Diese Formelsammlung fasst Formeln und Definitionen der Tensoralgebra für Tensoren zweiter Stufe in der Kontinuumsmechanik zusammen. Es wird der dreidimensionale Raum zugrunde gelegt.
- Operatoren wie werden nicht kursiv geschrieben.
- Buchstaben die als Indizes benutzt werden:
- .
Ausnahme:
Die imaginäre Einheit und die #Vektorinvariante werden in Abgrenzung zu den Indizes nicht kursiv geschrieben.
- Alle anderen Buchstaben stehen für reelle Zahlen oder komplexe Zahlen.
- Vektoren:
- Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum .
- Vektoren werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet.
Ausnahme #Dualer axialer Vektor
- Einheitsvektoren mit Länge eins werden wie in ê mit einem Hut versehen. Die Standardbasis von ist ê1,2,3.
- Vektoren mit unbestimmter Länge werden wie in mit einem Pfeil versehen.
- Dreiergruppen von Vektoren wie in oder bezeichnen eine rechtshändige Basis von .
- Gleichnamige Basisvektoren mit unterem und oberem Index sind dual zueinander, z. B. ist dual zu .
- Tensoren zweiter Stufe werden wie in A mit fetten Großbuchstaben notiert. Die Menge aller Tensoren wird mit bezeichnet. Tensoren höherer Stufe werden mit einer hochgestellten Zahl wie in geschrieben. Tensoren vierter Stufe sind Elemente der Menge .
- Es gilt die Einstein'sche Summenkonvention ohne Beachtung der Indexstellung.
- Kommt in einer Formel in einem Produkt ein Index doppelt vor wie in wird über diesen Index summiert:
.
- Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in wird über diese summiert:
.
- Ein Index, der nur einfach vorkommt wie in , ist ein freier Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes:
.
Formelzeichen |
Abschnitt in der Formelsammlung |
Wikipedia-Artikel
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#Spur
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Spur (Mathematik), Hauptinvariante
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#Zweite Hauptinvariante
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Hauptinvariante
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#Determinante
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Determinante, Hauptinvariante
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sym |
#Symmetrischer Anteil |
Symmetrische Matrix
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skw, skew |
#Schiefsymmetrischer Anteil |
Schiefsymmetrische Matrix
|
adj |
#Adjunkte |
Adjunkte
|
cof |
#Kofaktor |
Minor (Mathematik)#Kofaktormatrix
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dev |
#Deviator |
Deviator, Spannungsdeviator
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sph |
#Kugelanteil |
Kugeltensor
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Formelzeichen |
Elemente
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Reelle Zahlen
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Komplexe Zahlen
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Vektoren
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Tensoren zweiter Stufe
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#Tensoren vierter Stufe
|
Für Summen gilt dann z. B.
Dies gilt für die anderen Indexgruppen entsprechend.
Kreuzprodukt:
Die hier verwendeten Vektoren sind Spaltenvektoren
Drei Vektoren können spaltenweise in einer 3×3-Matrix arrangiert werden:
Die Determinante der Matrix
ist
Also gewährleistet , dass die Vektoren eine rechtshändige Basis bilden.
Die Spaltenvektoren bilden eine Orthonormalbasis, wenn
worin die transponierte Matrix ist. Bei der hier vorausgesetzten Rechtshändigkeit gilt dann zusätzlich .
Basisvektoren
Duale Basisvektoren
Beziehungen zwischen den Basisvektoren
mit dem Spatprodukt
Trägt man die Basisvektoren spaltenweise in eine Matrix ein, dann finden sich die dualen Basisvektoren in den Zeilen der Inversen oder den Spalten der #transponiert #Inversen :
In der Standardbasis wie in jeder Orthonormalbasis sind die Basisvektoren zu sich selbst dual:
Wechsel von
Basis mit dualer Basis
nach
Basis mit dualer Basis :
Matrizengleichung:
Die grundlegenden Eigenschaften des dyadischen Produkts „⊗“ sind:
Abbildung
Multiplikation mit einem Skalar:
Distributivität:
Skalarprodukt:
Weitere Eigenschaften von Dyaden siehe #Dyade und den folgenden Abschnitt.
