Συμπλεκτικός πίνακας

Στα μαθηματικά, ένας συμπλεκτικός πίνακας είναι ένας $2n\times 2n$ πίνακας $M$ με πραγματικές καταχωρήσεις που ικανοποιεί τη συνθήκη

$M^{\text{T}}\Omega M=\Omega ,$

(1)

όπου $M^{\text{T}}$ υποδηλώνει την αντιμετάθεση του $M$ και $\Omega$ είναι ένας σταθερός $2n\times 2n$ αντιστρέψιμος, λοξός συμμετρικός πίνακας. Ο ορισμός αυτός μπορεί να επεκταθεί σε πίνακες $2n\times 2n$ με καταχωρήσεις σε άλλα σώματα, όπως οι μιγαδικοί αριθμοί, τα πεπερασμένα σώματα, οι p-adic αριθμοί και τα σώματα συναρτήσεων.

Συνήθως το $\Omega$ επιλέγεται να είναι ο Σύνθετος πίνακας

$\Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}},$

όπου $I_{n}$ είναι ο $n\times n$ ταυτοτικός πίνακας. Ο πίνακας $\Omega$ έχει Ορίζουσα $+1$ και ο αντίστροφός του είναι $\Omega ^{-1}=\Omega ^{\text{T}}=-\Omega$.

Ιδιότητες

Γεννήτριες για συμπλεκτικούς πίνακες

Κάθε συμπλεκτικός πίνακας έχει ορίζουσα $+1$, και οι $2n\times 2n$ συμπλεκτικοί πίνακες με πραγματικές καταχωρήσεις σχηματίζουν μια υποομάδα της γενικής γραμμικής ομάδας $\mathrm {GL} (2n;\mathbb {R} )$ υπό πολλαπλασιασμό πινάκων, δεδομένου ότι η συμπλεκτικότητα είναι μια ιδιότητα σταθερή υπό πολλαπλασιασμό πινάκων. Τοπολογικά, αυτή η συμπλεκτική ομάδα είναι μια συνδεδεμένη μη συμπαγής πραγματική ομάδα Λι πραγματικής διάστασης $n(2n+1)$, και συμβολίζεται $\mathrm {Sp} (2n;\mathbb {R} )$. Η συμπλεκτική ομάδα μπορεί να οριστεί ως το σύνολο των γραμμικών μετασχηματισμών που διατηρούν τη συμπλεκτική μορφή ενός πραγματικού συμπλεκτικού διανυσματικού χώρου.

Αυτή η συμπλεκτική ομάδα έχει ένα διακεκριμένο σύνολο γεννητόρων, το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση όλων των πιθανών συμπλεκτικών πινάκων. Αυτό περιλαμβάνει τα ακόλουθα σύνολα

${\begin{aligned}D(n)=&\left\{{\begin{pmatrix}A&0\\0&(A^{T})^{-1}\end{pmatrix}}:A\in {\text{GL}}(n;\mathbb {R} )\right\}\\N(n)=&\left\{{\begin{pmatrix}I_{n}&B\\0&I_{n}\end{pmatrix}}:B\in {\text{Sym}}(n;\mathbb {R} )\right\}\end{aligned}}$

όπου ${\text{Sym}}(n;\mathbb {R} )$ είναι το σύνολο των $n\times n$ συμμετρικὠν πινάκων. Τότε, το $\mathrm {Sp} (2n;\mathbb {R} )$ παράγεται από το σύνολο ^{p. 2} $\{\Omega \}\cup D(n)\cup N(n)$ των πινάκων. Με άλλα λόγια, οποιοσδήποτε συμπλεκτικός πίνακας μπορεί να κατασκευαστεί πολλαπλασιάζοντας πίνακες στα $D(n)$ και $N(n)$ μαζί, μαζί με κάποια δύναμη του $\Omega$.

