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En matemáticas, el resultante de dos polinomios es una expresión polinómica de sus coeficientes que es igual a cero si y solo si los polinomios tienen alguna raíz común (posiblemente, sobre, en una extensión de cuerpos), o, equivalentemente, un factor común (sobre su cuerpo de coeficientes). En algunos textos antiguos, el resultante también se llama eliminante.^[1]

El resultante se utiliza ampliamente en teoría de números, ya sea directamente o a través del discriminante, que es esencialmente el resultante de un polinomio y su propia derivada. El resultante de dos polinomios con coeficientes racionales se puede calcular eficientemente mediante algoritmos. Es una herramienta básica de álgebra computacional, y es una función incorporada de la mayoría de los sistemas de álgebra computacional. Se utiliza, entre otros, para la descomposición algebraica cilíndrica, la integración de funciones racionales y el dibujo de curvas definidas por una ecuación polinómica bivariada.

El resultante de n polinomios homogéneos en n variables (también llamado resultante multivariante o resultante de Macaulay para distinguirlo del resultante habitual) es una generalización, introducida por Macaulay, del resultante habitual.^[2] Es, junto con las bases de Gröbner, una de las principales herramientas de la teoría de la eliminación.

Cálculo

Si se conocen las raíces de los polinomios su resultante se puede calcular como:

$\mathrm {res} \,(P,Q)=\prod _{P(x)=0}\prod _{Q(y)=0}(y-x),\,$

de las diferencias de sus raíces, donde $x$ y $y$ toma valores en la clausura algebraica de $k$ . Para polinomios no mónicos con coeficientes dominantes $p$ y $q$ , respectivamente, el producto de más arriba se multiplica por

$p^{\deg Q}q^{\deg P}.\,$

Además el resultante puede calcularse en términos de los coeficientes sin necesidad de conocer explícitamente las raíces, de ahí su utilidad.

Propiedades de cálculo

La resultante es el determinante de la matriz de Sylvester.
El productorio anterior puede ser reescrito como

\mathrm {res} (P,Q)=\prod _{Q(y)=0}P(y)\,

y esta expresión permanece invariante si

P

se reduce módulo

Q

.

Sea $P'=P\mod Q$ . La idea anterior puede ser aplicada intercambiando los papeles de $P'$ y $Q$ . Sin embargo, $P'$ tiene un conjunto de raíces diferentes de las de $P$ . Esto puede ser resuelto escribiendo $\prod _{Q(y)=0}P'(y)\,$ como un determinante otra vez, donde $P'$ tiene como coeficientes no dominantes el cero. Este determinante puede ser simplificado mediante una expansión iterativa con respecto la columna, donde solo el coeficiente dominante $q$ de $Q$ aparece.

\mathrm {res} (P,Q)=q^{\deg P-\deg P'}\cdot \mathrm {res} (P',Q)

Continuando este procedimiento obtenemos una variante del algoritmo de Euclides. Este procedimiento necesita tiempo de ejecución cuadrático.

Otras propiedades

$\mathrm {res} (P,Q)=(-1)^{\deg P\cdot \deg Q}\cdot \mathrm {res} (Q,P)$
$\mathrm {res} (P\cdot R,Q)=\mathrm {res} (P,Q)\cdot \mathrm {res} (R,Q)$
Si $P'=P+R\cdot Q$ y $\deg P'=\deg P$ , entonces $\mathrm {res} (P,Q)=\mathrm {res} (P',Q)$
Si $X,Y,P,Q$ tienen el mismo grado y $X=a_{00}\cdot P+a_{01}\cdot Q,Y=a_{10}\cdot P+a_{11}\cdot Q$ ,

entonces

\mathrm {res} (X,Y)=\det {\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}^{\deg P}\cdot \mathrm {res} (P,Q)

$\mathrm {res} (P_{-},Q)=\mathrm {res} (Q_{-},P)$ donde $P_{-}(z)=P(-z)$

Aplicaciones

Los resultantes pueden ser usados en geometría algebraica para determinar intersecciones. Por ejemplo, sean $f(x,y)=0$ y $g(x,y)=0$ definiendo unas curva algebraica en $\mathbb {A} _{k}^{2}$ . Si $f$ y $g$ son vistos como polinomios en $x$ con coeficientes en $k(y)$ , entonces la resultante de $f$ y $g$ es un polinomio en $y$ cuyas raíces son las coordenadas $y$ de la intersección de las curvas.
En teoría de Galois, las resultantes pueden ser usadas para calcular normas.
En física, la resultante (ya sea velocidad, fuerza, etc) es la suma de dos o más vectores que por obvias razones son consecutivos. No se debe confundir con la distancia recorrida, ya que esta última es sólo la suma de magnitudes escalares.

