Conjunto contorno

En matemática, un conjunto contorno generaliza y formaliza las nociones diarias de:

Todo lo superior a algo
Todo lo superior o equivalente a algo
Todo lo inferior a algo
Todo lo inferior o equivalente a algo

Definiciones

Formalmente, dada una relación matemática de pares de elementos de un conjunto $X$ : $\succcurlyeq ~\subseteq ~X^{2}$ y un elemento $x$ de $X$ :

El conjunto contorno superior de $x$ es el conjunto de todos los $y$ que están relacionados con $x$ :

\left\{y~/~y\succcurlyeq x\right\}

El conjunto contorno inferior de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tal que $x$ está relacionado con ellos:

\left\{y~/~x\succcurlyeq y\right\}

El conjunto contorno superior estricto de $x$ es el conjunto de todos los $y$ que están relacionados con $x$ , sin contar el mismo $x$ :

\left\{y~/~(y\succcurlyeq x)\land \lnot (x\succcurlyeq y)\right\}

El conjunto contorno inferior estricto de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tal que $x$ está relacionado con ellos, sin contar aquellos que están relacionados de este modo con el mismo $x$ :

\left\{y~/~(x\succcurlyeq y)\land \lnot (y\succcurlyeq x)\right\}

La expresión formal de las dos últimas definiciones puede simplificarse si definimos la siguiente relación

\succ ~=~\left\{\left(a,b\right)~/~\left(a\succcurlyeq b\right)\land \lnot (b\succcurlyeq a)\right\}

donde $a$ está relacionado con $b$ pero $b$ no está relacionado con $a$ , en cuyo caso el conjunto contorno superior estricto de $x$ es

\left\{y~/~y\succ x\right\}

y el conjunto contorno inferior estricto de $x$ es

\left\{y~/~x\succ y\right\}

Conjunto contorno de una función

En el caso de una función f considerada en términos de la relación $\triangleright$ , la referencia a los conjuntos contornos de la función es implícita a los conjuntos contornos de la relación implicada

(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\triangleright f(b)]

Ejemplos

Aritmética

Dados un número real $x$ y la relación $\geq$ , entonces:

El conjunto contorno superior de $x$ es el conjunto de números que son mayores o iguales a $x$ ,
El conjunto contorno superior estricto de $x$ es el conjunto de números mayores que $x$ ,
El conjunto contorno inferior de $x$ es el conjunto de números menores o iguales a $x$ , y
El conjunto contorno inferior estricto de $x$ es el conjunto de números menores que $x$ .

Considerando la relación más general

(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\geq f(b)]

Entonces

El conjunto contorno superior de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $f(y)\geq f(x)$ ,
El conjunto contorno superior estricto de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $f(y)>f(x)$ ,
El conjunto contorno inferior de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $f(x)\geq f(y)$ , y
El conjunto contorno inferior estricto de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $f(x)>f(y)$ .

Técnicamente hablando también es posible definir conjuntos contornos en términos de la relación

(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\leq f(b)]

aunque tales definiciones tenderían a confundir la comprensión de ellos.

Para una función real f, la referencia a los conjuntos contornos de la función es implícita a los conjuntos contornos de la relación

(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\geq f(b)]

Note que los argumentos de f podrían ser vectores, y que la notación usada podría ser

[(a_{1},a_{2},\ldots )\succcurlyeq (b_{1},b_{2},\ldots )]~\Leftarrow ~[f(a_{1},a_{2},\ldots )\geq f(b_{1},b_{2},\ldots )]

Economía

En economía, el conjunto $X$ puede interpretarse como un conjunto de bienes y servicios o de posibles salidas, la relación $\succ$ como preferencias estrictas, y la relación $\succcurlyeq$ como preferencias débiles. Así,

El conjunto contorno superior de $x$ es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas por lo menos tan deseadas como $x$ ,
El conjunto contorno superior estricto de $x$ es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas más deseadas que $x$ ,
El conjunto contorno inferior de $x$ es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas no más deseadas que $x$ , y
El conjunto contorno inferior estricto de $x$ es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas menos deseadas que $x$ .

Tales preferencias podrían representarse por una función utilidad u, en cuyo caso

El conjunto contorno superior de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $u(y)\geq u(x)$ ,
El conjunto contorno superior estricto de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $u(y)>u(x)$ ,
El conjunto contorno inferior de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $u(x)\geq u(y)$ , y
El conjunto contorno inferior estricto de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $u(x)>u(y)$ .

Complementariedad

Si $\succcurlyeq$ es un ordenación total de $X$ , entonces el complemento del conjunto contorno superior es el conjunto contorno inferior estricto:

X^{2}\backslash \left\{y~/~y\succcurlyeq x\right\}=\left\{y~/~x\succ y\right\}

X^{2}\backslash \left\{y~/~x\succ y\right\}=\left\{y~/~y\succcurlyeq x\right\}

y el complemento del conjunto contorno superior estricto es el conjunto contorno inferior:

X^{2}\backslash \left\{y~/~y\succ x\right\}=\left\{y~/~x\succcurlyeq y\right\}

X^{2}\backslash \left\{y~/~x\succcurlyeq y\right\}=\left\{y~/~y\succ x\right\}

Véase también

Referencias

Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston, y Jerry R. Green; Microeconomic Theory (LCC HB172.M6247 1995), p43. ISBN 0-19-507340-1 (cloth) ISBN 0-19-510268-1 (paper)

Datos: Q1771575