eigentlichen Artikel Orthogonalität(Mathematik).
findet --Bergi Noch Fragen? 17:08, 8. Mai 2009 (CEST)

Das Problem ist offensichtlich, dass nicht zu allen Varianten, die in der Einleitung aufgeführt werden, ausreichende Mengen an Artikelmaterial vorliegen, man würde hier mitleiderregende Stubs erzeugen, fürchte ich. --PeterFrankfurt 02:05, 9. Mai 2009 (CEST)

Nein, würde schon reichen für Orthogonalität (die BKL mit den 4 Varianten), Orthogonalität (Mathematik) (die beiden ersten Überschriften) und Orthogonalität (Informatik) (die 3 Überschrift). Für Nachrichtentheorie und Systemtechnik (oder andersrum ;-) gibts rote Links, die beiden anderen Artikel sind schon deutlich mehr als Stubs.

denkt --Bergi Noch Fragen? 11:17, 9. Mai 2009 (CEST)

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Orthogonale Projektion

Da meine letzte Änderung reverted wurde, möchte ich hier kurz einen Kommentar zu diesen abgeben, in der Hoffnung, dass jemand anders diese (sofern als richtig empfunden) so in den Artikel einarbeiten kann, dass dies verständlich ist. Es handelt sich um zwei Anpassungen.

Wir haben bei der Definition der orthogonalem Projektion eine Redundanz. Es wird gefordert dass $p\colon V\to U$ und $p(v)\in U$, was das gleiche bedeutet. Mein Vorschlag wäre die erste Bedingung in $p\colon V\to V$ anzupassen.

Im Fall des undendlichdimensionalen Hilbertraums und abgeschlossenen Unterraumes ist es zentral, dass sogar eine stetige orthogonale Projektion auf diesen Unterraum existiert. Ansonsten könnte man auf die Forderung verzichten, dass der Unterraum abgeschlossen sein muss. UrsZH 09:05, 11. Jul. 2009 (CEST)

Habe es eingebaut. -- Digamma 08:56, 17. Sep. 2010 (CEST)

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Präeuklidische Ebene

Wäre es nicht sinnvoll, den Abschnitt "Synthetische Geometrie" auszulagern in einen eigenen Artikel Präeuklidische Ebene? -- Digamma 20:03, 7. Okt. 2010 (CEST)

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Alle Abschnitte

Nicht jeder ist Mathematiker. Beispiele würden den übrigen Lesern helfen. FS, 3Dez2010 (nicht signierter Beitrag von 84.150.232.58 (Diskussion) 17:03, 3. Dez. 2010 (CET))

Insgesamt ist die Sprache viel zu komplex, da quäle ich mich lieber durch die englische Wikipedia, selbst wenn ich kein Englisch könnte. Dieser Satz aus dem Punkt Orthogonale Projektion „Ist V ein endlichdimensionaler reeller oder komplexer Vektorraum mit einem positiv definiten Skalarprodukt, so gibt es zu jedem Unterraum U die Projektion entlang des orthogonalen Komplementes von U, welche orthogonale Projektion oder Orthogonalprojektion auf U genannt wird.“ ist für einen normalen Menschen nicht verständlich. Aber selbst wenn man sich dafür interessiert und einigermaßen Mathematik kann, ist der Satz nicht zu verstehehen.

Ich weiß nicht, ob es wirklich umzuformulieren geht, aber eine Erklärung für einen Nichtmathematiker wäre sehr schön.--217.244.244.18 10:29, 26. Apr. 2011 (CEST)

Unverständlichkeit

Dieser Artikel ist nur mit Insiderwissen zu verstehen, gespickt mit Fachausdrücken und spezieller Nomenklatur, von Allgemeinverständlichkeit keine Spur. Insbesondere zu in den Ingenieurwissenschaften auftretenden stetigen Funktionen suche ich vergeblich Zugang zu den Aussagen. Es sollte klar gemacht werden, woran man erkennt, wann eine Funktion zu einer anderen orthogonal ist. Beispiele bitte! --Saure 17:24, 26. Jan. 2012 (CET)

Könntest du bitte etwas genauer schreiben, was du mit Insiderwissen, Fachausdrücke und spezieller Nomenklatur meinst? Mathematiker sind da oft etwas betriebsblind. --Digamma 22:26, 26. Jan. 2012 (CET)

Also in der Einleitung steht für meinen Geschmack verständlich genug, dass es grundsätzlich um senkrecht aufeinanderstehende Elemente geht. Wenn es dann in die Details geht, kann ich nicht helfen, für mein Gefühl ist das eben so kompliziert, da wüsste ich nicht, wie man sowas einfacher ausdrücken könnte. Die OmA-Kompatibilität ist mir auch immer ein Anliegen, aber hier sehe ich ehrlich keine Chance. --PeterFrankfurt 02:40, 27. Jan. 2012 (CET)

Als Beispiele könnte man nennen: Sinus und Kosinus (->Fourierreihe) oder die Tschebyschow-Polynome. --Boobarkee 09:29, 27. Jan. 2012 (CET)

@Digamma: Zugegeben, in einer Darstellung möchte man nicht immer bei Adam und Eva beginnen, und wenn ich beispielsweise etwas über den Mittelwert schreibe, setze ich das Integral als bekannt voraus, aber wann immer ich ein mathematisches Thema nachschlage, dann habe ich den Eindruck, dass die Mathematiker unter sich bleiben wollen. Da fehlt dann überhaupt der Ansatz zu einer Frage oder zu Beispielen zu Fachausdrücken und spezieller Nomenklatur, die du erbittest.

