Banaketa binomial

Hiru banaketa binomial desberdin irudikatzen dituen grafikoa. 20 pieza ekoiztuta, izandako pieza akastunen kopuruak (ardatz horizontalean) eta kopuru horri dagokion probabilitateak (zutabeen altuera) zehazten dira. Hiru banaketa binomialak pieza bakoitza akastun izateko p probabilitateaz bereizten dira: banaketa urdinean p probabilitate hori 0.1 da eta beraz 20×0.1=2 da probabilitate handieneko akastun kopurua; banaketa berdean p=0.5 eta beraz 20×0.5=10 da akastun kopuru litekeena da; banaketa gorrian, azkenik, p=0.8 betetzen da.

Probabilitate teorian, banaketa binomiala bai edo ez motako emaitzak (arrakasta edo porrota ere esaten da) izan ditzakeen segida batean, Bernoulli prozesu batean hain zuzen, suertatzen diren baiezko edo arrakastazko emaitzen kopuruaren probabilitate banaketa da. Adibidez, dado bat 8 aldiz botatzerakoan 2 zenbakia atera den aldi kopuruari, jaiotako 200 umeetatik mutiko kopuruari nahiz 20 piezetan pieza akastunen kopuruari buruzko probabilitateak kalkulatzean banaketa binomiala erabiltzen da. Banakuntza binomiala erabiltzeko ezinbesteko baldintza saiakuntza ezberdinen arteko independentzia da, saiakuntza guztietan bai izateko probabilitatea konstantea izatearekin batera. Banakuntza binomialak bi parametro ditu; izan ere, probabilitateak kalkulatzeko aski dira n saiakuntza kopurua eta p aldi bakoitzean arrakasta suertatzeko probabilitatea. Hain zuzen, B(n,p) adierazten da labur banaketa binomiala. Aplikazioei dagokienean, zorizko laginketa itzuleradunean probabilitateak kalkulatzeko oinarria da. Halaber, banaketa binomiala froga binomiala burutzeko erabiltzen da.

Definizioa eta ezaugarriak

Probabilitate-funtzioa

Galtonen taula batean, non aldi bakoitzean ezkerrera (Leon) edo eskubira (Kastillo) egiten den, pilota horia dagoen gelaskan bukatzeko lau ibilbide posibleak, kolore desberdinekin irudikatuta. Banakuntza binomialak gelaska jakin batean amaitzeko probabilitatea kalkulatzen du, aukerako ibilbide bakoitzaren probabilitateak batuz, triangeluen lerro kopuru (n parametroa, alegia) eta triangelu bakoitzean leon edo kastillo egiteko probabilitate finko (p parametroa) jakinetarako.

Banakuntza binomiala, labur $\scriptstyle B(n,p)$ adierazten dena, probabilitate funtzio honi jarraiki banatzen den probabilitate banaketa da, n saiakuntzako Bernoulli prozesu batean, x arrakasta izateko probabilitatea ematen duena, p saiakuntza bakoitzean arrakasta izateko probabilitatea eta $\scriptstyle {n \choose x}$ koefiziente binomiala izanik::

$P(X=x;n,p)={n \choose x}p^{x}q^{n-x}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}p^{x}(1-p)^{n-x}\ \ ;\ \ x=0,1,2,\ldots ,n$

Adibidez, dado baten 4 jaurtiketetan suertatzen diren 2 zenbakien kopurua $\scriptstyle B(n=4,p=1/6)$ banatzen da. 4 jaurtiketa horietan 2 zenbakia hiru aldiz agertzeko probabilitatea honela kalkulatzen da, aldi bakoitzean 2 zenbakia suertatzeko probabilittea 1/6=0.166 izanik:

$P(X=3;4,1/6)={\frac {4!}{3!1!}}{\Bigg (}{\frac {1}{6}}{\Bigg )}^{3}{\Bigg (}{\frac {5}{6}}{\Bigg )}^{1}=0.0154$

Horrela, 4 aldietatik hirutan 2 suertatzea nahiko zaila dela ondoriozta daiteke, 4 jaurtiketako segida guztietatik %1.54tan soilik gertatuko baita.

Banakuntza binomialaren formula jakin gabe ere aise kalkula daiteke eskatutako probabilitatea eta gainera, horrela eginez formularen jatorria atzeman daiteke:

${\begin{array}{rcl}P(X=3;4,1/6)&=&P[(2\cap 2\cap 2\cap {\overline {2}})\cup (2\cap 2\cap {\overline {2}})\cap 2)\cup (2\cap {\overline {2}})\cap 2\cap 2)\cup ({\overline {2}}\cap 2\cap 2\cap 2)]\\&=&{\Big (}{\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{6}}\times {\frac {5}{6}}{\Big )}+{\Big (}{\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{6}}\times {\frac {5}{6}}\times {\frac {1}{6}}{\Big )}+{\Big (}{\frac {1}{6}}\times {\frac {5}{6}}\times {\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{6}}{\Big )}+{\Big (}{\frac {5}{6}}\times {\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{6}}{\Big )}\\&=&4\times {\Big (}{\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{6}}\times {\frac {5}{6}}{\Big )}={\frac {4!}{3!1!}}{\Big (}{\frac {1}{6}}{\Big )}^{3}{\Big (}{\frac {5}{6}}{\Big )}^{1}=0.0154\end{array}}$

Itxaropen matematikoa

B(n,p) banaketa binomialaren itxaropen matematikoa edo batezbestekoa hau da:

$E[X]=np$

Adibidez, dado baten 60 jaurtiketetan suertatzen diren 1 puntuazioen kopurua $\scriptstyle B(n=60,p=1/6)$ banatzen da, eta ondorioz 1 puntuazioen batez besteko kopurua np=60×(1/6)=10 da.