Αντιστρέψιμος πίνακας

Κάθε συμπλεκτικός πίνακας είναι αντιστρέψιμος με τον αντιστρέψιμο πίνακα να δίνεται από τη σχέση

$M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{\text{T}}\Omega .$

Επιπλέον, το γινόμενο δύο συμπλεκτικών πινάκων είναι, και πάλι, ένας συμπλεκτικός πίνακας. Αυτό δίνει στο σύνολο όλων των συμπλεκτικών πινάκων τη δομή μιας ομάδας. Υπάρχει μια φυσική δομή πολλαπλότητας σε αυτή την ομάδα που την μετατρέπει σε μια (πραγματική ή μιγαδική) ομάδα Λι που ονομάζεται συμπλεκτική ομάδα.

Ιδιότητες ορίζουσας

Από τον ορισμό προκύπτει εύκολα ότι η ορίζουσα οποιουδήποτε συμπλεκτικού πίνακα είναι ±1. Στην πραγματικότητα, αποδεικνύεται ότι η ορίζουσα είναι πάντα +1 για οποιοδήποτε σώμα. Ένας τρόπος για να το δούμε αυτό είναι μέσω της χρήσης της Pfaffian και της ταυτότητας

${\mbox{Pf}}(M^{\text{T}}\Omega M)=\det(M){\mbox{Pf}}(\Omega ).$ Since $M^{\text{T}}\Omega M=\Omega$ και ${\mbox{Pf}}(\Omega )\neq 0$ we have that $\det(M)=1$.

Όταν το υποκείμενο σώμα είναι πραγματικό ή μιγαδικό, μπορεί κανείς να το δείξει αυτό με την παραγοντοποίηση της ανισότητας $\det(M^{\text{T}}M+I)\geq 1$.

Σύνθετη μορφή συμπλεκτικών πινάκων

Ας υποθέσουμε ότι το Ω δίνεται στην τυπική μορφή και έστω ότι $M$ είναι ένας $2n\times 2n$ Σύνθετος πίνακας που δίνεται από τη σχέση

$M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}$

όπου $A,B,C,D$ είναι $n\times n$ πίνακες. Η συνθήκη για να είναι η $M$ συμπλεκτική είναι ισοδύναμη με τις δύο ακόλουθες ισοδύναμες συνθήκες

$A^{\text{T}}C,B^{\text{T}}D$ symmetric, and $A^{\text{T}}D-C^{\text{T}}B=I$

$AB^{\text{T}},CD^{\text{T}}$ symmetric, and $AD^{\text{T}}-BC^{\text{T}}=I$

Η δεύτερη συνθήκη προκύπτει από το γεγονός ότι αν η $M$ είναι συμπλεκτική, τότε η $M^{T}$ είναι επίσης συμπλεκτική. Όταν $n=1$ αυτές οι συνθήκες ανάγονται στη μοναδική συνθήκη $\det(M)=1$. Έτσι, ένας πίνακας $2\times 2$ είναι συμπλεκτικός αν έχει μοναδιαία ορίζουσα.

Αντιστρέψιμος πίνακας του συνθετικού πίνακα

Με το $\Omega$ σε τυπική μορφή, ο Αντιστρέψιμος του $M$ δίνεται από τη σχέση

$M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{\text{T}}\Omega ={\begin{pmatrix}D^{\text{T}}&-B^{\text{T}}\\-C^{\text{T}}&A^{\text{T}}\end{pmatrix}}.$

Η ομάδα έχει διάσταση $n(2n+1)$. Αυτό μπορεί να γίνει αντιληπτό παρατηρώντας ότι $(M^{\text{T}}\Omega M)^{\text{T}}=-M^{\text{T}}\Omega M$ είναι αντισυμμετρική. Αφού ο χώρος των αντισυμμετρικών πινάκων έχει διάσταση ${\binom {2n}{2}},$ η ταυτότητα $M^{\text{T}}\Omega M=\Omega$ επιβάλλει $2n \choose 2$ περιορισμούς στους $(2n)^{2}$ συντελεστές του $M$ και αφήνει τον $M$ με $n(2n+1)$ ανεξάρτητους συντελεστές.