Zu konkret meinem Problem einer orthogonalen Funktion: Da steht dann: „In Funktionenräumen mit Skalarprodukt, wie Hilberträumen, erfolgt die Definition orthogonaler Funktionen analog, ...“. Da muss ich wissen, was Funktionenräume sind, (ein Nachschlagen unter diesem Stichwort führt auf genau solches Mathematiker-Deutsch), da muss ich wissen, was ein Skalarprodukt, das ich nur im Zusammenhang mit Vektoren kenne, hier in Zusammenhang mit Funktionenräumen darstellt, dann werde ich mit dem Wort „analog“ auf zuvor (mir genauso unverständlich) definierte «Orthogonale und orthonormale Vektoren» verwiesen, bei denen man wissen muss, was mit $\mathbb {R} ^{2}$ und $\mathbb {R} ^{3}$ gemeint sein soll oder einem Vektorraum. Ich habe heftige 4 Semester Mathematik gehört (und als verstanden nachgewiesen), dabei wäre der Hilbertraum Thema einer Zusatzvorlesung gewesen. Muss man wirklich wissen, dass „viele interessante Räume wie die L2-Räume(?) unendlichdimensional(?)“ sind, um verstehen zu können, wann eine Funktion orthogonal ist? Muss ich für meine Frage wirklich wissen, was eine Funktion (etwa der Zeit) mit einem Vektor (für mich im Sinne der Anwendung in der Physik eine Größe im dreidimenionalen Raum) gemein hat? --Saure 10:45, 27. Jan. 2012 (CET)

@Boobarkee: Da habe ich mich wohl unklar ausgedrückt: Zuerst: Es sollte klar gemacht werden, woran man erkennt, wann eine Funktion zu einer anderen orthogonal ist. Und dann zur Umsetzung der Definition Beispiele bitte. --Saure 11:01, 27. Jan. 2012 (CET)

@Saure: Erkennen tut man das daran, dass das zugehörige Skalarprodukt (im zugrunde liegenden Hilbertraum) Null ist. Im Fall von sin und cos: Wir betrachten z.b. den Raum der stetigen Funktionen von $[0;2\pi ]$ nach R mit dem Standardskalarprodukt und rechnen nach: $\int _{0}^{2\pi }\sin(x)\cdot \cos(x)\,dx=0$. Bei einer anderen Wahl des Definitionsbereiches gilt das natürlich im Allgemeinen nicht, d.h. man muss den Prae-Hilbertraum, in dem man sich bewegt, mit angeben. --Boobarkee 11:48, 27. Jan. 2012 (CET)

@Boobarkee: Die Tschebyschow-Polynome oben sollen wofür ein Beispiel sein? Für mich sind sie eher ein Beispiel für unverständliches Mathematiker-Babble. Insofern gebe ich Saure recht, dass Mathematiker das offensichtlich gar nicht mehr merken, wie Lichtjahre entfernt von halbwegs ausgebildetem Techniker-Deutsch sie formulieren. Allerdings komme ich dann und setze hinzu, dass das eben in einigen Fällen gar nicht anders geht, wenn es denn wirklich so kompliziert ist und man es nur auf brachiale, fehlerhafte Art vereinfachen könnte. Die Tsch.-Polynome und die Orthogonalität sind für mich Beispiele für solche hoffnungslos komplizierten Fälle, wo ich keine Chance auf Allgemeinverständlichkeit bis in die letzte Tiefe sehe. - Am Anfang, in der Einleitung muss man sich aber wie immer darum bemühen, auf Allgemeinverständlichkeitsebene zu erklären, worum es überhaupt geht. Das ist hier bei der Orthogonalität nach meinem Gefühl noch einigermaßen gelungen, bei den Tsch.-Polynomen aber gar nicht. Dass es dann im weiteren Verlauf eines Artikels gerne immer komplizierter wird und einige Leser je nach Vorbildung früher oder später aussteigen, halte ich für normal und unschädlich, da wird hoffentlich jeder schon die Information, nach der er gesucht hat, bis dahin bekommen haben. --PeterFrankfurt 01:44, 28. Jan. 2012 (CET)

@Boobarkee: Deine Antwort ist ein Musterbeispiel für das, was ich hier beklage. Um das zu verdeutlichen, erlaube ich mir, deine Antwort zu zerpflücken:

Erkennen tut man das daran, dass das zugehörige (Wer könnte zu wem gehören?)

Skalarprodukt (Welcher Faktor[Vektor] mit welchem Faktor soll hier multipliziert werden?)

(im zugrunde liegenden Hilbertraum (Den habe ich in Mathe I...V nicht kennengelernt, bei Wikipedia steht nur Mathe-Chinesisch))

Null ist. Im Fall von sin und cos: (Wie kommt man gerade auf diese Funktionen, wenn ich nach Kennzeichen der Orthogonalität frage?)

Wir betrachten z.b. den Raum der stetigen Funktionen von $[0;2\pi ]$ (Gehören diese Grenzen definitionsmäßig zur Orthogonalität? Warum sonst gerade diese?)

nach R (Zu diesem nach R kann ich nicht einmal ein Frage formulieren.)

mit dem Standardskalarprodukt (Was an einem Skalarprodukt macht es zum Standardskalarprodukt? Aus der Vektorrechnung im dreidimensionalen Raum kenne ich nur genau ein Skalarprodukt.)

und rechnen nach: $\int _{0}^{2\pi }\sin(x)\cdot \cos(x)\,dx=0$ (Dieses Integral fällt irgendwie vom Himmel. Liegt vielleicht in diesem Intagral eine Basisaussage zur Definition der Orthogonalität?).

Bitte nicht verärgert sein! Es geht mir wirklich um eine verständliche Aussage, wann Orthogonaliät vorliegt. Oder ist diese auf dem Niveau eines Dipl.Ing.s nicht darstellbar? Ich habe einen von Elektrotechnikern geschriebenen Text vorliegen mit diesem Begriff, so dass ich vermute, es müsste möglich sein. Gruß --Saure 11:21, 28. Jan. 2012 (CET)

@Saure, Du solltest vielleicht zunächst Skalarprodukt#L2-Skalarprodukt lesen. Grüße --Boobarkee 13:47, 29. Jan. 2012 (CET)

Soll das ein Beispiel für Verständlichkeit sein oder was? Es ist knapp und sauber, aber hart an der Grenze für die OmA. Wer eine normale Schul- oder Ingenieurausbildung hat, wird sich nämlich im falschen Film wähnen, da er bei Skalarprodukt ausschließlich an Vektoren denkt und an nichts anderes. Diese allgemeinere Darstellung ist also weder falsch, noch darf man sie hier verbieten, sie ist aber extrem erklärungsbedürftig. Und das fehlt dort komplett. Wenn das jemand nachlesen soll, um diesen Artikel hier zu verstehen, wären Erläuterungen notwendig, die diese Schritte der Verallgemeinerung von Vektoren hin zu Funktionenräumen aufdröseln. Insofern hilft der Link in dieser Form überhaupt nichts. --PeterFrankfurt 02:26, 30. Jan. 2012 (CET)

Sorry, ich habe lediglich versucht, bei der Beantwortung der Frage behilfreich zu sein, was es bedeutet, dass zwei Funktionen orthogonal sind. Ich habe weder den Artikel Orthogonalität noch den Artikel Skalarprodukt verfasst oder wesentlich mitgestaltet. Und wenn Du, PeterFrankfurt, so genau weisst, was man hier alles erläutern müsse, dann WP:sei mutig! --Boobarkee 09:02, 30. Jan. 2012 (CET)