Durch die Eigenschaften des dyadischen Produktes wird zu einem euklidischen Vektorraum und entsprechend kann jeder Tensor komponentenweise bezüglich einer Basis von dargestellt werden:
- mit Komponenten .
Die Dyaden und bilden Basissysteme von .
Abbildung
Abbildung oder
Dyaden:
Allgemeine Tensoren:
Symbolisch:
Abbildung
Abbildung
Definition über die #Spur:
Eigenschaften:
Abbildung oder
Dyaden:
Allgemeine Tensoren:
Symmetrische Tensoren:
Insbesondere Kugeltensoren:
Schiefsymmetrische Tensoren:
#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix mit dem #Einheitstensor:
Mehrfach:
Meistens ist aber:
Abbildung
mit #Fundamentaltensor 3. Stufe .
Zusammenhang mit #Dualer axialer Vektor und #Vektorinvariante:
Mit #Einheitstensor:
Mehrfachprodukte:
Zusammenhang mit dem #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:
Abbildung
Das Skalarkreuzprodukt mit dem #Einheitstensor vertauscht das dyadische Produkt durch das Kreuzprodukt:
Allgemein:
Zusammenhang mit dem #Kreuzprodukt von Tensoren:
Zusammenhang mit #Vektorinvariante und #Dualer axialer Vektor:
Siehe auch #Äußeres Tensorprodukt #
Abbildung
Abbildung
Mit der Formel für das Produkt zweier #Permutationssymbole:
Grundlegende Eigenschaften:
Kreuzprodukt und #Kofaktor:
#Hauptinvarianten:
Weitere Eigenschaften:
Aber meistens:
.
Spatprodukt und #Determinante eines Tensors:
Kreuzprodukt und #Kofaktor:
#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix, #Kreuzprodukt von Tensoren, #Skalarkreuzprodukt von Tensoren, #Dualer axialer Vektor und #Vektorinvariante:
Die Komponenten ergeben sich durch Vor- und Nachmultiplikation mit dem #Einheitstensor :
Allgemein:
Basiswechsel mit :
Definition für einen Tensor A:
Zwei Tensoren A und B sind identisch, wenn
Definition
#Invarianten:
Wenn λ1,2,3 die #Eigenwerte des Tensors A sind, dann hat cof(A) die Eigenwerte λ1λ2, λ2λ3, λ3λ1.
#Hauptinvarianten:
#Betrag:
Weitere Eigenschaften:
Kofaktor und #Äußeres Tensorprodukt:
Kreuzprodukt und Kofaktor:
Definition:
#Hauptinvarianten:
#Betrag:
Weitere Eigenschaften:
Definition
Die Inverse ist nur definiert, wenn
Zusammenhang mit dem adjungierten Tensor :
Werden die Spalten von A mit Vektoren bezeichnet, also , dann gilt:
Satz von Cayley-Hamilton:
worin die drei #Hauptinvarianten sind.
Inverse des transponierten Tensors:
Inverse eines Tensorprodukts:
#Äußeres Tensorprodukt und Inverse einer Summe:
Invertierungsformeln:
mit Eigenwert und Eigenvektor . Die Eigenvektoren werden auf die Länge eins normiert.
Jeder Tensor hat drei Eigenwerte und drei dazugehörige Eigenvektoren. Mindestens ein Eigenwert und Eigenvektor sind reell. Die beiden anderen Eigenwerte und -vektoren können reell oder komplex sein.
Charakteristische Gleichung
Lösung siehe Cardanische Formeln. Die Koeffizienten sind die #Hauptinvarianten :
Eigenvektoren sind nur bis auf einen Faktor ≠ 0 bestimmt. Der Nullvektor ist kein Eigenvektor.
Bestimmungsgleichung:
Tensor :
Bestimmung mit gegebenem/angenommenem :
Geometrische Vielfachheit 1:
Geometrische Vielfachheit 2:
Die Formeln bleiben richtig, wenn die Indizes {1,2,3} zyklisch vertauscht werden.
Symmetrischen Tensoren: Für das Betragsquadrat der Komponenten der auf Betrag 1 normierten Eigenvektoren des (komplexen) Tensors gilt mit dessen Eigenwerten und den Eigenwerten der Hauptuntermatrizen von :[1]
Sei symmetrisch.
