Πίνακας Συλβέστερ
Στα μαθηματικά, ένας πίνακας Συλβέστερ[1] είναι ένας πίνακας που σχετίζεται με δύο μονομεταβλητά πολυώνυμα με συντελεστές σε ένα σώμα ή έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο. Οι καταχωρήσεις του πίνακα Συλβέστερ δύο πολυωνύμων είναι οι συντελεστές των πολυωνύμων. Η ορίζουσα του πίνακα Συλβέστερ δύο πολυωνύμων είναι η συνισταμένη[2] τους, η οποία είναι μηδέν όταν τα δύο πολυώνυμα έχουν κοινή ρίζα (στην περίπτωση συντελεστών σε σώμα) ή μη σταθερό κοινό διαιρέτη (στην περίπτωση συντελεστών σε ένα σώμα).
Οι πίνακες Συλβέστερ πήραν το όνομά τους από τον Τζέιμς Τζόζεφ Συλβέστερ.[3]
Ορισμός
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Έστω p και q δύο μη μηδενικά πολυώνυμα, αντίστοιχα βαθμού m και n. Συνεπώς:[4]
Ο πίνακας Συλβέστερ που σχετίζεται με τα p και q είναι τότε ο πίνακας που κατασκευάζεται ως εξής:
- αν n > 0, η πρώτη σειρά είναι:
- η δεύτερη σειρά είναι η πρώτη σειρά, μετατοπισμένη κατά μία στήλη προς τα δεξιά- το πρώτο στοιχείο της σειράς είναι μηδέν.
- οι επόμενες n − 2 σειρές προκύπτουν με τον ίδιο τρόπο, μετατοπίζοντας τους συντελεστές κατά μία στήλη προς τα δεξιά κάθε φορά και θέτοντας τα υπόλοιπα στοιχεία της σειράς ως 0.
- αν m > 0 η (n + 1)η γραμμή είναι:
- οι ακόλουθες σειρές προκύπτουν με τον ίδιο τρόπο όπως προηγουμένως.
Έτσι, αν m = 4 και n = 3, ο πίνακας είναι:
Αν ένας από τους βαθμούς είναι μηδέν (δηλαδή το αντίστοιχο πολυώνυμο είναι ένα μη μηδενικό σταθερό πολυώνυμο), τότε υπάρχουν μηδενικές γραμμές που αποτελούνται από συντελεστές του άλλου πολυωνύμου και ο πίνακας Συλβέστερ είναι ένας διαγώνιος πίνακας διάστασης του βαθμού του μη σταθερού πολυωνύμου, με όλους τους διαγώνιους συντελεστές ίσους με το σταθερό πολυώνυμο. Αν m = n = 0, τότε ο πίνακας Συλβέστερ είναι ο άδειος πίνακας με μηδέν γραμμές και μηδέν στήλες.
Μία παραλλαγή
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Ο παραπάνω πίνακας Συλβέστερ εμφανίζεται σε ένα δημοσίευμα του Συλβέστερ του 1840. Σε μια εργασία του 1853, ο Συλβέστερ εισήγαγε τον ακόλουθο πίνακα, ο οποίος είναι, μέχρι μια μετάθεση των γραμμών, ο πίνακας Συλβέστερ των p και q, οι οποίοι θεωρούνται ότι έχουν και οι δύο βαθμό max(m, n).[5] Πρόκειται επομένως για έναν -πίνακα που περιέχει ζεύγη γραμμών. Υποθέτοντας προκύπτει ως εξής:
- το πρώτο ζεύγος είναι:
- το δεύτερο ζεύγος είναι το πρώτο ζεύγος, μετατοπισμένο κατά μία στήλη προς τα δεξιά- τα πρώτα στοιχεία στις δύο σειρές είναι μηδενικά.
- τα υπόλοιπα ζεύγη γραμμών προκύπτουν με τον ίδιο τρόπο όπως παραπάνω.
Έτσι, αν m = 4 και n = 3, ο πίνακας είναι:
Η ορίζουσα του πίνακα 1853 είναι, μέχρι το πρόσημο, το γινόμενο της ορίζουσας του πίνακα Συλβέστερ (η οποία ονομάζεται συνισταμένη των p και q) επί (υποθέτοντας ότι ).
Εφαρμογές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Αυτοί οι πίνακες χρησιμοποιούνται στην αντιμεταθετική άλγεβρα, π.χ. για να ελεγχθεί αν δύο πολυώνυμα έχουν έναν (μη σταθερό) κοινό παράγοντα. Σε μια τέτοια περίπτωση, η ορίζουσα του σχετικού πίνακα Συλβέστερ (ο οποίος ονομάζεται συνισταμένη των δύο πολυωνύμων) ισούται με μηδέν. Το αντίστροφο ισχύει επίσης.) ισούται με μηδέν[6]. Το αντίστροφο ισχύει επίσης.