Nein, ich bin hier auch bloß Opfer. Ich verstehe den Artikel zwar knapp, aber selber wage ich da keinerlei Formulierungen. --PeterFrankfurt 02:20, 31. Jan. 2012 (CET)

Nach intensiver Beratung durch Boobarkee werde ich eine Fassung vorstellen, die hoffentlich den Ingenieurwissenschaftlern entgegenkommt. Wenn diese akzeptiert wird, ziehe ich meine Behauptung der Unverständlichkeit zurück (für den Teil, den ich verstehen wollte). --Saure 20:24, 2. Feb. 2012 (CET)

Meiner Meinung nach sollte man auf alle Fälle auch komplexwertige Funktionen erwähnen. Gerade in Anwendungen wie der Quantenmechanik oder der Fouriertransformation sind doch alle Funktionen grundsätzlich komplex. Außerdem hat man dort auch meist unbeschränkte Integrationsintervalle. -- HilberTraum 21:31, 2. Feb. 2012 (CET)

Klar, gerne, alles. Aber halt nur nicht im ersten Satz der Einleitung. --PeterFrankfurt 02:44, 3. Feb. 2012 (CET)

Ich bezog mich auf den überarbeiteten Abschnitt Orthogonale Funktionen. -- HilberTraum 08:47, 3. Feb. 2012 (CET)

@HilberTraum: Ich habe hier etwas so umformuliert/erweitert, dass der Text zu einem bestimmten Anliegen etwas weniger unverständlich wird (mit den Augen eines mathematisch vorgebildeten Nicht-Mathematikers). Wenn du ein weitergehendes Anliegen hast, dann mach doch, – bloß bitte mach es so, dass die jetztige Erklärung nicht wieder auf ein Insider-Mathe für Betriebsblinde hochgejubelt wird. Zu einem angehängten weiteren Abschnitt: WP:sei mutig! --Saure 10:20, 3. Feb. 2012 (CET)

Sollte man dann die orthogonalen Funktionen überhaupt unter "Lineare Algebra" lassen? Ist doch eher (Funktional-)Analysis. Ich wäre eigentlich für einen eigenen Abschnitt, vor allem wenn's noch ausgebaut werden sollte. Gibt's Meinungen? -- HilberTraum 13:22, 7. Feb. 2012 (CET)

Was wäre die Alternative? Orth. Funktionen in einem dritten Abschnitt über Funktionalanalysis (also 1) Geometrie 2) lin. Alg. 3) Funkt.Analysis) zu behandeln? Also ich habe das zuerst in der Vorlesung zur linearen Algebra gehört, eben als ein Anwendungsbeispiel mit ein Wenig Analysis. Und wirkliche Ergebnisse/Begriffe der Funktionalanalysis braucht man ja nicht, um den Abschnitt nachvollziehen zu können.--Boobarkee 01:11, 9. Feb. 2012 (CET)

Vielleicht 3) Orthogonalität in Funktionenräumen? Wenn dort auch Hilbertraumbasis und Quantenmechanik erwähnt werden, geht's ja schon in Richtung Funktionalanalysis. Mir gefällt diese strikte Zweiteilung in Geometrie und Lineare Algebra nicht so recht, aber eine gute Gliederungsidee habe ich auch nicht. -- HilberTraum 21:28, 9. Feb. 2012 (CET)

Erwähnt werden sie zwar, aber doch nur als eine Art Ausblick. Mit der Trennung zwischen Geomatrie und linearer Algebra gebe ich Dir recht. Eigentlich könnte man den derzeitigen Abschnitt "Geometrie" als "Orthogonalität ohne Skalarprodukt" umschreiben. Ich versuche mal eine Grobgliederung:

• Elementargeometrie (Grundprinzip: Zwei geom. Figuren heissen orthogonal, wenn sie zueinader einen Winkel von 90° einschließen.)
  • Gerade / Gerade in 2D und 3D
  • Gerade / Ebene in 3D
  • Ebene / Ebene in 3D
  • Orthogonalität der Graphen zu linearen Funktionen (derzeit eher deplaziert unter "Analytische Geometrie")
  • Nachweis der Orth. über Skalarprodukt im Anschauungsraum
• Prähilbertraum (reeller Fall)
  • VR+Skalarprodukt -> Längen- und Winkelbegriff -> Orthogonalität
  • Funktionenräume
    • hier mehr Beispiele (hat doch auch Bedeutung in der Numerik / Approximationstheorie, Tschebyschew Polynome etc.)
  • Orthogonalität linearer Abbildungen (= (Endo)morphismen von Prähilberträumen)
    • Endomorphismen im endl.dim: orthogonale Matrizen
  • Orthogonale Projektionen
• Prähilbertraum (komplexer Fall) (erst hier, damit man auch ohne Kenntnis von $\mathbb {C}$ möglichst weit kommt)
  • Funktionenräume / Quantenmechanik
  • z.B. Verweis auf Kugelfunktionen

Grüße --Boobarkee 23:02, 9. Feb. 2012 (CET)

Grundsätzlich gefällt mir der Vorschlag. Aber eine Anmerkung habe ich: Die ganzen in dem Artikel auftretenden Begriffe sind wohl nur deshalb in einem Artikel zusammengefasst, weil zu jedem einzelnen Begriff nicht viel gesagt wird. Wenn man das ändern möchte, und zum Beispiel Ausführliches über orthogonale Funktionen schreiben möchte, dann wäre es meiner Ansicht nach vernünftig dazu einen eigenen Artikel anzulegen. Beispiele über Systeme von orthogonalen Fuktionen könnte man aber auch im Artikel Orthogonalsystem unterbringen. Orthogonale Projektionen werden schon in einem eigenen Abschnitt Projektion (Mathematik)#Orthogonale Projektion im Artikel Projektion (Mathematik) abgehandelt. Auf diesen Artikel wird auch auf der BKL Orthogonalprojektion verwiesen und Orthogonale Projektion leitet auf diesen Artikel weiter. --Digamma 15:23, 10. Feb. 2012 (CET)

Ich finde Boobarkees Gliederungsvorschlag sehr gelungen. Zu ausführlich soll's hier natürlich nicht werden, aber der komplexe Fall müsste, wie gesagt, auf alle Fälle noch rein, eben weil er für viele Anwendungen so zentral ist. -- HilberTraum 20:39, 11. Feb. 2012 (CET)

