Resultante

En matemáticas, la resultante de dos polinomios mónicos $P$ y $Q$ sobre un cuerpo $k$ se define como el producto:

$\mathrm {res} (P,Q)=\prod _{P(x)=0}\prod _{Q(y)=0}(y-x),\,$

de las diferencias de sus raíces, donde $x$ y $y$ toma valores en la clausura algebraica de $k$. Para polinomios no mónicos con coeficientes dominantes $p$ y $q$, respectivamente, el producto de más arriba se multiplica por

$p^{\deg Q}q^{\deg P}.\,$

Computación

• La resultante es el determinante de la matriz de Sylvester.

• El productorio anterior puede ser reescrito como

$\mathrm {res} (P,Q)=\prod _{Q(y)=0}P(y)\,$

y esta expresión permanece invariante si $P$ se reduce módulo $Q$.

• Sea $P'=P\mod Q$. La idea anterior puede ser aplicada intercambiando los papeles de $P'$ y $Q$. Sin embargo, $P'$ tiene un conjunto de raíces diferentes de las de $P$. Esto puede ser resuelto escribiendo $\prod _{Q(y)=0}P'(y)\,$ como un determinante otra vez, donde $P'$ tiene como coeficientes no dominantes el cero. Este determinante puede ser simplificado mediante una expansión iterativa con respecto la columna, donde solo el coeficiente dominante $q$ de $Q$ aparece.

$\mathrm {res} (P,Q)=q^{\deg P-\deg P'}\cdot \mathrm {res} (P',Q)$

Continuando este procedimiento obtenemos una variante del algoritmo de Euclides. Este procedimiento necesita tiempo de ejecución cuadrático.

Propiedades

• $\mathrm {res} (P,Q)=(-1)^{\deg P\cdot \deg Q}\cdot \mathrm {res} (Q,P)$
• $\mathrm {res} (P\cdot R,Q)=\mathrm {res} (P,Q)\cdot \mathrm {res} (R,Q)$
• Si $P'=P+R*Q$ y $\deg P'=\deg P$, entonces $\mathrm {res} (P,Q)=\mathrm {res} (P',Q)$
• Si $X,Y,P,Q$ tienen el mismo grado y $X=a_{00}\cdot P+a_{01}\cdot Q,Y=a_{10}\cdot P+a_{11}\cdot Q$,

entonces $\mathrm {res} (X,Y)=\det {\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}^{\deg P}\cdot \mathrm {res} (P,Q)$

• $\mathrm {res} (P_{-},Q)=\mathrm {res} (Q_{-},P)$ donde $P_{-}(z)=P(-z)$

Aplicaciones

• Las resultantes pueden ser usadas en la geometría algebraica para determinar intersecciones. Por ejemplo, sean $f(x,y)=0$ y $g(x,y)=0$ definiendo unas curva algebraica en $\mathbb {A} _{k}^{2}$. Si $f$ y $g$ son vistos como polinomios en $x$ con coeficientes en $k(y)$, entonces la resultante de $f$ y $g$ es un polinomio en $y$ cuyas raíces son las coordenadas $y$ de la intersección de las curvas.

• En teoría de Galois, las resultantes pueden ser usadas para calcular normas.

Referencias

• Mathworld