Referencias

↑ Salmon, George (1885), Lessons introductory to the modern higher algebra (4th edición), Dublin, Hodges, Figgis, and Co., lesson VIII, p. 66, ISBN 978-0-8284-0150-0 Parámetro desconocido |orig-year= ignorado (ayuda).
↑ Macaulay, F. S. (1902), «Some Formulæ in Elimination», Proc. London Math. Soc. 35: 3-27, doi:10.1112/plms/s1-35.1.3 .

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Resultant». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Datos: Q1168321

[1] Salmon, George (1885), Lessons introductory to the modern higher algebra (4th edición), Dublin, Hodges, Figgis, and Co., lesson VIII, p. 66, ISBN 978-0-8284-0150-0 Parámetro desconocido |orig-year= ignorado (ayuda).

[2] Macaulay, F. S. (1902), «Some Formulæ in Elimination», Proc. London Math. Soc. 35: 3-27, doi:10.1112/plms/s1-35.1.3 .

[1]

[2]

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+En matemáticas, el '''resultante''' de dos [[polinomio]]s es una expresión polinómica de sus coeficientes que es igual a cero si y solo si los polinomios tienen alguna raíz común (posiblemente, sobre, en una [[extensión de cuerpos]]), o, equivalentemente, un factor común (sobre su cuerpo de coeficientes). En algunos textos antiguos, el resultante también se llama '''eliminante'''.<ref>{{Citation | last1=Salmon | first1=George | title=Lessons introductory to the modern higher algebra | orig-year=1859 | url=https://archive.org/details/salmonalgebra00salmrich | publisher=Dublin, Hodges, Figgis, and Co. | edition=4th | isbn=978-0-8284-0150-0 | year=1885 | at = lesson VIII, p. 66 }}</ref>
-En [[matemáticas]], la '''resultante''' de dos [[polinomio mónico|polinomios mónicos]] <math>P</math> y <math>Q</math> sobre un [[Cuerpo (matemática)|cuerpo]] <math>k</math> se define como el producto:
+El resultante se utiliza ampliamente en [[teoría de números]], ya sea directamente o a través del [[discriminante]], que es esencialmente el resultante de un polinomio y su propia derivada. El resultante de dos polinomios con coeficientes racionales se puede calcular eficientemente mediante algoritmos. Es una herramienta básica de [[álgebra computacional]], y es una función incorporada de la mayoría de los sistemas de álgebra computacional. Se utiliza, entre otros, para la [[descomposición algebraica cilíndrica]], la [[integración simbólica|integración]] de [[funciones racionales]] y el dibujo de [[curvas]] definidas por una [[ecuación polinómica]] [[Polinomial#Número de variables|bivariada]].
-:<math>\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{P(x)=0} \prod_{Q(y)=0} (y-x),\,</math>
+El resultante de ''n'' [[polinomios homogéneos]] en ''n'' variables (también llamado '''resultante multivariante''' o '''resultante de Macaulay''' para distinguirlo del resultante habitual) es una generalización, introducida por [[Francis Sowerby Macaulay|Macaulay]], del resultante habitual.<ref>{{citation|first=F. S.|last= Macaulay|author-link=Francis Sowerby Macaulay|title=Some Formulæ in Elimination|journal=[[Proc. London Math. Soc.]] | year=1902 | volume=35 | pages= 3–27|doi=10.1112/plms/s1-35.1.3 |url= https://zenodo.org/record/1447750}}</ref> Es, junto con las [[base de Gröbner|bases de Gröbner]], una de las principales herramientas de la teoría de la eliminación.
-de las diferencias de sus raíces, donde <math>x</math> y <math>y</math> toma valores en la [[clausura algebraica]] de <math>k</math>. Para polinomios no mónicos con coeficientes dominantes <math>p</math> y <math>q</math>, respectivamente, el producto de más arriba se multiplica por
+== Cálculo ==
-:<math>p^{\deg Q} q^{\deg P}.\,</math>
+Si se conocen las raíces de los polinomios su resultante se puede calcular como:
-==Computación==
+{{ecuación|
-* La resultante es el [[determinante]] de la [[matriz de Sylvester]].
+<math>\mathrm{res}\,(P,Q) = \prod_{P(x)=0} \prod_{Q(y)=0} (y-x),\,</math>
-*la resultante es el que determina como procesa o procede la matriz de Sylvester... el cual es muy importante... sin un operador o un sistema que le de "ordenes" el sist. matriz de Sylvester no serviria o podria dañar el disco de la PC
+||left}}
+de las diferencias de sus raíces, donde <math>x</math> y <math>y</math> toma valores en la [[clausura algebraica]] de <math>k</math>. Para polinomios no mónicos con coeficientes dominantes <math>p</math> y <math>q</math>, respectivamente, el producto de más arriba se multiplica por