Zwei Ebenen

Eine Ebene heißt Orthogonale (Normalebene) einer Ebene, wenn ihr Normalenvektor in dieser Ebene liegt. ... ist doch Unsinn, oder? Das kann doch höchstens dann richtig sein, wenn beide Ebenen den Nullpunkt enthalten, und selbst dann finde ich's verwirrend. -- HilberTraum 10:53, 4. Feb. 2012 (CET)

Das ganze gehört sowieso nicht unter "Elementargeometrie", sondern unter "analytische Geometrie". Gemeint ist vermutlich: wenn der Normalenvektor der einen Ebene in dem zur andern Ebene gehörenden Untervektorraum liegt. Das ist aber ganz sicher keine Definition ("heißt ...") sondern nur ein Kriterium. --Digamma 20:29, 5. Feb. 2012 (CET)

Man könnte aber ganz einfach eine Def. daraus machen: Zwei Ebenen heißen zueinander orthogonal, wenn ihre Normalenvektoren zueinander orthogonal sind. --Boobarkee 22:07, 5. Feb. 2012 (CET)

Ja, so kenne ich's auch, aber ich würde Digamma zustimmen, dass das eher für den Abschnitt "analytische Geometrie" taugt. Was sollte man denn in der Elementargeometrie, also möglichst ohne Vektoren, dazu schreiben? -- HilberTraum 20:45, 6. Feb. 2012 (CET)

Man muss <f,g> definieren

Zu dem Satz Man muss <f,g> definieren bevor man es in der Definition von orthogonalen Funktionen anwendet:

Die Definition des Skalarproduktes erfolgt an anderer Stelle. Jedenfalls wird ein Skalarprodukt nicht dadurch definiert, dass man als linke Hälfte einer Gleichung ein „<f,g> =“ einfügt. Die Schreibweise für ein Skalarprodukt wird innerhalb dieses Artikels erstmalig unmittelbar vor dem Integralausdruck festgelegt. Wenn man dann feststellt, dass der Integralausdruck sich wie ein Skalarprodukt verhält, kann darufhin eine Gleichsetzung erfolgen. --Saure 15:42, 9. Feb. 2012 (CET)

Hallo Saure! Das würde ich anders sehen: 1. Ich definiere das Symbol <f,g> als ein Integral. 2. Ich weise nach, dass es die Eig. eines Skalarproukts erfüllt. Schritt 1. könnte ich auch vornehmen, wenn es sich um kein Skalarproukt handelte. Grüße --Boobarkee 19:57, 9. Feb. 2012 (CET)

Hallo Boobarkee! Das halte ich für einen ganz gefährlichen Weg: Wenn das Integral mit dem Symbol <f,g> gekennzeichnet wird, dann wird ein Symbol doppelt belegt, denn es wird ja bereits als Symbol für das Skalarprodukt verwendet. Auch wenn das zum Schluss gut geht, weil das Integral die Eigenschaften eines Skalarproduktes erfüllt, so muss bis zum Nachweis erst einmal zwischen Integral und Sk.Prod. unterschieden werden mit unterschiedlichen Symbolen oder gar keinem Symbol (wie von mir geschrieben). --Saure 09:43, 10. Feb. 2012 (CET)

Hallo Saure, sieh es doch so: das Symbol <,> wird im 2. Schritt ganz offiziell zum Skalarprodukt befördert. Dabei ändert es aber sein Wesen nicht. --Boobarkee 12:00, 10. Feb. 2012 (CET)

Hallo Saure. Es ist in der Mathematik üblich, dass man Dingen einen Namen gibt, bevor man über sie spricht. Die Art des Namens macht keine Aussage darüber, was für Eigenschaften das Objekt hat, sondern suggeriert diese nur. So ist es zum Beispiel üblich, Primzahlen mit p zu bezeichnen. Dass kann ich mit einer Zahl aber schon tun, bevor ich nachweise, dass sie eine Primzahl ist. Die Bezeichnung "p" soll ja nur den Gedanken an eine Primzahl nahelegen. Sie enthält aber keine Aussage darüber, dass die Zahl eine Primzahl ist.

Mit dem Symbol <,> ist es hier genauso. Es soll nahelegen, dass die betrachtete zweistellige Zuordnung ein Skalarprodukt ist, enthält aber nicht die Aussage, dass es so sei.

Darüberhinaus muss man unterscheiden zwischen einem Ausdruck (Term) und der dadurch definierten Zuordnung. Der Integralausdruck

$\int _{a}^{b}f(x)\,g(x)\,\mathrm {d} x$

ist kein Skalarprodukt. Aber die Zuordnung

$(f,g)\mapsto \int _{a}^{b}f(x)\,g(x)\,\mathrm {d} x\,,$

die zwei Funktionen f und g das genannte Integral zuordnet, ist ein Skalarprodukt. Strenggenommen ist deine Formulierung also falsch.

Du schreibst: "Die Definition des Skalarproduktes erfolgt an anderer Stelle." Gemeint ist aber nicht des Skalarprodukts (also eines konkreten Skalarprodukts), sondern "was ein Skalarprodukt ist", also die Eigenschaft einer Zuordnung, ein Skalarprodukt zu sein.

Du schreibst weiter: "Jedenfalls wird ein Skalarprodukt nicht dadurch definiert, dass man als linke Hälfte einer Gleichung ein „<f,g> =“ einfügt." Doch. Genau dadurch wird die Zuordnung definiert. Dass es sich bei der Zuordnung um ein Skalarprodukt handelt, kann dann nachgewiesen werden, ist aber nicht Teil der Definition. Dieses konkrete Skalarprodukt wird aber genau dadurch definiert und bennant, dass man „<f,g> =“ vor den definierenden Ausdruck schreibt.

Die Benennung $\langle f,g\rangle$ besagt nicht, dass die Zuordnung $(f,g)\mapsto \langle f,g\rangle$ ein Skalarprodukt ist. Sie gibt der Zuordnung nur einen Namen (allerdings einen suggestiven).

