Oppenheim-Vermutung

In der Mathematik ist die Oppenheim-Vermutung eine inzwischen bewiesene Vermutung über die Werte quadratischer Formen und das klassische Beispiel für die Anwendung ergodentheoretischer Methoden in der Zahlentheorie.

Aussage

Sei $n\geq 3$ und

$Q:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$

eine indefinite quadratische Form in $n$ Variablen, die kein Vielfaches einer Form mit rationalen Koeffizienten ist.

Dann gibt es für jedes $\epsilon >0$ ein $x\in \mathbb {Z} ^{n}$ mit

$0<Q(x)<\epsilon$.

Als Korollar erhält man, dass $Q(\mathbb {Z} ^{n})\subset \mathbb {R}$ eine dichte Teilmenge von $\mathbb {R}$ ist.

Beispiel: Für jedes $\epsilon >0$ gibt es ganze Zahlen $a,b,c$ mit

$\mid a^{2}+b^{2}-{\sqrt {2}}c^{2}\mid <\epsilon$.

Geschichte

Die Vermutung in dieser Form wurde 1953 (eine schwächere Vorgänger-Version schon 1929) von Alexander Oppenheim aufgestellt und für $n\geq 21$ von Bryan Birch, Harold Davenport und D. Ridout bewiesen. Der allgemeine Fall lässt sich auf den Fall $n=3$ zurückführen und dieser wurde von M. S. Raghunathan in folgende Vermutung über die Links-Wirkung von $SO(2,1)$ auf dem Quotientenraum $SL(3,\mathbb {R} )/SL(3,\mathbb {Z} )$ umformuliert:

Jeder beschränkte $SO(2,1)$-Orbit auf $SL(3,\mathbb {R} )/SL(3,\mathbb {Z} )$ ist kompakt.

Diese Vermutung wurde 1987 von Grigori Margulis bewiesen. Eine allgemeinere Version der Raghunathan-Vermutung ist der heutige Satz von Ratner.