Symmetrische Tensoren haben reelle Eigenwerte und paarweise zueinander senkrechte oder orthogonalisierbare Eigenvektoren, die also eine Orthonormalbasis aufbauen. Die Eigenvektoren werden so nummeriert, dass sie ein Rechtssystem bilden.
Hauptachsentransformation mit Eigenwerten und Eigenvektoren des symmetrischen Tensors A:
bzw.
Sei schiefsymmetrisch.
Schiefsymmetrische Tensoren haben einen reellen und zwei konjugiert komplexe, rein imaginäre Eigenwerte. Der reelle Eigenwert von A ist null zu dem ein Eigenvektor gehört, der proportional zur reellen #Vektorinvariante ist. Siehe auch #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix.
Sei und eine Basis und die dazu duale Basis.
Der Tensor
hat die Eigenwerte
und Eigenvektoren
Der #transponierte Tensor hat dieselben Eigenwerte zu den dualen Eigenvektoren
Der Tensor
hat die Eigenwerte
und Eigenvektoren
Der #transponierte Tensor hat dieselben Eigenwerte zu den Eigenvektoren
Die #Eigenwerte sind Invarianten.
Die Hauptinvarianten des Tensors A sind die Koeffizienten seines charakteristischen Polynoms:
Spezialfall:
Satz von Cayley-Hamilton:
Abbildung
mit #Eigenwerten λ1,2,3 von A.
Linearität:
In Komponenten:
Abbildung
mit #Eigenwerten λ1,2,3 von A.
In Komponenten:
Abbildung
mit #Eigenwerten λ1,2,3 von A.
Determinantenproduktsatz:
Multiplikation mit Skalaren :
In Komponenten:
Zusammenhang mit den anderen Hauptinvarianten:
Zusammenhang mit dem Spatprodukt:
Zusammenhang mit #Äußeres Tensorprodukt:
Zusammenhang mit dem #Kofaktor:
Abbildung
Falls :
Falls :
Für #Schiefsymmetrische Tensoren gibt es einen dualen axialen
Vektor für den gilt:
- für alle
Der duale axiale Vektor ist proportional zur #Vektorinvariante:
Berechnung mit #Fundamentaltensor 3. Stufe , #Kreuzprodukt von Tensoren oder #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:
#Symmetrische Tensoren und #Kugeltensoren haben keinen dualen axialen Vektor:
Ein #Symmetrischer Anteil oder #Kugelanteil trägt nichts zum dualen axialen Vektor bei:
Seien x eine beliebige Zahl, beliebige Vektoren und A, B beliebige Tensoren zweiter Stufe. Dann gilt:
Darin ist „#“ ein #Äußeres Tensorprodukt, cof(·) ist der #Kofaktor.
Zusammenhang mit dem #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:
#Symmetrische Tensoren haben keine Vektorinvariante:
Die Eigenschaften des dualen axialen Vektors sind hierher übertragbar. Seien x eine beliebige Zahl, beliebige Vektoren und A, B beliebige Tensoren zweiter Stufe. Dann gilt:
Darin ist „#“ ein #Äußeres Tensorprodukt, cof(·) ist der #Kofaktor.
Definition
Kofaktor:
#Invarianten:
#Eigensystem:
Gegeben ein beliebiger Tensor 2. Stufe A. Dieser kann immer als Summe dreier Dyaden dargestellt werden:
mit Spaltenvektoren , Zeilenvektoren und .
#Hauptinvarianten ():
#Betrag:
#Dualer axialer Vektor:
#Vektorinvariante:
#Kofaktor:
#Inverse:
mit
Allgemein:
#Transposition und #Inverse:
Kofaktor:
Vektortransformation
Tensorprodukt
Skalarprodukt
#Invarianten:
#Eigenwerte:
Alle Vektoren sind #Eigenvektoren.
Definition
Kofaktor:
Determinantenproduktsatz:
Definition
Kofaktor:
#Invarianten ( ist der Drehwinkel):
Eigentlich orthogonaler Tensor , entspricht einer Drehung.
Uneigentlich orthogonaler Tensor , entspricht einer Drehspiegelung.
Spatprodukt:
Kreuzprodukt und #Kofaktor:
Gegeben ein Einheitsvektor und Drehwinkel α. Dann sind die folgenden Tensoren R zueinander gleich, orthogonal und drehen um die Achse mit Winkel α:
Rodrigues-Formel:
mit .
