Tangenssatz

In der Trigonometrie stellt der Tangenssatz oder Tangentensatz eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines ebenen Dreiecks und dem Tangens der halben Summe bzw. der halben Differenz zweier Winkel des Dreiecks her.

Formulierung

Für die drei Seiten $a$, $b$ und $c$ eines Dreiecks sowie für die diesen Seiten jeweils gegenüber liegenden Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ gilt:

${\frac {b+c}{b-c}}={\frac {\tan {\frac {\beta +\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}$

Wegen

$\tan {\frac {\beta +\gamma }{2}}=\tan {\frac {180^{\circ }-\alpha }{2}}=\tan \left(90^{\circ }-{\frac {\alpha }{2}}\right)=\cot {\frac {\alpha }{2}}$

kann man diese Formel auch schreiben als

${\frac {b+c}{b-c}}={\frac {\cot {\frac {\alpha }{2}}}{\tan {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}$

Analoge Formeln für ${\frac {a+b}{a-b}}$ und ${\frac {a+c}{a-c}}$ erhält man durch zyklische Vertauschung:

${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}={\frac {\cot {\frac {\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}$

${\frac {c+a}{c-a}}={\frac {\tan {\frac {\gamma +\alpha }{2}}}{\tan {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}}={\frac {\cot {\frac {\beta }{2}}}{\tan {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}}$

Wegen $\tan(-x)=-\tan(x)$ bleiben diese Formeln gültig, wenn sowohl die Seiten als auch die zugehörigen Winkel vertauscht werden, also zum Beispiel:

${\frac {a+c}{a-c}}={\frac {\tan {\frac {\alpha +\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\gamma }{2}}}}={\frac {\cot {\frac {\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\gamma }{2}}}}$

Beweis

Beweis mit Sinussatz und Identitäten der Winkelfunktionen

Nach dem Sinussatz gilt ${\tfrac {b}{c}}={\tfrac {\sin \beta }{\sin \gamma }}$ und damit folgt

${\frac {b+c}{b-c}}={\frac {{\frac {b}{c}}+1}{{\frac {b}{c}}-1}}={\frac {{\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}+{\frac {\sin \gamma }{\sin \gamma }}}{{\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}-{\frac {\sin \gamma }{\sin \gamma }}}}={\frac {\sin \beta +\sin \gamma }{\sin \beta -\sin \gamma }}$

nach Einsetzen der Identitäten

$\sin \beta +\sin \gamma =2\cdot \sin {\frac {\beta +\gamma }{2}}\cdot \cos {\frac {\beta -\gamma }{2}}$

sowie

$\sin \beta -\sin \gamma =2\cdot \cos {\frac {\beta +\gamma }{2}}\cdot \sin {\frac {\beta -\gamma }{2}}$

die sich aus den Additionstheoremen ableiten lassen, ergibt sich durch Einsetzen in die obere Gleichung der Tangenssatz:

${\frac {b+c}{b-c}}={\frac {\sin \beta +\sin \gamma }{\sin \beta -\sin \gamma }}={\frac {2\cdot \sin {\frac {\beta +\gamma }{2}}\cdot \cos {\frac {\beta -\gamma }{2}}}{2\cdot \cos {\frac {\beta +\gamma }{2}}\cdot \sin {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}={\frac {\sin {\frac {\beta +\gamma }{2}}}{\cos {\frac {\beta +\gamma }{2}}}}\cdot {\frac {\cos {\frac {\beta -\gamma }{2}}}{\sin {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}=\tan {\frac {\beta +\gamma }{2}}\cdot \cot {\frac {\beta -\gamma }{2}}={\frac {\tan {\frac {\beta +\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}$

Beweis mit Mollweideschen Formeln

Aus der Winkelsumme im Dreieck $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$ und dem Übergang zum Komplementärwinkel des Tangens folgt:

$\tan {\frac {\beta +\gamma }{2}}=\tan {\frac {180^{\circ }-\alpha }{2}}=\tan \left(90^{\circ }-{\frac {\alpha }{2}}\right)=\cot {\frac {\alpha }{2}}$

Aus den Mollweideschen Formeln folgt daraus der Tangenssatz:

${\frac {b+c}{b-c}}={\frac {b+c}{a}}\cdot {\frac {a}{b-c}}={\frac {\cos {\frac {\beta -\gamma }{2}}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}\cdot {\frac {\cos {\frac {\alpha }{2}}}{\sin {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}=\cot {\frac {\beta -\gamma }{2}}\cdot \cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {\cot {\frac {\alpha }{2}}}{\tan {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}={\frac {\tan {\frac {\beta +\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}$

Tangenssatz für Kugeldreiecke

Für Kugeldreiecke gelten die Gleichungen

${\frac {\tan {\frac {a+b}{2}}}{\tan {\frac {a-b}{2}}}}={\frac {\tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}$

${\frac {\tan {\frac {b+c}{2}}}{\tan {\frac {b-c}{2}}}}={\frac {\tan {\frac {\beta +\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}$

${\frac {\tan {\frac {c+a}{2}}}{\tan {\frac {c-a}{2}}}}={\frac {\tan {\frac {\gamma +\alpha }{2}}}{\tan {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}}$

Dabei sind $a$, $b$ und $c$ die Seiten (Kreisbögen) des Kugeldreiecks und $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ die gegenüberliegenden Winkel auf der Kugeloberfläche.

Siehe auch

• Sinussatz
• Kosinussatz
• Formelsammlung Trigonometrie

Literatur

• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. Springer 2007, S. 129 (Auszug (Google))
• Johannes Tropfke: Geschichte der Elementarmathematik. Band 5. I: Ebene Trigonometrie. II: Sphärik und sphärische Trigonometrie. Walter de Gruyter, 1923, ISBN 3-11-144776-6, S. 79–82, doi:10.1515/9783111447766.70, Auszug (Google)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Law of Tangents. In: MathWorld (englisch).