Aritmética ordinal

En teoría de conjuntos, la aritmética ordinal describe tres operaciones de la aritmética —suma, multiplicación y exponenciación— aplicadas a los números ordinales. Cada operación puede definirse bien por recursión transfinita, bien definiendo los conjuntos bien ordenados que las representan.

Suma

En la suma de dos ordinales $α$ y $β$ , se considera el conjunto dado por la totalidad de los elementos de ambos, ordenado de forma que todos los elementos de $β$ son mayores que todos los elementos de $α$ . Este conjunto está bien ordenado, y su ordinal correspondiente es $α + β$ . De manera más técnica:

$\alpha +\beta ={\overline {\alpha \times \{0\}\cup \beta \times \{1\}}}$ ,

donde se considera el orden dado por

$(\gamma ,n)<(\delta ,m)\Leftrightarrow {\text{O bien }}n<m{\text{, o bien }}n=m{\text{ y }}\gamma <\delta$

Esta definición es compatible con la definición por recursión transfinita:

La suma de ordinales $α + () : On \to On$ verifica:

$α + 0 = α$

$α + β' = (α + β)'$

$α + λ = \cup γ < λ (α + γ)$

Esta suma ordinal es asociativa y con elemento neutro ( $α + 0 = 0 + α = α$ ), pero no es conmutativa. Por ejemplo $1 + ω = ω \neq ω + 1$ .

Demostración
En efecto, el ordinal $1 + ω$ es el isomorfo al conjunto $\{0',0,1,2,3,\ldots \}$ donde se ha añadido un único elemento, menor que todos los demás. Es obvio que este conjunto no es más que un «cambio de nombre» de los elementos de $ω$ . Sin embargo, en $ω + 1$ , se considera el ordinal isomorfo a $\{0,1,2,3,\ldots ,0'\}$ donde el nuevo elemento que se añade es mayor que el resto, y en $ω$ no hay elemento maximal.

Producto

Representación visual de $ω 2$ , «omega copias de omega». Cada línea vertical es un ordinal de la forma $ω \cdot m + n$ , es decir, el elemento n-ésimo de la «copia» m-ésima de $ω$ .

De igual modo, para el producto de dos ordinales $α$ y $β$ , se considera una copia de $α$ por cada elemento de $β$ , donde dentro de cada copia se respeta el orden de $α$ , y elementos de distintas copias se ordenan por su «índice» en $β$ . De manera más técnica:

$\alpha \cdot \beta ={\overline {\alpha \times \beta }}$

donde en $α \times β$ se considera el orden dado por:

$(\gamma ,\delta )<(\gamma ',\delta ')\Leftrightarrow {\text{ O bien }}\delta <\delta '{\text{, o bien }}\delta =\delta '{\text{ y }}\gamma <\gamma '$

De nuevo, esta definición es compatible con la definición por recursión transfinita:

El producto de ordinales $α \cdot () : On \to On$ verifica:

$α \cdot 0 = 0$

$α \cdot β' = α \cdot β + α$

$α \cdot λ = \cup γ < λ (α \cdot γ)$

El producto de ordinales es asociativo, con elemento neutro ( $α \cdot1 = 1\cdot α = α$ ) y elemento absorbente ( $α \cdot0 = 0\cdot α = 0$ ), pero de nuevo no es conmutativa: $2\cdot ω = ω \neq ω \cdot2 = ω + ω$ .

Demostración
El ordinal $2\cdot ω$ es el isomorfo al conjunto $\{0,0',1,1',2,2',3,3',\ldots \}$ donde las «copias» van «emparejadas». Es obvio que esto corresponde a un «cambio de nombre» de los elementos de $ω$ . En el caso de $ω \cdot2$ , el conjunto considerado es $\{0,1,2,3,\ldots ,0',1',2',3',\ldots \}$ siendo todos los elementos de la segunda copia mayores que los de la primera. Ningún cambio de nombre en $ω$ puede dar esta estructura (nótese por ejemplo que dentro de $ω \cdot2$ no se da el principio de inducción de los números naturales).

Exponenciación

La exponenciación de números ordinales se define de manera sencilla mediante recursión transfinita:

El ordinal $α β$ (con $α \neq 0$ ) viene dado por:

$\displaystyle \alpha ^{0}=1$

$\alpha ^{\beta +1}=\alpha ^{\beta }\cdot \alpha$

$\alpha ^{\lambda }=\bigcup _{\gamma <\lambda }\alpha ^{\gamma }$

Esta definición es equivalente a otra en términos de conjuntos bien ordenables:

Sean A y B conjuntos bien ordenables con tipo de orden $α$ y $β$ respectivamente. Sea $B A$ el conjunto de funciones de $B$ en $A$ de soporte finito:

$B A = {f : B \to A :$ Las imágenes $f (b)$ distintas de $a 0$ son finitas}

donde $a 0$ es el elemento mínimo de $A$ , y considérese $B A$ ordenado según

$f < g$ si y sólo si $f (b) < g (b)$ , donde $b$ es el máximo elemento de $B$ tal que $f (b) \neq g (b)$

Entonces $B A$ está bien ordenado y su ordinal es $α β$ .

La exponenciación ordinal verifica varias de las propiedades de la exponeciación ordinaria:

\alpha ^{\beta }\cdot \alpha ^{\gamma }=\alpha ^{\beta +\gamma }{\text{ , }}\alpha ^{\beta \cdot \gamma }=(\alpha ^{\beta })^{\gamma }{\text{ , }}1^{\alpha }=1{\text{ , }}\alpha ^{1}=\alpha

La exponenciación ordinal es muy diferente a la cardinal. Por ejemplo, $2 ω = ω$ es numerable (a diferencia de $2 ℵ 0$ ).

Demostración
$ω$ es un ordinal límite, por lo que $2^{\omega }=\cup _{n\in \omega }2^{n}$ La exponenciación ordinal de números naturales coincide con la noción habitual de exponenciación. Por lo tanto, $2 ω$ es el supremo de una sucesión de números naturales, luego ha de ser menor o igual que $ω$ . Pero dicha sucesión no tiene máximo dentro de los números naturales, luego $2 ω$ no puede ser ningún número natural. Por tanto $2 ω = ω$ .

Referencias

Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos, consultado el 23 de abril de 2011 ..
Kunen, Kenneth (1980). Set Theory. An Introduction to Independence Proofs (en inglés). North-Holland. ISBN 0-444-86839-9.

Datos: Q1142215