Außerdem schreiben wir keinen Fachartikel und kein Mathematikbuch, wo Aussagen erst dann verwendet werden dürfen, wenn sie bewiesen sind, sondern stellen nur den bekannten Stand der Wissenschaft dar. Und dass das genannte Integral ein Skalarprodukt definiert, ist bekannt. Deshalb spricht nichts dagegen, es gleich schon zu Beginn ein solches zu nennen. --Digamma 14:26, 10. Feb. 2012 (CET)

Wenn das so ist, dann braucht man in einem Artikel keinen logischen Aufbau. „Und dass das genannte Integral ein Skalarprodukt definiert, ist bekannt.“ Das mag für Mathematiker gelten; für mich als Dipl.-Ing. (Uni) ist das nicht bekannt. Solange das Integral und das Skalarprodukt getrennte Dinge sind, die erst im Artikel zusammengeführt werden, müssen sie nach meinem Verständnis getrennt (also unterschiedlich) bezeichnet werden. Natürlich kann man Primzahlen mit dem Symbol p versehen, solange das Symbol nicht schon für etwas anderes verwendet wird. Aber: „Die Bezeichnung "p" soll ja nur den Gedanken an eine Primzahl nahelegen. Sie enthält aber keine Aussage darüber, dass die Zahl eine Primzahl ist.“ Da geht bei mir jedes Verständnis über eine Eindeutigkeit in der Kennzeichnung ab. Ich kann dich also als Mörder bezeichnen, und das enthält keine Aussage, dass du ein Mörder bist.

Weiter oben hast du einmal geschrieben: „Mathematiker sind da oft etwas betriebsblind.“ Offensichtlich sind meine Bemühungen um etwas einfachere und auf ein Ziel hinführende Aussagen vergeblich; ihr bleibt betriebsblind.

Parallel zu deiner Stellungnahme hatte ich an meiner Antwort an Boobarkee gefeilt. Ich schicke sie noch hinterher. Aber Zweck hat es nicht mehr. So könnt ihr euch für lernwillig Außenstehende nicht verständlich machen.

Hallo Boobarkee! Eben nicht! Ein Symbol darf nicht doppelt belegt werden – um der Eindeutigkeit willen. In der Textzeile, in der gegenwärtig das Integral erstmalig auftritt, ist noch nicht bekannt, dass es mit <f,g> gleichsetzbar ist. Warum möchtet ihr den zweiten Schritt vor dem ersten machen? Erst nachdem das Integral zum Skalarprodukt befördert worden ist, darf das Integral mit dem Symbol belegt werden, das für die Kennzeichnung des Skalarproduktes vorbehalten ist. --Saure 17:30, 10. Feb. 2012 (CET)

Hallo Saure,

das ist ein Unterschied zwischen Physik und Technik einerseits und Mathematik andererseits: In der Physik bezeichnet ein Formelzeichen immer eine ganz bestimmte Größenart. Wenn ich U schreibe, dann sage ich damit schon, dass es sich um eine Spannung handelt. Wenn ich etwas anderes meine, dann darf ich nicht U schreiben. Das ist in der Mathematik anders. Grundsätzlich kann da alles beliebig bezeichnet werden. Aber um die Lesbarkeit und Verständlichkeit zu erhöhen, einigt man sich darauf, Objekte verschiedenen Typs auch mit verschiedenen Buchstaben oder Zeichen zu bezeichnen, und hat für gängige Typen von Objekten auch gängige Bezeichnungen. Das Beispiel mit dem Mörder trifft es nicht. Mörder zu sein ist eine Eigenschaft. Variablennamen und Zeichen sind aber Namen. Ob jemand ein Mörder ist, hängt doch nicht davon ab, wie er heißt. Ein besser passender Vergleich: Legt der Name eines Menschen sein Geschlecht fest? In der Physik ja, in der Mathemtik nein.

In der Definition von "Skalarprodukt" wird zwar das Zeichen <,> benutzt. Aber nur als Platzhalter. Die Definition sagt nicht, dass ein Skalarprodukt mit <,> bezeichnet werden muss, sie sagt auch nicht aus, dass nur Skalarprodukte so bezeichnet werden dürfen.

Zu deiner Antwort an Boobarki: Doch, in der Mathematik werden Bezeichnungen oft mehrfach verwendet. Das Zeichen <,> wird für ganz verschiedene Skalarprodukte verwendet, z.B. für das Standardskalarprodukt im $\mathbb {R} ^{n}$, für das Standardskalarprodukt im $\mathbb {C} ^{n}$ (das sind eigentlich schon unendlich viele verschiedene Dinge), aber auch für viele andere Skalarprodukte, wie zum Beispiel das hier betrachtete $L_{2}$-Skalarprodukt. In anderen Kontexten wird es auch für ganz andere Dinge benutzt. Ein Malpunkt wird z.B. auch für ganz verschiedene Verknüpfungen benutzt: Für die Multiplikation von Zahlen, für die Multiplikation von Matrizen, für ganz beliebige Verknüpfungen in der Gruppentheorie, für das Skalarprodukt, ...

Und: Als Autor weiß ich doch schon, dass das Integral ein Skalarprodukt definiert und möchte es dem Leser mitteilen. Warum soll ich es dann nicht gleich zu Beginn ein solches nennen? --Digamma 21:16, 10. Feb. 2012 (CET)

Hallo Saure, zu Deiner Antwort an mich: Das Sympol wird aber nicht doppelt belegt. Es steht immer für dieses Integral, unabhängig damit, ob durch die Zuordnung ein Skalarprodukt gegeben ist oder nicht. Ich greife mal nochmals Deinen Mörder auf: Was passiert hier? Nun, zunächst wurde ein Baby geboren, dem man den Namen Erich Mustermann gegeben hat. Jahre später nun tötet Erich Mustermann den Manfred Maustot. Dadurch wird Erich Mustermann zum Mörder, behält aber seinen Namen bei. Zunächst ist die Abbildung $(f,g)\mapsto \langle f,g\rangle =\int \ldots$ einfach irgendeine Abbildung. Einige Zeilen später weisen wir dann nach, dass es sich um ein Skalarprodukt handelt, was die Abbildung selbst aber in keiner Weise verändert. Grüße --Boobarkee 21:40, 10. Feb. 2012 (CET)

@Digamma: Nee, das ist zu optimischtisch, dass in der Physik ein Formelzeichen immer eine ganz bestimmte Größenart bezeichnen würde. Dazu ist das Alphabet (sogar incl. griechisch) zu klein. Ein F ist mal Kraft, mal Fläche, dann ist die Fläche wieder ein A usw. Das k ist mal Absorptions-, mal Extinktionskoeffizient, mal Wellenzahl. Da kann man bestimmt noch eine Menge Beispiele finden. Also so anders geht es in der Physik denn doch nicht zu. --PeterFrankfurt 02:33, 11. Feb. 2012 (CET)

PeterFrankfurt, es ist doch ganz offensichtlich, dass Digamma hier kein "Naturgesetz aus dem Bereich der Meta-Physik" aufstellen wollte, sondern, wie ich finde auf sehr geschickte Weise, versucht, Saure bei dessen zentralem Verständnisproblem zu helfen. --Boobarkee 14:34, 11. Feb. 2012 (CET)

Wer hier ein zentrales Verständnisproblem hat, ist eigentlich noch offen. Um die Klärung des Problems bemühen wir uns zur Zeit noch.

