Κεντροσυμμετρικός πίνακας

Σχέδιο συμμετρίας ενός κεντροσυμμετρικού πίνακα 5 × 5

Αυτό το άρθρο αναφέρεται σε έναν πίνακα συμμετρικό ως προς το κέντρο του. Για έναν πίνακα συμμετρικό ως προς τη διαγώνιο του, δείτε Συμμετρικός πίνακας.

Στα μαθηματικά, ειδικά στη γραμμική άλγεβρα και τη θεωρία πινάκων, ένας κεντροσυμμετρικός πίνακας είναι ένας πίνακας που είναι συμμετρικός ως προς το κέντρο του.

Τυπικός ορισμός

Ένας n × n πίνακας A = [A_{i, j}] είναι κεντροσυμμετρικός όταν οι καταχωρήσεις του ικανοποιούν

$A_{i,\,j}=A_{n-i+1,\,n-j+1}\quad {\text{for all }}i,j\in \{1,\,\ldots ,\,n\}.$

Εναλλακτικά, αν o J συμβολίζει τον πίνακα ανταλλαγής n' × n με 1 στην αντιδιαγώνιο και 0 αλλού:

$J_{i,\,j}={\begin{cases}1,&i+j=n+1\\0,&i+j\neq n+1\\\end{cases}}$

τότε ένας πίνακας A είναι κεντροσυμμετρικός αν και μόνο αν AJ' = JA}.

Παραδείγματα

• Όλοι οι 2 × 2 κεντροσυμμετρικοί πίνακες έχουν τη μορφή

${\begin{bmatrix}a&b\\b&a\end{bmatrix}}.$

• Όλοι οι 3 × 3 κεντροσυμμετρικοί πίνακες έχουν τη μορφή

${\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&d\\c&b&a\end{bmatrix}}.$

• Οι συμμετρικοί πίνακες Τόεπλιτς είναι κεντροσυμμετρικοί.

Αλγεβρική δομή και ιδιότητες

• Αν οι A και B είναι n × n κεντροσυμμετρικοί πίνακες πάνω από ένα σώμα F, τότε το ίδιο ισχύει και για τους A + B και cA για κάθε c στο F. Επιπλέον, το γινόμενο πίνακα AB είναι κεντροσυμμετρικό, αφού JAB = AJB = ABJ. Δεδομένου ότι ο Ταυτοτικός πίνακας είναι επίσης κεντροσυμμετρικός, προκύπτει ότι το σύνολο του n × n κεντροσυμμετρικών πινάκων πάνω στο F αποτελεί υποάλγεβρα της αντιμεταθετικής άλγεβρας όλων των n × n πινάκων.
• Αν A είναι ένας κεντροσυμμετρικός πίνακας με m-διάστατη ιδιοβάση, τότε τα m} ιδιοδιανύσματά του μπορούν να επιλεγούν έτσι ώστε να ικανοποιούν είτε x = J x ή x = − J x όπου J είναι ο πίνακας ανταλλαγής.
• Αν A είναι ένας κεντροσυμμετρικός πίνακας με διακριτές ιδιοτιμές, τότε οι πίνακες που αντιμετατίθενται με A πρέπει να είναι κεντροσυμμετρικοί.
• Ο μέγιστος αριθμός μοναδικών στοιχείων σε έναν m × m κεντροσυμμετρικό πίνακα είναι

${\frac {m^{2}+m{\bmod {2}}}{2}}.$

Σχετικές δομές

Ένας n × n πίνακας A λέγεται λοξά-κεντροσυμμετρικός αν οι καταχωρήσεις του ικανοποιούν $A_{i,\,j}=-A_{n-i+1,\,n-j+1}\quad {\text{for all }}i,j\in \{1,\,\ldots ,\,n\}.$

Αντίστοιχα, η A είναι λοξοκεντροσυμμετρική αν AJ = -JA, όπου J είναι ο πίνακας ανταλλαγής που ορίστηκε προηγουμένως.