Συμλεκτικοί μετασχηματισμοί

Στην αφηρημένη διατύπωση της γραμμικής άλγεβρας, οι πίνακες αντικαθίστανται από γραμμικούς μετασχηματισμούς διανυσματικών χώρων πεπερασμένων διαστάσεων. Το αφηρημένο ανάλογο ενός συμπλεκτικού πίνακα είναι ένας συμπλεκτικός μετασχηματισμός ενός συμπλεκτικού διανυσματικού χώρου. Εν συντομία, ένας συμπλεκτικός διανυσματικός χώρος $(V,\omega )$ είναι ένας $2n$-διάστατος διανυσματικός χώρος $V$ εξοπλισμένος με μια μη εκφυλισμένη, λοξά συμμετρική διγραμμική μορφή $\omega$ που ονομάζεται συμπλεκτική μορφή.

Ένας συμπλεκτικός μετασχηματισμός είναι τότε ένας γραμμικός μετασχηματισμός $L:V\to V$ που διατηρεί το $\omega$, δηλαδή.

$\omega (Lu,Lv)=\omega (u,v).$

Καθορίζοντας μια βάση για το $V$, το $\omega$ μπορεί να γραφεί ως ένας πίνακας $\Omega$ και το $L$ ως ένας πίνακας $M$. Η συνθήκη ότι ο $L$ είναι ένας συμπλεκτικός μετασχηματισμός είναι ακριβώς η συνθήκη ότι ο M είναι ένας συμπλεκτικός πίνακας:

$M^{\text{T}}\Omega M=\Omega .$

Υπό μια αλλαγή της βάσης, που αντιπροσωπεύεται από έναν πίνακα A, έχουμε

$\Omega \mapsto A^{\text{T}}\Omega A$

$M\mapsto A^{-1}MA.$

Μπορούμε πάντα να φέρουμε το $\Omega$ είτε στην τυπική μορφή που δίνεται στην εισαγωγή είτε στη διαγώνια μορφή που περιγράφεται παρακάτω με κατάλληλη επιλογή του A.

Ο πίνακας Ω

Οι συμπλεκτικοί πίνακες ορίζονται σε σχέση με έναν σταθερό αντιστρέψιμο πίνακα, λοξό-συμμετρικό πίνακα $\Omega$. Όπως εξηγήθηκε στην προηγούμενη ενότητα, ο $\Omega$ μπορεί να θεωρηθεί ως η αναπαράσταση συντεταγμένων μιας μη εκφυλισμένης λοξής συμμετρικής διγραμμικής μορφής. Είναι βασικό αποτέλεσμα της γραμμικής άλγεβρας ότι δύο τέτοιοι πίνακες διαφέρουν μεταξύ τους με μια αλλαγή βάσης.

Η πιο συνηθισμένη εναλλακτική λύση στην τυπική $\Omega$ που δίνεται παραπάνω είναι η διαγώνια σύνθετη μορφή

$\Omega ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}&&0\\&\ddots &\\0&&{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}.$

Αυτή η επιλογή διαφέρει από την προηγούμενη με μια μετάθεση των διανυσμάτων βάσης.

Μερικές φορές χρησιμοποιείται ο συμβολισμός $J$ αντί του $\Omega$ για τον λοξό-συμμετρικό πίνακα. Αυτή είναι μια ιδιαίτερα ατυχής επιλογή καθώς οδηγεί σε σύγχυση με την έννοια της σύνθετης δομής, η οποία συχνά έχει την ίδια έκφραση συντεταγμένων με το $\Omega$ αλλά αντιπροσωπεύει μια πολύ διαφορετική δομή. Μια σύνθετη δομή $J$ είναι η αναπαράσταση συντεταγμένων ενός γραμμικού μετασχηματισμού που σχηματίζει τετράγωνο με $-I_{n}$, ενώ $\Omega$ είναι η αναπαράσταση συντεταγμένων μιας μη εκφυλισμένης λοξής-συμμετρικής διγραμμικής μορφής. Θα μπορούσε κανείς εύκολα να επιλέξει βάσεις στις οποίες το $J$ δεν είναι λοξό-συμμετρικό ή το $\Omega$ δεν τετραγωνίζει το $-I_{n}$.