Euler-Rodrigues-Formel: also :
Formulierung mit Drehvektor:
Drehvektor |
|
Orthogonaler Tensor
|
|
→
|
|
|
→
|
|
|
→
|
|
|
→
|
|
|
→
|
|
|
→
|
|
|
→
|
|
Darin ist
Beispiel für Drehspiegelung:
Drehung von Vektorraumbasis mit Drehachse :
mit #Dualer axialer Vektor und #Vektorinvariante .
Gegeben Orthonormalbasis , Drehwinkel und ist Drehachse:
- : Drehung, : Drehspiegelung um
Wenn ein Rechtssystem (Mathematik) bilden, dann dreht Q gegen den Uhrzeigersinn, sonst im Uhrzeigersinn um die Drehachse.
#Eigensystem:
Drehwinkel:
Drehachse ist #Vektorinvariante:
Definition
Kofaktor:
Notwendige Bedingungen für positive Definitheit:
Notwendige und hinreichende Bedingung für positive Definitheit: Alle #Eigenwerte von A sind größer als null.
Immer positiv definit falls det(A) ≠ 0:
- A·A⊤ und A⊤·A
Definition
Kofaktor:
#Betrag:
Bei Symmetrischen Tensoren verschwinden ihr #Dualer axialer Vektor und ihre #Vektorinvariante:
Bilinearform:
Alle #Eigenwerte λ1,2,3 sind reell. Alle #Eigenvektoren sind reell und paarweise orthogonal zueinander oder orthogonalisierbar. Hauptachsentransformation:
Bezüglich der Standardbasis:
#Invarianten:
Definition
Kofaktor:
Mit den #Eigenwerten , den #Eigenvektoren und einer reellwertigen Funktion eines reellen Argumentes definiert man über das #Eigensystem symmetrischer Tensoren
den Funktionswert des Tensors:
Ist f eine mehrdeutige Funktion, wie die Wurzel (Mathematik), mit n alternativen Werten, dann steht f(A) mehrdeutig für n3 alternative Tensoren.
Insbesondere mit dem Deformationsgradient F:
Rechter Strecktensor
Linker Strecktensor
Henky-Dehnung
Die Tensoren
bilden eine Basis im Vektorraum der symmetrischen Tensoren zweiter Stufe. Bezüglich dieser Basis können alle symmetrischen Tensoren zweiter Stufe in Voigt'scher Notation dargestellt werden:
Diese Vektoren dürfen addiert, subtrahiert und mit einem Skalar multipliziert werden. Beim Skalarprodukt muss
berücksichtigt werden. Siehe auch #Voigt'sche Notation von Tensoren vierter Stufe.
Definition
Kofaktor:
#Invarianten:
In kartesischen Koordinaten:
#Invarianten:
Bilinearform:
Ein Eigenwert ist null, zwei imaginär konjugiert komplex, siehe #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix.
#Dualer axialer Vektor:
mit #Vektorinvariante . Der zum Eigenwert null gehörende #Eigenvektor ist proportional zum dualen axialen Vektor denn
Kreuzproduktmatrix eines Vektors :
Kofaktor:
#Invarianten:
#Eigensystem:
Eigenschaften:
Potenzen von
Definition
Kofaktor:
#Hauptinvarianten:
Bezüglich der Standardbasis:
Definition
Kofaktor:
Gegeben ein beliebiger Tensor
Symmetrische und schiefsymmetrische Tensoren sind orthogonal zueinander:
Deviatoren und Kugeltensoren sind orthogonal zueinander:
Für jeden Tensor F mit #Determinante ≠ 0 gibt es #Orthogonale Tensoren Q und #Symmetrische und positiv definite Tensoren U in eindeutiger Weise, sodass
- F = Q·U
Im Fall des Deformationsgradienten ist U der rechte Strecktensor, siehe #Symmetrische und positiv definite Tensoren. Der Anteil U berechnet sich wie dort angegeben aus
Dann ist U·U = F⊤·F und
Bei det(F)=0 ergeben sich U sowie Q aus der Singulärwertzerlegung von F und U ist nur noch symmetrisch positiv semidefinit.
Gegeben sei die Gerade durch den Punkt mit Richtungsvektor und ein beliebiger anderer Punkt .