Die Aussage zu dem Formelzeichen U ist schief gegangen. Zwar wird in Mitteleuropa dieses vorzugsweise für eine elektrische Spannung verwendet; das ist (genormte) Konvention, aber zwingend ist es nicht. In DIN 1304-1 („Formelzeichen, Allgemeine Formelzeichen“) wird das U auch für "Innere Energie" empfohlen. Erst im Kontext wird klar, für welche Größe das U steht, oder welches Formelzeichen für elektrische Spannung steht. Da unterscheiden sich die Physiker und Ingenieure nicht von den Mathematikern. Der Text „Grundsätzlich kann da (in der Mathematik) alles beliebig bezeichnet werden. Aber um die Lesbarkeit und Verständlichkeit zu erhöhen …“ hat auch gleich dazu geführt, dass im Artikel jemand <x,y> abgewandelt hat in <v,w>, offensichtlich weil für diese Zeichen doch bestimmte Konventionen zu beachten sind (wie das U für die Spannung).

Dann noch einmal zu: „Die Bezeichnung "p" soll ja nur den Gedanken an eine Primzahl nahelegen. Sie enthält aber keine Aussage darüber, dass die Zahl eine Primzahl ist.“ Die Bezeichung "p" steht für eine Eigenschaft, nicht für einen Namen. Nur über die Kennzeichnung einer Eigenschaft habe ich geschrieben; mit einem Namen hat das nichts zu tun. Die Ungeheuerlichkeit der zitierten Aussage wird aber deutlich, wenn ich statt "Primzahl" einmal "Mörder" schreibe: «Die Bezeichnung "M" soll ja nur den Gedanken an einen Mörder nahelegen. Sie enthält aber keine Aussage darüber, dass der Mensch ein Mörder ist.» Man kann also einen Gedanken nahelegen und dann behaupten, dass das keine Aussage ist. Das ist üble Unterstellung − oder sie trifft zu, dann man hat Glück gehabt. Soll das exakte Mathematik sein?

Das Verknüpfungszeichen eines Malpunktes ist zweifellos unterschiedlich zu handhaben, je nachdem, ob es zwischen Skalaren, Vektoren oder Matrizen steht. In seinem Umfeld ist klar, was hier unter Multiplikation verstanden wird, die Handhabung ist ebenfalls klar. Entsprechend: „Das Zeichen <,> wird für ganz verschiedene Skalarprodukte verwendet“. Im Umfeld ist klar, welche Art Skalarprodukt gemeint ist. Aber es steht erst einmal für Skalarprodukt und nicht für ein spezielles Integral. Mit dem Satz „Es (das Symbol) steht immer für dieses Integral“ gebt ihr dem Symbol einen zweiten Sinn, zumindest für jemanden, den der Artikelschreiber bei der Hand nehmen will/soll, um ihm die Orthogonalität nahe zu bringen. Sicher, ihr Mathematiker wisst schon, „dass das genannte Integral ein Skalarprodukt definiert“. Dann könnt ihr auch schon vorher <,> dran schreiben. Aber dann ist keine aufbauende Entwicklung im Text, sondern nur der Nachweis, dass der Verfasser der Größte ist, der (jetzt schon) weiß, dass es (letztendlich) so richtig ist. Solange ich beim Lesen des Textes noch nicht weiß, wo der Hase hinläuft, bin ich irritiert, was das Skalarprodukt-Zeichen <,> vor dem Integral soll. Dass mir etwas „suggeriert“ werden soll, finde ich (wie bei dem "p") bei einer exakten Wissenschaft unmöglich. --Saure 19:49, 11. Feb. 2012 (CET)

Du schreibst:"Die Bezeichung "p" steht für eine Eigenschaft, nicht für einen Namen. Nur über die Kennzeichnung einer Eigenschaft habe ich geschrieben; mit einem Namen hat das nichts zu tun." Genau das ist aber falsch. Wenn ich z.B. schreibe "Sei p = 241", dann ist p ein Name, eine Bezeichnung für die Zahl 243. Ich möchte durch die Wahl des Symbols p wahrscheinlich andeuten, dass 241 eine Primzahl ist, sonst würde ich die Zahl wahrscheinlich mit n bezeichnen. Mehr aber auch nicht. Wenn ich ausdrücklich sagen möchte, dass 241 eine Primzahl ist, dann muss ich das auch ausdrücklich sagen: "p ist eine Primzahl". Das kann mich aber nicht davon abhalten, die Zahl 241 von vornherein p zu nennen, auch wenn ich nicht weiß, ob es eine Primzahl ist. Genauso ist es mit den spitzen Klammern. Ich kann die Zuordnung, die zwei Funktionen f und g das genannte Integral zuordnet mit spitzen Klammern bezeichnen (<f,g>) ohne dass dies eine Aussage darüber machen würde, dass es sich um ein Skalarprodukt handelt.

"«Die Bezeichnung "M" soll ja nur den Gedanken an einen Mörder nahelegen. Sie enthält aber keine Aussage darüber, dass der Mensch ein Mörder ist.» Man kann also einen Gedanken nahelegen und dann behaupten, dass das keine Aussage ist. Das ist üble Unterstellung − oder sie trifft zu, dann man hat Glück gehabt. Soll das exakte Mathematik sein?"

Ja. Die Bezeichnung "M" soll den Leser im weiteren Verlauf daran erinnern, dass damit der Mörder bezeichnet wird. Mehr aber nicht. Das könnte z.B. in einer juristischen Fallbeschreibung so verwendet werden. Es werden keine echte Namen verwendet, für die handelnden Personen werden Buchstaben eingeführt. Der Mörder wird mit M bezeichnet, das Opfer mit O. Das dient aber nur dazu, dass der Leser die "Namen" leichter zuordnen kann. Es ersetzt nicht die Beschreibung des Falls und präjudiziert nicht, dass M tatsächlich ein Mörder ist. Die Person kann gleich zu Anfang der Geschichte als "M" eingeführt werden, auch wenn erst später ersichtlich wird, dass es sich bei "M" um einen Mörder handelt.

Jetzt aber zum eigentlichen Grund für meine Änderung. Der liegt nämlich in den Zeilen

Die Funktionen f und g werden als orthogonal bezeichnet, wenn

$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)\,g(x)\,\mathrm {d} x=0$

erfüllt ist.