Frogapen luzea

 Jarraian frogapen luzea egiten da itxaropen matematikoaren definizioa eta Newtonen binomioa erabiliz:

${\begin{array}{rcl}E[X]&=&\sum _{x=0}^{n}xp(x)\\&=&0{n \choose 0}q^{n}+1{n \choose 1}pq^{n-1}+2{n \choose 2}p^{2}q^{n-1}+3{n \choose 3}p^{3}q^{n-2}+\ldots +(n-1){n \choose n-1}p^{n-1}q^{1}+n{n \choose n}p^{n}\\&=&{\frac {n!}{1!(n-1)!}}pq^{n-1}+{\frac {2\cdot n!}{2!(n-1)!}}p^{2}q^{n-1}+{\frac {3\cdot n!}{3!(n-3)!}}p^{3}q^{n-3}+\ldots +{\frac {(n-1)\cdot n!}{(n-1)!1!}}p^{n-1}q^{1}+np^{n}\\&=&np{\Bigg (}{\frac {(n-1)!}{1!(n-1)!}}q^{n-1}+{\frac {(n-1)!}{1!(n-2)!}}pq^{n-2}+{\frac {(n-1)!}{2!(n-3)!}}pq^{n-3}+\ldots +{\frac {(n-1)!}{(n-2)!1!}}p^{n-2}q+p^{n-1}{\Bigg )}\\&=&np{\Bigg (}q^{n-1}+(n-1)pq^{n-2}+{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}p^{2}q^{n-3}+\ldots +(n-1)p^{n-2}q+p^{n-1}{\Bigg )}\\&=&np(p+q)^{n-1}\ \ \ ;\ \ \textstyle {Newtonen\ binomioaz}\\&=&np\ \ \ ;\ \ \textstyle {p+q=1\ betetzen\ baita.}\end{array}}$

Frogapen sinplea

 $\scriptstyle Y\sim B(n,p)$ banaketa $\scriptstyle X_{i}\sim b(p)$ motako n banakuntzen batura denez eta azken hauetako bakoitzaren itxaropena p denez (ikus Erlazioak beste banakuntzekin, 2. puntua):

${\begin{array}{rcl}E[Y]&=&E[X_{1}]+E[X_{2}]+\ldots +E[X_{n}]\\&=&p+p+\ldots +p\\&=&np\\\end{array}}$

Bariantza

B(n,p) banaketa binomialaren bariantza hau da:

$var[X]=npq$

Frogapen sinplea

 $\scriptstyle Y\sim B(n,p)$ banaketa $\scriptstyle X_{i}\sim B(n,p)$ motako n Bernoulliren banakuntzen batura denez eta azken hauetako bakoitzaren bariantza pq denez:

${\begin{array}{rcl}var[Y]&=&var[X_{1}]+var[X_{2}]+\ldots +var[X_{n}]\\&=&pq+pq+\ldots +pq\\&=&npq\\\end{array}}$

Frogapen luzea

 Jarraian frogapen luzea egiten da bariantzaren definizioa eta Newtonen binomioa erabiliz.

Alde batetik,

$\sigma ^{2}=E[X^{2}]-E[X]^{2}=E[X(X-1)]+E[X]-E[X]^{2}$

$\scriptstyle E[X(X-1)]$ garatuko da orain:

${\begin{array}{rcl}E[X(X-1)]&=&\sum _{i=0}^{n}x(x-1)p(x)\\&=&\sum _{x=0}^{n}x(x-1){\frac {n!}{x!(n-x)!}}p^{x}(1-p)^{n-x}\\&=&\sum _{x=0}^{n}x(x-1){\frac {n!}{(x-2)!(n-x)!}}p^{x}(1-p)^{n-x}\\&=&\sum _{x=2}^{n}{\frac {n!}{(x-2)!(n-x)!}}p^{x}(1-p)^{n-x}\\&=&n(n-1)p^{2}\sum _{x=2}^{n}{\frac {(n-2)!}{(x-2)!(n-x)!}}p^{x-2}(1-p)^{n-x}\ \ \ (y=x-2;\ m=n-2)\\&=&n(n-1)p^{2}\sum _{y=0}^{m}{\frac {m!}{y!(m-y)!}}p^{y}(1-p)^{m-y}\\&=&n(n-1)p^{2}(p+(1-p))^{m}\\&=&n(n-1)p^{2}\\\end{array}}$

Bariantzara itzuliz eta itaropena np dela kontuan hartuz:

$\sigma ^{2}=E[X(X-1)]+E[X]-E[X]^{2}=n(n-1)p^{2}+np-(np)^{2}=np-np^{2}=np(1-p)=npq$

Moda

Moda, probabilitate handieneko balio moduan definitzen dena, (n+1)p balioa baino txikiagoa edo berdina den zenbaki oso handiena da. (n+1)p balioa zenbaki osoa bada, probabilitate bereko m eta m-1 bi balioak dira probabilitate handienekoak.

Erlazioak beste banakuntzekin

B(n,p) banaketa binomiala p parametriko n Bernoulliren banaketaren batura: irudian ikus daitekeenez, Bernoulliren banaketaren 0/1 (zuri/beltza) emaitzen batura, 6 banaketatarako, 1 (beltza) emaitza p probabilitateaz gertatzen delarik, 6 saiakuntzetan zenbat beltz agertzen diren adierazten du, zeina banaketa binomial bati jarraiki banatzen den.

• