Σφαίρα Χιλ

Τα Lagrangian σημεία της Γης (βρίσκεται στα δεξιά της φωτογραφίας ανάμεσα στα L1 & L2) στην περιφορά της γύρω από τον Ήλιο (στη μέση της φωτογραφίας)

Σχηματική απεικόνιση των Lagrangian σημείων της Γης στην περιφορά της γύρω από τον Ήλιο. Το σημείο L1 μεταξύ Γης και Ήλιου βρίσκεται πιο κοντά στη Γη από το σημείο L2 περιορίζοντας έτσι το μέγεθος της σφαίρας Χιλ (Hill) προς αυτή την κατεύθυνση

Η σφαίρα Χιλ ενός ουράνιου σώματος είναι η περιοχή στην οποία η βαρύτητα αυτού του σώματος κυριαρχεί των άλλων σωμάτων. Για να μπορέσει ένας πλανήτης να διατηρήσει έναν φυσικό δορυφόρο θα πρέπει ο δορυφόρος αυτός να βρίσκεται μέσα στη σφαίρα Χιλ του πλανήτη. Με τη σειρά του ο δορυφόρος αυτός έχει τη δική του σφαίρα Χιλ και όποιο σώμα βρεθεί μέσα στην περιοχή αυτή θα μπει σε τροχιά γύρω από τον δορυφόρο και όχι τον πλανήτη.

Με πιο ακριβείς όρους, η σφαίρα Χιλ προσεγγίζει τη βαρυτική σφαίρα επιρροής ενός μικρότερου σώματος στις παρέλξεις ενός μεγαλύτερου.

Η σφαίρα Χιλ ορίστηκε από τον Αμερικανό αστρονόμο Τζορτζ Γουίλιαμ Χιλ (George William Hill), ο οποίος βασίστηκε στην εργασία του Γάλλου αστρονόμου και μαθηματικού Εντουάρ Ρος (Édouard Roche). Για το λόγο αυτό είναι επίσης γνωστή και ως η Σφαίρα του Ρος (δεν πρέπει να συγχέεται με το όριο του Ρος). Η σφαίρα Χιλ εκτείνεται μεταξύ των Lagrangian σημείων L1 και L2, που βρίσκονται κατά μήκος της γραμμής των κέντρων των δύο σωμάτων (στο παράδειγμα η Γη και ο Ήλιος). Η περιοχή επιρροής του δεύτερου σώματος (Γη) είναι μικρότερη προς την κατεύθυνση του Ήλιου και αυτό λειτουργεί ως περιοριστικός παράγοντας για το μέγεθος της σφαίρας Χιλ. Πέραν της απόστασης αυτής (L2) ένα τρίτο σώμα σε τροχιά γύρω από το δεύτερο θα δαπανήσει ένα μεγάλο μέρος της τροχιάς του εκτός της σφαίρας Χιλ του δευτέρου σώματος με αποτέλεσμα σταδιακά και με την πάρελξη των παλιρροιακών δυνάμεων του κεντρικού σώματος (Ήλιος), θα καταλήξει τελικά σε τροχιά γύρω από το πρώτο σώμα (Ήλιος).

Μαθηματική προσέγγιση

Εάν η μάζα ενός μικρού σώματος (π.χ. Γη) είναι m και είναι σε τροχιά γύρω από ένα μεγαλύτερο σώμα (π.χ. Ήλιος) μάζας Μ με μικρό ημιάξονα a και εκκεντρότητα e, τότε η ακτίνα r της σφαίρας Hill είναι περίπου:

$r\approx a(1-e){\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}$

Όταν η εκκεντρότητα είναι αμελητέα (η πλέον ευνοϊκή υπόθεση για τροχιακή σταθερότητα), αυτό γίνεται:

$r\approx a{\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}$

Στο παράδειγμα της Γης, η Γη (5,97 × 10 ²⁴ kg) περιφέρεται γύρω από τον Ήλιο (1,99 × 10 ³⁰ kg) σε απόσταση 149,6 εκατομμυρίων χιλιομέτρων. Η σφαίρα Χιλ για τη Γη επεκτείνεται περίπου 1,5 εκατομμύρια χιλιόμετρα (0,01 αστρονομικές μονάδες) στην αντίθετη προς τον Ήλιο κατεύθυνση. Η τροχιά του φεγγαριού, σε μια απόσταση 384.000 χιλιομέτρων από τη Γη, είναι άνετα στο βαρυτικό πεδίο επιρροής της Γης και επομένως δεν κινδυνεύει να μπει σε μια ανεξάρτητη τροχιά γύρω από τον Ήλιο.

Παραδείγματα

Ένας αστροναύτης δεν θα μπορούσε να μπει σε τροχιά γύρω από το διαστημικό λεωφορείο (με μάζα 104 τόνους), του οποίου η τροχιά είναι 300 χιλιόμετρα πάνω από τη Γη, καθώς η σφαίρα Χιλ του διαστημικού λεωφορείου είναι μόνο 120 εκατοστά σε ακτίνα, πολύ μικρότερη από το ίδιο το διαστημικό λεωφορείο. Στην πραγματικότητα σε χαμηλή γήινη τροχιά (έως 2.000 χιλιόμετρα πάνω από τη Γη) ένα σφαιρικό σώμα θα πρέπει να είναι 800 φορές πυκνότερο από τον μόλυβδο, ώστε να χωρέσει μέσα στη δική του σφαίρα Χιλ και να είναι σε θέση να υποστηρίζει τροχιές άλλων σωμάτων γύρω του. Ένας τεχνητός δορυφόρος σε γεωσύγχρονη τροχιά (περίπου 36.000 χιλιόμετρα πάνω από τη Γη) θα πρέπει να είναι πάνω από 5 φορές πυκνότερος από τον μόλυβδο για τη στήριξη δικών του δορυφόρων ή 2,5 φορές πυκνότερος από το όσμιο, το πυκνότερο υλικό που συναντάται στη Γη. Μόνο στο διπλάσιο της γεωστατικής απόστασης θα μπορούσε ενδεχομένως μία σφαίρα από μόλυβδο να στηρίξει δικό της δορυφόρο. Το φεγγάρι βρίσκεται περισσότερο από τρεις φορές πιο μακριά από το τριπλάσιο της γεωστατικής τροχιάς και για αυτόν τον λόγο σεληνιακές τροχιές είναι δυνατές.

Εντός του ηλιακού συστήματος ο πλανήτης με τη μεγαλύτερη ακτίνα Χιλ είναι ο Ποσειδώνας με 116 εκατομμύρια χιλιόμετρα ή 0,775 αστρονομικές μονάδες λόγω της μεγάλης απόστασής του από τον Ήλιο. Η απόσταση αυτή αντισταθμίζει επαρκώς τη μικρή του μάζα σε σχέση με τον Δία, του οποίου η ακτίνα της σφαίρας Χιλ είναι μόλις 53 εκατομμύρια χιλιόμετρα, ακριβώς επειδή είναι πιο κοντά στον Ήλιο από τον μικρότερο σε μάζα Ποσειδώνα.