Die mittlere Zeile enthält zwei Gleichheitszeichen. Das erste dient dazu, die Schreibweise <f,g> zu definieren, das zweite Gleichheitszeichen drückt die definierende Bedingung für die Orthogonalität aus: Das Skalarprodukt ist null. Das ist verwirrend. Der Leser weiß nicht, dass das erste Gleichheitszeichen eine Definition ist und das zweite die eigentliche Bedingung ausdrückt. Außerdem könnte die Tatsache, dass die Schreibweise <,> hier in der Definition von Orthogonalität eingeführt wird, nahelegen, dass die Definition nur für diesen Fall gilt. Dass man also nur dann $\textstyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)\,g(x)\,\mathrm {d} x$ schreiben darf, wenn f und g orthogonal sind.

Um dieser doppelten Verwirrung vorzubeugen wollte ich die Definition von <,> vorziehen. --Digamma 19:37, 12. Feb. 2012 (CET)

Hallo, Digamma! Du schreibst:„"Sei p = 241", dann ist p ein Name, eine Bezeichnung für die Zahl“. Ich meine, einen Namen kann man einem Individuum geben; das Kennzeichen Primzahl gilt für viele solche Individuen. Die Bezeichnung "M" darf in einem Kriminalroman stehen, solange sie sich mit keinem Individuum in Verbindung bringen lässt. Die Bezeichnung "M" darf erst dann mit dem Namen "Erich Mustermann" in Verbindung gebracht werden, wenn der Beweis erbracht worden ist, dass dieser Erich Mustermann wirklich ein Mörder ist. Jeder Journalist, der über die Gerichtsverhandlung berichtet, macht sich strafbar, wenn er vor Urteilsverkündung Herrn Erich Mustermann als Mörder bezeichnet. Jetzt muss klar unterschieden werden, ob p für das Individuum (mit dem Namen) "241" steht oder für die Eigenschaft Primzahl. Das geht aus deinem eingangs zitierten Satz nicht hervor. Wenn das p für Primzahl steht, dann ist nach meinem Sprach- und Rechtsverständnis die Aussage "Sei p = 241" erst zulässig nach erbrachtem Beweis. Denn mit "Sei M = Max Mustermann" darf ich keinesfalls durch die Wahl des Symbols M als wahrscheinlich andeuten, dass Max Mustermann ein Mörder ist.

Ich sehe im Moment keine Chance, wie wir hier zusammenkommen können. Wie fast immer, wenn Menschen guten Willens sich nicht verständigen können, fürchte ich ein Definitionsproblem, bei dem ich nicht weiß, worin es besteht, und wie wir es lösen können.

Zum zweiten Teil deiner Stellungnahme: Es ist richtig, dass ich – um Platz zu sparen – zwei Schritte in einer Zeile zusammengefasst habe. Durch die von dir eingefügte Zeile dürfte weder die von dir noch die von mir gesehene Verwirrung mehr möglich sein. --Saure 12:33, 13. Feb. 2012 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Digamma (Diskussion) 09:25, 17. Apr. 2014 (CEST)

Orthogonale Abbildungen

Sind orthogonale Abbildungen auch zwischen unendlichdimensionalen Vektorräumen definiert? Müssen die beiden Vektorräume V,W gleich sein? Braucht man neben der Linearität dann nicht auch noch Bijektivität? In der Literatur finde ich unter „orthogonale Abbildung“ eigentlich nur den reellen, endlichdimensionalen Fall mit V=W. In Isometrie#Vektorräume mit Skalarprodukt steht aber eine allgemeine Definition (reell und komplex) mit V=W und Bijektivität wird dabei jedoch nicht gefordert. In unitäre Abbildung schon, dafür dürfen dort die Vektorräume unterschiedlich sein. In beiden Fällen wird die Dimension nicht eingeschränkt. Ich bin verwirrt. Wäre hier nicht ein eigener Artikel sinnvoll, um das alles mal zu klären? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 10:26, 29. Jun. 2012 (CEST)

PS: als dritte Variante gäbe es noch en:unitary operator, bei der Surjektivität und Vollständigkeit gefordert wird und der Bildraum eingeschränkt wird. --Quartl (Diskussion) 11:34, 29. Jun. 2012 (CEST)

Die Aussagen in Isometrie#Vektorräume mit Skalarprodukt stammen von mir, aus der Erinnerung, ohne Quellenangabe. Grundlage, die ich aber nicht vorliegen hatte und habe, war wohl das Buch von Marcel Berger, Geometry, Springer Verlag. Die Bedingung V = W habe ich aus diesem Artikel hier übernommen. Ich hatte vermutlich nur endlichdimensionale reelle Vektorräume im Kopf, über die Bezeichnungen im komplexen Fall weiß ich nichts. Im endlichdimensionalen Fall folgt die Bijektivität aus der Injektivität. Also: Ich wollte nicht die Behauptung aufstellen, dass man auch in anderen Fällen als im endlichdimensionalen reellen Fall mit V = W von orthogonalen Abbildungen spricht. --Digamma (Diskussion) 13:14, 29. Jun. 2012 (CEST)

Meine Frage sollte jetzt kein Vorwurf sein, ich wollte nur die Begriffe klären :-). Intuitiv hätte ich jetzt gesagt, dass „orthogonale Abbildung“ das reelle Gegenstück zu „unitäre Abbildung“ (analog zu orthogonale Matrix und unitäre Matrix) ist, aber wir müssen uns hier natürlich an den Sprachgebrauch halten. Ich werde wohl etwas Literaturrecherche betreiben müssen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:36, 29. Jun. 2012 (CEST)

So, ich habe jetzt mal etwas rumgegooglet und alle vier Grundvarianten gefunden:

• endlichdimensional, V=W: [1]
• endlichdimensional, V≠W: [2], [3], [4]
• unendlichdimensional, V=W: [5], [6], [7]
• unendlichdimensional, V≠W: [8]

Die Einschränkung auf den endlichdimensionalen Fall liegt meiner Einschätzung nach lediglich an der Einschränkung des Fokus (Lineare Algebra I) der Autoren. Interessanterweise wird der Begriff „orthogonale Abbildung“ als solches in den Funktionalanalysis-Büchern gar nicht verwendet, da geht man gleich auf den komplexen Allgemeinfall und spricht von unitären Operatoren. Ich denke, wir machen nichts falsch, wenn wir eine orthogonale Abbildung als surjektive (und damit bijektive) lineare Abbildung zwischen zwei reellen Vektorräumen V,W beliebiger Dimension, die das Skalarprodukt erhält, definieren. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:58, 29. Jun. 2012 (CEST)

Nach meinem Eindruck:

• Keiner der Autoren fordert Surjektivität.
• Auch Kowalsky (Quelle 2) und Lau (Quelle 4) fordern nicht, dass die Vektorräume endlichdimensional sind. Kowalsky setzt "euklidischer Vektorraum" voraus (7.5.1), fordert aber nicht, dass euklidische Vektorräume endlich-dimensional sind (S. 154, 7.1.4). Auch Lau fordert nicht endlichdimensional, zumindest nicht in Satz 10.5.2 (S. 346), die Definition selbst wird nicht angezeigt.