Δεδομένης μιας ερμιτιανής δομής σε έναν διανυσματικό χώρο, οι $J$ και $\Omega$ συνδέονται μέσω

$\Omega _{ab}=-g_{ac}{J^{c}}_{b}$

όπου $g_{ac}$ είναι η μετρική. Το ότι το $J$ και το $\Omega$ έχουν συνήθως την ίδια έκφραση συντεταγμένων (μέχρι ένα συνολικό πρόσημο) είναι απλά συνέπεια του γεγονότος ότι η μετρική g είναι συνήθως ο ταυτοτικός πίνακας.

Διαγωνοποίηση και ανάλυση

• Για κάθε θετικά ορισμένο συμμετρικό πραγματικό συμπλεκτικό πίνακα S υπάρχει U στο $\mathrm {U} (2n,\mathbb {R} )=\mathrm {O} (2n)$ τέτοιος ώστε

$S=U^{\text{T}}DU\quad {\text{for}}\quad D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},\lambda _{1}^{-1},\ldots ,\lambda _{n}^{-1}),$
όπου τα διαγώνια στοιχεία του D είναι οι ιδιοτιμές του S.

• Κάθε πραγματικός συμπλεκτικός πίνακας S έχει πολική αναλύση της μορφής:

$S=UR\quad$ για $\quad U\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )\cap \operatorname {U} (2n,\mathbb {R} )$ και $R\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )\cap \operatorname {Sym} _{+}(2n,\mathbb {R} ).$

• Κάθε πραγματικός συμπλεκτικός πίνακας μπορεί να αναλυθεί ως γινόμενο τριών πινάκων:

$S=O{\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}O',$

(2)

έτσι ώστε O και O' να είναι και οι δύο συμπλεκτικοί και ορθογώνιοι πίνακες και D να είναι θετικά ορισμένος και διαγώνιος πίνακας. Αυτή η ανάλυση είναι στενά συνδεδεμένη με την ανάλυση της μοναδιαίας τιμής ενός πίνακα και είναι γνωστή ως αποσύνθεση « Όιλερ “ ή ” Μπλοχ-Μεσσίας ».

Μιγαδικοί πίνακες

Αν αντίθετα ο Μ είναι ένας 2n × 2n πίνακας με μιγαδικές καταχωρήσεις, ο ορισμός δεν είναι τυποποιημένος σε όλη τη βιβλιογραφία. Πολλοί συγγραφείς προσαρμόζουν τον παραπάνω ορισμό στο

$M^{*}\Omega M=\Omega \,.$

(3)

όπου M^* δηλώνει τη συζυγή μεταφορά του M. Στην περίπτωση αυτή, η ορίζουσα μπορεί να μην είναι 1, αλλά θα έχει απόλυτη τιμή 1. Στην περίπτωση 2×2 (n=1), ο M θα είναι το γινόμενο ενός πραγματικού συμπλεκτικού πίνακα και ενός μιγαδικού αριθμού με απόλυτη τιμή 1.

Άλλοι συγγραφείς διατηρούν τον ορισμό (1) για τους μιγαδικούς πίνακες και ονομάζουν τους πίνακες που ικανοποιούν το (3) συζυγείς συμπλεκτικούς.

Εφαρμογές

Οι μετασχηματισμοί που περιγράφονται από συμπλεκτικούς πίνακες παίζουν σημαντικό ρόλο στην κβαντική οπτική και στην κβαντική θεωρία πληροφοριών συνεχούς μεταβολής. Παραδείγματος χάριν, οι συμπλεκτικοί πίνακες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν Γκαουσιανούς ( Μπογκολιούμποφ) μετασχηματισμούς μιας κβαντικής κατάστασης του φωτός . Με τη σειρά της, η ανάλυση Μπλοχ-Μεσσίας (2) σημαίνει ότι ένας τέτοιος αυθαίρετος Γκαουσιανός μετασχηματισμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα σύνολο δύο παθητικών γραμμικών-οπτικών συμβολομέτρων (που αντιστοιχούν σε ορθογώνιους πίνακες Ο και Ο' ) που παρεμβάλλονται από ένα στρώμα ενεργών μη γραμμικών μετασχηματισμών συμπίεσης (που δίνονται με βάση τον πίνακα D). Στην πραγματικότητα, μπορεί κανείς να παρακάμψει την ανάγκη για τέτοιους εν σειρά ενεργούς μετασχηματισμούς συμπίεσης, εάν οι συμπιεσμένες καταστάσεις κενού δύο τρόπων είναι διαθέσιμες μόνο ως προηγούμενος πόρος .

