Diskreta grupo
En matematiko, diskreta grupo estas grupo G ekipita per la diskreta topologio. Kun ĉi tiu topologio G iĝas topologia grupo. diskreta subgrupo de topologia grupo G estas subgrupo H kies relativa topologio estas la diskreta. Ekzemple, la entjeroj, Z, formas diskretan subgrupon de la reelaj nombroj, R, sed la racionalaj nombroj, Q, ne.
Ĉar topologiaj grupoj estas homogenaj, oni bezonas nur rigardi solan punkton por difini, ĉu la grupo estas diskreta. Aparte, topologia grupo estas diskreta se kaj nur se, la aro konsistanta el nur unu ero kaj enhavanta la identon estas malfermita aro (se konsideri la grupon kiel topologia spaco), aŭ ekvivalente se kaj nur se la identa ero estas ena punkto de la aro enhavanta nur ĝin, aŭ ekvivalente se kaj nur se ekzistas tia nombro d ke la grupo ne enhavas iun ajn eron pli proksiman al la identa ero ol la distanco d.
Iu ajn grupo povas esti donita per la diskreta topologio. Ĉar ĉiu mapo de diskreta spaco estas kontinua, la topologiaj homomorfioj de diskreta grupo estas akurate la grupaj homomorfioj de la suba grupo. De ĉi tie, estas izomorfio inter la kategorioj de grupoj kaj de diskretaj grupoj kaj ja, diskretaj grupoj povas ĝenerale esti identigitaj kun la subaj ne-topologiaj grupoj. Kun tio en menso, la termino diskreta grupa teorio signifas la studon de grupoj sen topologia strukturo, kontraste al topologia aŭ teorio de grupoj de Lie. Ĝi estas dividita, logike sed ankaŭ teknike, en finian grupan teorion, kaj malfinian grupan teorion.
Se G estas finia aŭ kalkulebla (kalkuleble malfinia) grupo, tiam la diskreta topologio sufiĉas al fari ĝin nulo-dimensian grupon de Lie. Ĉar la nura topologio de Hausdorff sur finia aro estas la diskreta, finia topologia grupo de Hausdorff devas laŭbezone esti diskreta.
Estas iuj fojoj kiam topologia grupo aŭ grupo de Lie estas utile dotitaj kun la diskreta topologio, 'kontraŭ naturo'. Tio okazas ekzemple en la teorio de la Bohr-kompaktigo, kaj en grupa kunhomomorfia teorio de Lie-grupoj.
Diskreta subgrupo H de G estas kunkompakta se estas kompakta subaro K de G tia, ke HK = G.
Ekzemploj
[redakti | redakti fonton]- Frisaj grupoj kaj papertapetaj grupoj estas diskretaj subgrupoj de la izometria grupo de la Eŭklida ebeno. Papertapetaj grupoj estas kunkompaktaj, sed Frisaj grupoj estas ne.
- Spaca grupo estas diskreta subgrupo de la izometria grupo de Eŭklida spaco de iu dimensio.
- Kristalografia grupo kutime signifas kunkompaktan, diskretan subgrupon de la izometrioj de iu eŭklida spaco. Iam, tamen, kristalografia grupo povas esti kunkompakta diskreta subgrupo de nulpotenca aŭ solvebla Grupo de Lie.
- Ĉiu triangula grupo T estas diskreta subgrupo de la izometria grupo de la sfero (kiam T estas finia), la Eŭklida ebeno (kiam T havas Z + Z subgrupon de finia indekso), aŭ la hiperbola ebeno.
- Fuchsiaj grupoj estas, laŭdifine, diskretaj subgrupoj de la izometria grupo de la hiperbola ebeno.
- Fuchsia grupo, kiu konfitas orientiĝo kaj agas sur la supra duonebena modelo de la hiperbola ebeno estas diskreta subgrupo de la Grupo de Lie PSL(2,R), la grupo de orientiĝo konfitantaj izometrioj de la supra duonebena modelo de la hiperbola ebeno.
- Fuchsia grupo estas iam konsiderata kiel speciala kazo de grupo de Klein, per enigo la hiperbola ebeno izometrie en tri-dimensian hiperbolan spacon kaj etendanta la grupa ago sur la ebeno al la tuta spaco.
- La modula grupo estas PSL(2,Z), konsiderata kiel diskreta subgrupo de PSL(2,R). La modula grupo estas krado en PSL(2,R), sed ĝi estas ne kunkompakta.
- Grupoj de Klein estas, laŭdifine, diskretaj subgrupoj de la izometria grupo de hiperbola 3-spaco. Tiuj inkluzivas kvazaŭ-Fuchsiajn grupojn.
- Grupo de Klein, kiu konfitas orientiĝo kaj agas sur la supra duona spaca modelo de hiperbola 3-spaco estas diskreta subgrupo de la Grupo de Lie PSL(2,C), la grupo de orientiĝo konfitanta izometriojn de la supra duono-spaca modelo de hiperbola 3-spaco.
- Krado en grupo de Lie estas diskreta subgrupo tia, ke la mezuro de Haar de la kvocienta spaco estas finia.