--Digamma (Diskussion) 20:43, 30. Jun. 2012 (CEST)

Bei Kowalsky hatte ich den Eindruck der Endlichdimensionalität durch den darauffolgenden Satz 7.1.5 und bei Lau durch die Äquivalenz von (a) und (d), ist so aber auch recht. Bei Lamprecht (Quelle 8) dachte ich, die Surjektivität wird im zweiten Teil von Satz 10.2 gefordert, aber wenn man weiter liest offenbar doch nicht. Das heißt dann, Orthogonalität wird ohne Verwendung der Inversen und Adjunigierten definiert? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 22:00, 30. Jun. 2012 (CEST)

Sorry für die späte Anwort. Ich weiß leider auch nicht mehr. Ich habe hier nur ein Vorlesungsskript und das beschränkt sich erstens von vornherein auf endlichdimensionale Vektorräume und benutzt zweitens für die Abbildungen sowohl im reellen wie im komplexen Fall die Bezeichnung "unitär". Nur die zugehörigen Matrizen werden dort im reellen Fall als orthogonal bezeichnet. Ansonsten kenne ich orthogonale Abbildungen vor allem von der orthogonalen Gruppe O(n) und da ist von vornherein der Raum endlichdimensional, V = W und die Abbildungen sind natürlich bijektiv. --Digamma (Diskussion) 21:59, 3. Jul. 2012 (CEST)

Ich habe jetzt mal einen eigenen Artikel zu orthogonalen Abbildungen mit der allgemeinsten Definition verfasst. Allerdings bin ich noch etwas unsicher, was die genauen Unterschiede zwischen den Begriffen „orthogonale Abbildung“, „orthogonale Transformation“ und „orthogonaler Operator“ betrifft. In der Literatur geht es da offenbar wüst durcheinander (gleiches gilt auch für die entsprechenden Begriffe im komplexen Fall). Ich bin schon gespannt auf dein "Hallo Quartl, du schreibst..." ;-). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 22:06, 12. Apr. 2014 (CEST)

Ich hatte zu dem Thema auch mal recherchiert. Leider habe ich die Quellen nicht mehr. Ich hatte mich auf Bücher mit unendlichdimensionalen Räumen beschränkt. Dabei habe ich auch keine Bücher aus dem Bereich der Funktionalanalysis gefunden. Die meisten Quellen, die ich fand, waren aus dem Bereich der Geometrie und sagten, dass orthogonale Abbildungen nicht surjektiv sind. Surjektivität wurde oftmals zusätzlich gefordert und dann hieß die Abbildung orthogonaler Automorphismus. Den Begriff orthogonaler Operator habe ich gar nicht gefunden. Viele Grüße--Christian1985 (Disk) 11:55, 14. Apr. 2014 (CEST)

Automorphismus impliziert aber doch V=W, oder? "Orthogonal Operator" wird sehr häufig in der englischsprachigen Literatur verwendet [9] und dabei begrifflich weitgehend konsistent zu "unitary operator", nur halt zwischen reellen Räumen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 12:47, 14. Apr. 2014 (CEST)

Ja V=W wurde, soweit ich mich erinnere, vorausgesetzt. Danach wurden nämlich meist die Gruppeneigenschaften der orthogonalen Automorphismen diskutiert, was ja bei V!=W nicht möglich wäre. Vielen Dank für den neuen Artikel Orthogonale Abbildung. Viele Grüße--Christian1985 (Disk) 12:57, 14. Apr. 2014 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Quartl (Diskussion) 18:53, 16. Apr. 2014 (CEST)

Senkrecht ?

>Senkrecht kommt vom Senkblei (Lot) und bedeutet ursprünglich nur orthogonal zur Erdoberfläche (lotrecht).

Das kann so nicht stimmen (nicht ganz). Ein Senkblei zeigt praktisch niemals richtig senkrecht zur Erdoberfläche (weil diese praktisch nirgends eine ideale Kugelform hat). Ausnahmen höchstens, wenn man da gerade z.B. eine Bodenplatte gegossen hat oder so.

Das Senkblei zeigt einfach nur den Vektor der Schwerkraft am Ort an, d.h. es zeigt zum Schweremittelpunkt. Das ist zwar häufig in erster Näherung ähnlich dem rechten Winkel zur Erdoberfläche, aber bei unebenem Gelände oder an einem Hang ist die Abweichung davon schon mit bloßem Auge erkennbar...134.247.251.246 11:39, 18. Mär. 2014 (CET)

Es gibt schon auch viele relativ flache Orte auf der Erde. Ansonsten stellt man sich einfach in eine Wanne Wasser. Das ist übrigens genau das Prinzip einer Wasserwaage. Grüße, --Quartl (Diskussion) 11:59, 18. Mär. 2014 (CET)

Analytische Geometrie

"Zwei Vektoren heißen somit zueinander orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist. Der Nullvektor ist dabei zu allen Vektoren orthogonal. Beispielsweise sind zwei Geraden in der euklidischen Ebene mit den Steigungen $m_{1}$ und $m_{2}$ genau dann zueinander orthogonal, wenn $m_{1}m_{2}=-1$ gilt."

Wieso soll der zweite Satz ein Beispiel (für die Aussage des ersten) sein? Im ersten Satz geht es um das Skalarprodukt von Vektoren, der zweite hat damit nichts zu tun. (nicht signierter Beitrag von M. Hammer-Kruse (Diskussion | Beiträge) 18:42, 13. Dez. 2017 (CET))

Das passt so in der Tat nicht zusammen. Ich versuche mal, das umzuformulieren. --Digamma (Diskussion) 18:55, 13. Dez. 2017 (CET)

zu: "Geraden und Ebenen"

Ich fügte ein (einfach zu ersehende, recht bekannte, beweisende) Begründung ein.

--Psychironiker (Diskussion) 18:06, 13. Jan. 2018 (CET)