Οι λύσεις των ταυτόχρονων γραμμικών εξισώσεων
όπου είναι ένα διάνυσμα μεγέθους και έχει μέγεθος , περιλαμβάνουν τα διανύσματα συντελεστών εκείνων και μόνο εκείνων των ζευγών πολυωνύμων (βαθμού και , αντίστοιχα) που ικανοποιούν
όπου χρησιμοποιείται πολυωνυμικός πολλαπλασιασμός και πρόσθεση. Αυτό σημαίνει ότι ο πυρήνας του μετατοπισμένου πίνακα Συλβέστερ δίνει όλες τις λύσεις της εξίσωσης Μπεζού όπου και .
Συνεπώς, ο βαθμός του πίνακα Συλβέστερ καθορίζει τον βαθμό του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη των p και q:
Επιπλέον, οι συντελεστές αυτού του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη μπορούν να εκφραστούν ως Ορίζουσες υποπινάκων του πίνακα Συλβέστερ.
Δημοσιεύσεις
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf.
- Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9.
- Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication 27: 231–244.
- Goethals J.M., Seidel J.J. (1967). «Orthogonal matrices with zero diagonal». Canadian Journal of Mathematics 19: 1001–1010. doi:. https://archive.org/details/sim_canadian-journal-of-mathematics_1967_19_5/page/1001.
- Bressoud, David M., Proofs and Confirmations: The Story of the Alternating Sign Matrix Conjecture, MAA Spectrum, Mathematical Associations of America, Washington, D.C., 1999.(ISBN 978-0521666466)
- Bressoud, David M. and Propp, James, How the alternating sign matrix conjecture was solved, Notices of the American Mathematical Society, 46 (1999), 637–646.
- Mills, William H., Robbins, David P., and Rumsey, Howard Jr., Proof of the Macdonald conjecture, Inventiones Mathematicae, 66 (1982), 73–87.
- Gell-Mann, Murray (1962-02-01). «Symmetries of Baryons and Mesons». Physical Review (American Physical Society (APS)) 125 (3): 1067–1084. doi: . ISSN 0031-899X. Bibcode: 1962PhRv..125.1067G.
- Cheng, T.-P.· Li, L.-F. (1983). Gauge Theory of Elementary Particle Physics. Oxford University Press. ISBN 0-19-851961-3.
- Georgi, H. (1999). Lie Algebras in Particle Physics (2nd έκδοση). Westview Press. ISBN 978-0-7382-0233-4.
- Arfken, G. B.· Weber, H. J.· Harris, F. E. (2000). Mathematical Methods for Physicists (7th έκδοση). ω. ISBN 978-0-12-384654-9.
- Kokkedee, J. J. J. (1969). The Quark Model. W. A. Benjamin. LCCN 69014391.
Δείτε επίσης
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Field Arithmetic
- Πραγματικό προβολικό επίπεδο
- Πραγματικός αριθμός
- Αντιερμιτιανός πίνακας
- Δέλτα του Κρόνεκερ
- Ταυτοτικός πίνακας
- Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
- Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
- Πεπερασμένο σώμα
- Αντιμεταθέσιμοι πίνακες
- Πολλαπλασιασμός πινάκων
- Τζέιμς Τζόσεφ Συλβέστερ
- High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
- Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
- Matrix calculator
- Matrix Analysis
- Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
- Mathematical Methods For Physicists
- Basic Matrix Algebra with Algorithms and Applications
- Information Security and Privacy: 13th Australasian Conference, ACISP 2008 ...
- Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
- Representation of Rings Over Skew Fields
- James Joseph Sylvester: Life and Work in Letters
- Generalized Sylvester Equations: Unified Parametric Solutions
Παραπομπές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- ↑ Kent, Allen· Williams, James G. (26 Αυγούστου 1998). Encyclopedia of Computer Science and Technology: Volume 39 - Supplement 24 - Entity Identification to Virtual Reality in Driving Simulation. CRC Press. ISBN 978-0-8247-2292-0.
- ↑ «Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου» (PDF).
- ↑ Sylvester, James Joseph· Parshall, Karen Hunger (10 Ιανουαρίου 2013). James Joseph Sylvester: Life and Work in Letters. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-967138-0.
- ↑ «SYLVESTER'S MATRIX THEOREM». sepwww.stanford.edu. Ανακτήθηκε στις 17 Αυγούστου 2024.
- ↑ Akritas, A.G., Malaschonok, G.I., Vigklas, P.S.:Sturm Sequences and Modified Subresultant Polynomial Remainder Sequences. Serdica Journal of Computing, Vol. 8, No 1, 29--46, 2014
- ↑ Maroulas, J.; Dascalopoulos, D. (1981-03-01). «Applications of the generalized Sylvester matrix». Applied Mathematics and Computation 8 (2): 121–135. doi: . ISSN 0096-3003. https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0096300381900035.
- Paley, R.E.A.C. (1933). «On orthogonal matrices». Journal of Mathematics and Physics 12: 311–320. doi: . Zbl 0007.10004.
- L. D. Baumert; S. W. Golomb; M. Hall Jr (1962). «Discovery of an Hadamard matrix of order 92». Bull. Amer. Math. Soc. 68 (3): 237–238. doi: .
- F.J. MacWilliams· N.J.A. Sloane (1977). The Theory of Error-Correcting Codes. North-Holland. σελίδες 47, 56. ISBN 0-444-85193-3.