+{{ecuación|
+<math>p^{\deg Q} q^{\deg P}.\,</math>
+||left}}
+Además el resultante puede calcularse en términos de los coeficientes sin necesidad de conocer explícitamente las raíces, de ahí su utilidad.
+==Propiedades de cálculo==
+* La resultante es el [[determinante (matemática)|determinante]] de la [[matriz de Sylvester]].
 * El productorio anterior puede ser reescrito como
 :<math>\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{Q(y)=0} P(y)\,</math>
 :y esta expresión permanece invariante si <math>P</math> se reduce módulo <math>Q</math>.
 * Sea <math>P' = P \mod Q</math>. La idea anterior puede ser aplicada intercambiando los papeles de <math>P'</math> y <math>Q</math>. Sin embargo, <math>P'</math> tiene un conjunto de raíces diferentes de las de <math>P</math>. Esto puede ser resuelto escribiendo <math>\prod_{Q(y)=0} P'(y)\,</math> como un determinante otra vez, donde <math>P'</math> tiene como coeficientes no dominantes el cero. Este determinante puede ser simplificado mediante una expansión iterativa con respecto la columna, donde solo el coeficiente dominante <math>q</math> de <math>Q</math> aparece.
 :<math>\mathrm{res}(P,Q) = q^{\deg P - \deg P'} \cdot \mathrm{res}(P',Q)</math>
-:Continuando este procedimiento obtenemos una variante del [[algoritmo de Euclides]]. Este procedimiento necesita tiempo de ejecución cuadrático.
+:Continuando este procedimiento obtenemos una variante del [[algoritmo de Euclides]]. Este procedimiento necesita [[tiempo de ejecución]] cuadrático.
-==Propiedades==
+==Otras propiedades==
 * <math>\mathrm{res}(P,Q) = (-1)^{\deg P \cdot \deg Q} \cdot \mathrm{res}(Q,P)</math>
 * <math>\mathrm{res}(P\cdot R,Q) = \mathrm{res}(P,Q) \cdot \mathrm{res}(R,Q)</math>
-* Si <math>P' = P + R*Q</math> y <math>\deg P' = \deg P</math>, entonces <math>\mathrm{res}(P,Q) = \mathrm{res}(P',Q)</math>
+* Si <math>P' = P + R\cdot Q</math> y <math>\deg P' = \deg P</math>, entonces <math>\mathrm{res}(P,Q) = \mathrm{res}(P',Q)</math>
 * Si <math>X, Y, P, Q</math> tienen el mismo grado y <math>X = a_{00}\cdot P + a_{01}\cdot Q, Y = a_{10}\cdot P + a_{11}\cdot Q</math>,
 :entonces <math>\mathrm{res}(X,Y) = \det{\begin{pmatrix} a_{00} & a_{01} \\ a_{10} & a_{11} \end{pmatrix}}^{\deg P} \cdot \mathrm{res}(P,Q)</math>
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 ==Aplicaciones==
+* Los resultantes pueden ser usados en [[geometría algebraica]] para determinar intersecciones. Por ejemplo, sean <math>f(x,y)=0</math> y <math>g(x,y)=0</math> definiendo unas [[curvas algebraicas|curva algebraica]] en <math>\mathbb{A}^2_k</math>. Si <math>f</math> y <math>g</math> son vistos como polinomios en <math>x</math> con coeficientes en <math>k(y)</math>, entonces la resultante de <math>f</math> y <math>g</math> es un [[polinomio]] en <math>y</math> cuyas raíces son las coordenadas <math>y</math> de la intersección de las curvas.
-* Las resultantes pueden ser usadas en la [[geometría algebraica]] para determinar intersecciones. Por ejemplo, sean <math>f(x,y)=0</math> y <math>g(x,y)=0</math> definiendo unas [[curvas algebraicas|curva algebraica]] en <math>\mathbb{A}^2_k</math>. Si <math>f</math> y <math>g</math> son vistos como polinomios en <math>x</math> con coeficientes en <math>k(y)</math>, entonces la resultante de <math>f</math> y <math>g</math> es un polinomio en <math>y</math> cuyas raíces son las coordenadas <math>y</math> de la intersección de las curvas.
 * En [[teoría de Galois]], las resultantes pueden ser usadas para calcular [[Norma de un cuerpo|normas]].
+* En [[física]], la resultante (ya sea velocidad, fuerza, etc) es la suma de dos o más vectores que por obvias razones son consecutivos. No se debe confundir con la distancia recorrida, ya que esta última es sólo la suma de magnitudes escalares.
-==Referencias==
+== Referencias ==
+{{Listaref}}
-* [http://mathworld.wolfram.com/Resultant.html Mathworld]
+== Enlaces externos ==
-la resultante es un vector "flecha" que une a una fuerza con otra y la distancia que hay entre esas fuerzas seria el valor de la resultante...
+* {{MathWorld|Resultant|Resultant}}
+{{Control de autoridades}}
-[[de:Resultante]]
+[[Categoría:Polinomios]]
-[[en:Resultant]]
+[[Categoría:Determinantes]]
-[[fr:Résultant]]
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