Dann ist
Der Punkt ist die senkrechte Projektion von auf die Gerade. Der Tensor G extrahiert den Anteil eines Vektors in Richtung von und 1-G den Anteil senkrecht dazu.
Gegeben sei die Ebene durch den Punkt und zwei die Ebene aufspannende Vektoren und sowie ein beliebiger anderer Punkt . Dann verschwindet die Normale
nicht. Dann ist
Der Punkt ist die senkrechte Projektion von auf die Ebene.[2] Der Tensor P extrahiert den Anteil eines Vektors in der Ebene und 1-P den Anteil senkrecht dazu.
Die Projektion der Geraden, die durch die Punkte und verläuft, liegt in der Ebene in Richtung des Vektors .
Falls und folgt:
Definition:
Kreuzprodukt von Vektoren:
#Kreuzprodukt von Tensoren, #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:
#Dualer axialer Vektor und #Vektorinvariante:
#Kreuzprodukt von Tensoren:
#Skalarkreuzprodukt von Tensoren:
#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix:
Tensoren zweiter Stufe sind ebenfalls Elemente eines Vektorraums wie im Abschnitt #Tensoren als Elemente eines Vektorraumes dargestellt. Daher kann man Tensoren vierter Stufe definieren, indem man in dem Kapitel formal die Tensoren zweiter Stufe durch Tensoren vierter Stufe und die Vektoren durch Tensoren zweiter Stufe ersetzt, z. B.:
mit Komponenten und die Tensoren sowie bilden eine Basis von .
Standardbasis in :
Tensortransformation:
Tensorprodukt:
Übliche Schreibweisen für Tensoren vierter Stufe:
Transposition:
Spezielle Transposition vertauscht -tes mit -tem Basissystem.
Beispielsweise:
Definition:
Dann gilt:
Für beliebige Tensoren zweiter Stufe A gilt:
Diese fünf Tensoren sind sämtlich symmetrisch.
Mit beliebigen Tensoren zweiter Stufe A, B und G gilt:
In dem in diesen Formeln im Tensor vierter Stufe B durch B⊤ und die Transpositionen durch ersetzt werden, entstehen die Ergebnisse mit transponiertem G:
Mit den Spannungen und den Dehnungen im Hooke'schen Gesetz gilt:
mit den Lamé-Konstanten und . Dieser Elastizitätstensor ist symmetrisch.
Invertierungsformel mit , und :
mit der Querdehnzahl und dem Elastizitätsmodul .
Aus der Basis des Vektorraums der symmetrischen Tensoren zweiter Stufe, siehe #Voigt-Notation symmetrischer Tensoren zweiter Stufe, kann eine Basis des Vektorraums der linearen Abbildungen von symmetrischen Tensoren auf symmetrische Tensoren konstruiert werden. Die 36 Komponenten der Tensoren vierter Stufe aus können als Voigt'scher Notation in eine 6×6-Matrix einsortiert werden:
Die Vektoren und Matrizen in Voigt'scher Notation können addiert, subtrahiert und mit einem Skalar multipliziert werden. Beim Matrizenprodukt in Voigt'scher Notation muss eine Diagonalmatrix
mit den Einträgen zwischengeschaltet werden:
Darin steht [x] für die Voigt-Notation von x.
- ↑ P. B. Denton, S. J. Parke, T. Tao, X. Zhang: Eigenvectors from Eigenvalues. (PDF) 10. August 2019, S. 1–3, abgerufen am 29. November 2019 (englisch).
- ↑ J. Hanson: Rotations in three, four, and five dimensions. Bei: arxiv.org. S. 4f.
- Holm Altenbach: Kontinuumsmechanik. Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen. 2. Auflage. Springer Vieweg, Berlin u. a. 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.
- Philippe Ciarlet: Mathematical Elasticity. Band 1: Three-Dimensional Elasticity. North-Holland, Amsterdam 1988, ISBN 0-444-70259-8.
- Wolfgang Ehlers: Ergänzung zu den Vorlesungen Technische Mechanik und Höhere Mechanik. Vektor- und Tensorrechnung, Eine Einführung. 2015 (uni-stuttgart.de [PDF; abgerufen am 3. September 2020]).
- Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Ein Grundkurs für Ingenieure und Physiker. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-00760-1.