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication 27: 231–244. 
• Bareiss, E. H. (1969), «Numerical solution of linear equations with Toeplitz and vector Toeplitz matrices», Numerische Mathematik 13 (5): 404–424, doi:10.1007/BF02163269 
• Goldreich, O.; Tal, A. (2018), «Matrix rigidity of random Toeplitz matrices», Computational Complexity 27 (2): 305–350, doi:10.1007/s00037-016-0144-9 
• Diodorus Siculus, Bibliotheca Historica. Vol. 1–2. Immanel Bekker. Ludwig Dindorf. Friedrich Vogel. in aedibus B. G. Teubneri. Leipzig. 1888–1890. Greek text available at the Perseus Digital Library.
• O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, J. Z. Zhu : The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, Butterworth-Heinemann (2005).
• Broad, William J. (8 Αυγούστου 2015). «29 U.S. Scientists Praise Iran Nuclear Deal in Letter to Obama». The New York Times. Ανακτήθηκε στις 9 Αυγούστου 2015. 
• Brockman, John (1996). «Chap. 9 The Pattern-Recognizer». Digerati: Encounters with the Cyber Elite. HardWired. ISBN 978-1888869040. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 7 Οκτωβρίου 1999. 
• Knuth, D.E., The Art of Computer Programming Volume 2: Seminumerical Algorithms. Addison-Wesley Professional; 3 edition (November 14, 1997). ISBN 978-0-201-89684-8. pp. 501.
• Press, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. (2007), Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8 .
• Ran Raz. On the complexity of matrix product. In Proceedings of the thirty-fourth annual ACM symposium on Theory of computing. ACM Press, 2002. doi:10.1145/509907.509932.
• Robinson, Sara, Toward an Optimal Algorithm for Matrix Multiplication, SIAM News 38(9), November 2005. PDF
• Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (1997). «Continued-fraction expansions for the Riemann zeta function and polylogarithms». Proc. Amer. Math. Soc. 125 (9): 2543–2550. doi:10.1090/S0002-9939-97-04102-6. 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Μιγαδικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Μέγιστος κοινός διαιρέτης
• Υπολογιστική βιολογία
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Συμμετρικός πίνακας
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
• Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
• Κανονική κατανομή
• Θεωρία πιθανοτήτων
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Exercises of Matrices and Linear Algebra
• Eigenvalue Distribution of Large Random Matrices
• Quantum Probability and Spectral Analysis of Graphs.
• Symplectic Methods in Harmonic Analysis and in Mathematical Physics...
• Structure of Dynamical Systems: A Symplectic View of Physics
• Limit Theorems in Probability, Statistics and Number Theory: In Honor of ...
• The Semicircle Law, Free Random Variables and Entropy....
• Symplectic Methods for the Symplectic Eigenproblem

Παραπομπές

• Ozluk, A.E. (1982), Pair Correlation of Zeros of Dirichlet L-functions, Ph. D. Dissertation, Ann Arbor: Univ. of Michigan 
• Katz, Nicholas M.; Sarnak, Peter (1999), «Zeroes of zeta functions and symmetry», Bulletin of the American Mathematical Society, New Series 36 (1): 1–26, doi:10.1090/S0273-0979-99-00766-1, ISSN 0002-9904 
• Bernstein, Dennis S. (2009). Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas (2nd έκδοση). Princeton University Press. ISBN 978-0691140391 – μέσω Google Books. 
• Petersen, Kaare Brandt· Pedersen, Michael Syskind (15 Νοεμβρίου 2012). «The Matrix Cookbook» (PDF). σελίδες 17–23.