Η κεντροσυμμετρική σχέση AJ' = JA} προσφέρεται για μια φυσική γενίκευση, όπου J αντικαθίσταται με έναν Ενελικτικό πίνακα K (i.e., K² = I ) ή, γενικότερα, ένας πίνακας K που ικανοποιεί K^m = I για έναν ακέραιο m > 1. Έχει επίσης μελετηθεί το αντίστροφο πρόβλημα για τη σχέση αντιμετάθεσης AK = KA του προσδιορισμού όλων των αναπόσπαστων K που αντιμετατίθενται με έναν σταθερό πίνακα A.

Οι συμμετρικοί κεντροσυμμετρικοί πίνακες καλούνται μερικές φορές δισυμμετρικοί πίνακες. Όταν το βασικό σώμα είναι οι πραγματικοί αριθμοί, έχει αποδειχθεί ότι οι δισυμμετρικοί πίνακες είναι ακριβώς εκείνοι οι συμμετρικοί πίνακες των οποίων οι ιδιοτιμές παραμένουν οι ίδιες, εκτός από τις πιθανές αλλαγές προσήμου μετά τον προ- ή μεταπολλαπλασιασμό με τον πίνακα ανταλλαγής. Ένα παρόμοιο αποτέλεσμα ισχύει για τους Ερμιτιανούς κεντροσυμμετρικούς και τους λοξούς κεντροσυμμετρικούς πίνακες.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Πραγματικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Ενελικτικός πίνακας
• Τριγωνικός πίνακας
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Ταυτοτικός πίνακας
• Αντιμεταθέσιμοι πίνακες
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
• Algorithm overview

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Integral Matrices
• Basic Matrix Algebra with Algorithms and Applications
• An Introduction to Optimization: With Applications to Machine Learning
• Wavelets: Theory, Algorithms, and Applications
• Linear Algebra in Signals, Systems, and Control
• Linear Algebra and Matrix Theory
• Matrix Analysis and Applied Linear Algebra: Second Edition

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication 27: 231–244. 
• Goethals J.M., Seidel J.J. (1967). «Orthogonal matrices with zero diagonal». Canadian Journal of Mathematics 19: 1001–1010. doi:10.4153/cjm-1967-091-8. https://archive.org/details/sim_canadian-journal-of-mathematics_1967_19_5/page/1001. 
• Lili Xiao and Dennis K. J. Lin and Fengshan Bai (2012). «Constructing Definitive Screening Designs Using Conference Matrices». Journal of Quality Technology 44 (1): 2–8. doi:10.1080/00224065.2012.11917877. 
• Bhatia, Rajendra (November 15, 1996), Matrix Analysis, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-94846-1 
• Demmel, James W. (August 1, 1997), Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-89871-389-3 
• Dym, Harry (2007), Linear Algebra in Action, AMS, ISBN 978-0-8218-3813-6 
• Gantmacher, Felix R. (2005), Applications of the Theory of Matrices, Dover Publications, ISBN 978-0-486-44554-0 
• Gantmacher, Felix R. (1990), Matrix Theory Vol. 1 (2nd έκδοση), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1376-8 
• Sharp, R.Y. (2000). Steps in commutative algebra. London Mathematical Society Student Texts. 51 (2nd έκδοση). Cambridge University Press. σελ. 2000. ISBN 0-521-64623-5. 
• Zariski, Oscar· Samuel, Pierre (1975). Commutative algebra. Graduate Texts in Mathematics. 28. Springer. ISBN 978-0-387-90171-8.  Vol II. 29. 1975. ISBN 978-0-387-90089-6. 

Παραπομπές

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X, https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau 
• Muir, Thomas (1960). A Treatise on the Theory of Determinants. Dover. σελ. 19. ISBN 0-486-60670-8. 
• Weaver, James R. (1985). «Centrosymmetric (cross-symmetric) matrices, their basic properties, eigenvalues, and eigenvectors». American Mathematical Monthly 92 (10): 711–717. doi:10.2307/2323222. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1985-12_92_10/page/711.