Zernike-Polynom

Die Zernike-Polynome sind nach Frits Zernike benannte orthogonale Polynome und spielen insbesondere in der Wellenoptik eine wichtige Rolle. Es gibt gerade und ungerade Zernike-Polynome.
Die geraden Zernike-Polynome sind definiert durch:

Zernike-Polynome:
$z_{1}^{-1},z_{1}^{+1},z_{2}^{-2}$, $z_{2}^{\pm 0},z_{2}^{+2},z_{3}^{-3}$, $z_{3}^{-1},z_{3}^{+1},z_{3}^{+3}$, $z_{4}^{-4},z_{4}^{-2},z_{4}^{\pm 0}$, $z_{4}^{+2},z_{4}^{+4},z_{6}^{-2}$.

$Z_{n}^{+m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos m\phi$

und die ungeraden durch

$Z_{n}^{-m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin m\phi ,$

wobei $m$ und $n$ nichtnegative ganze Zahlen mit $m\leq n$ sind. $\phi$ ist der azimutale Winkel und $\rho$ ist der normierte radiale Abstand.

Die Radialpolynome $R_{n}^{m}$ sind definiert gemäß

$R_{n}^{m}(\rho )=\!\sum _{k=0}^{(n-m)/2}\!\!\!{\frac {(-1)^{k}\,(n-k)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((n-m)/2-k)!}}\;\rho ^{n-2\,k}$,

wenn $n-m$ gerade ist und $R_{n}^{m}(\rho )=0$, wenn $n-m$ ungerade ist.

Häufig werden sie zu $R_{n}^{m}(1)=1$ normiert.

Eigenschaften

Zernike-Polynome sind ein Produkt eines radiusabhängigen Teils $R_{n}^{m}$ und eines winkelabhängigen Teils $G^{m}$:

$Z_{n}^{\pm m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\cdot G^{m}(\phi )\!.$

[Für Puristen sei darauf hingewiesen, dass in der Physik und Optik diese Funktionen zweier Argumente als Polynome bezeichnet werden, aber je nach Anwendung auch nur der Radialanteil, also die sinus-cosinus-förmigen Azimuth-Funktionen als zu trivial angesehen werden, um eine Namenserweiterung wie zum Beispiel auf Zernike-Funktionen zu bewirken.]

Eine Rotation des Koordinatensystems um den Winkel $\alpha =2\pi /m$ ändert den Wert des Polynoms nicht:

$G^{m}(\phi +\alpha )=G^{m}(\phi )\!.$

Der radiusabhängige Teil ist ein Polynom über $\rho$ vom Grad $n$, welches keine Potenz kleiner $m$ enthält. $R_{n}^{m}$ ist eine gerade (ungerade) Funktion, wenn $m$ gerade (ungerade) ist.

Der radiusabhängige Teil stellt einen Spezialfall der Jacobi-Polynome $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)$ dar.

$R_{n}^{m}(\rho )=(-1)^{(n-m)/2}\rho ^{m}P_{(n-m)/2}^{(m,0)}(1-2\rho ^{2})$

Zernike-Polynome

Die Reihe der radiusabhängigen Polynome beginnt mit

$R_{0}^{0}(\rho )=1$

$R_{1}^{1}(\rho )=\rho$

$R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1$

$R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}$

$R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho$

$R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3}$

$R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1$

$R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}$

$R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4}$

$R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho$

$R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}$

$R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}$

$R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1$

Allgemein ist $R_{n}^{n}(\rho )=\rho ^{n}.$

Anwendungen

In der Optik werden Zernike-Polynome benutzt, um Abbildungsfehler optischer Systeme quantitativ zu erfassen. Dies findet zum Beispiel in der adaptiven Optik Anwendung.

Seit einigen Jahren ist die Verwendung der Zernike-Polynome auch in der Optometrie und Augenheilkunde üblich. Hier führen Abweichungen der Cornea beziehungsweise der Linse von der idealen Form zu Abbildungsfehlern.

Literatur

Commons: Zernike-Polynom – Sammlung von Bildern

• Frits Zernike: „Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und seiner verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode.“ Physica 1, 689–704, 1934.
• Born and Wolf: Principles of Optics. Oxford: Pergamon, 1970.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Zernike Polynomial. In: MathWorld (englisch).