Fredholmsche Alternative

Satz aus der Funktionalanalysis

In der Mathematik ist die nach Erik Ivar Fredholm benannte Fredholmsche Alternative ein Resultat der Fredholmtheorie. Sie kann auf verschiedene Arten ausgedrückt werden: als Theorem der linearen Algebra, als ein Theorem über Integralgleichungen oder als ein Theorem über Fredholm-Operatoren. Insbesondere besagt es, dass eine komplexe Zahl ungleich 0 im Spektrum eines kompakten Operators ein Eigenwert ist.

Version der linearen Algebra

Bearbeiten

In einem  -dimensionalen Vektorraum   gilt für eine lineare Abbildung   genau eine der folgenden Aussagen:

  1. Zu jedem Vektor   in   gibt es einen Vektor   in   so, dass  . Mit anderen Worten:   ist surjektiv.
  2. Es gibt ein   in   mit  , das heißt:   ist nicht injektiv.

Fredholmsche Integralgleichungen

Bearbeiten

Sei   ein Integralkern. Betrachte die homogene Fredholmsche Integralgleichung,

 ,

sowie die inhomogene Gleichung

 .

Die Fredholmsche Alternative besagt nun, dass für eine komplexe Zahl  , entweder die erste Gleichung eine nichttriviale Lösung hat, oder die zweite Gleichung eine Lösung für beliebige rechte Seiten   besitzt.

Eine hinreichende Bedingung, damit dieser Satz gilt, ist die Quadratintegrierbarkeit von   auf dem Rechteck   (wobei a und/oder b auch plus oder minus unendlich sein dürfen).

Fredholmsche Alternative

Bearbeiten

Sei   ein kompakter Operator auf   und sei   mit  . Dann ist   ein Fredholm-Operator mit Fredholm-Index 0. Die Fredholmsche Alternative lautet nun:

  • Entweder haben sowohl die homogene Gleichung
 
als auch die adjungierte Gleichung
 
nur die triviale Lösung Null und somit sind die inhomogenen Gleichungen
 
und
 
eindeutig lösbar,
  • oder die homogene Gleichung
 
und die adjungierte Gleichung
 
besitzen genau   linear unabhängige Lösungen (wobei   die identische Abbildung bezeichnet) und somit wäre die inhomogene Gleichung
 
genau dann lösbar, wenn   gilt.

Im Zusammenhang mit den Integralgleichungen

Bearbeiten

Beachte, dass die Delta-Distribution die Identität der Faltung ist. Sei   ein Banachraum, beispielsweise   und sei   ein Fredholm-Operator, welcher durch

 

definiert ist, wobei   gelten muss, um einen Fredholm-Operator zu erhalten. Dann ist   ein kompakter Operator und man sieht, dass diese Aussage die Aussage über die Fredholmschen Integralgleichungen verallgemeinert.

Die Fredholmsche Alternative kann man dann wie folgt formulieren: Ein   ist entweder ein Eigenwert von   oder es liegt in der Resolventenmenge

 .

Literatur

Bearbeiten
  • Paul Mönnig: Die praktische Auflösung der fredholm’schen Integralgleichung mit symmetrischem Produktkern, Braunschweig 1947. Reihe: Veröffentlichungen d. Math. Inst. d. Techn. Hochsch. Braunschweig, 1947,4 (nicht in DNB nachgewiesen)
  • Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-72533-6.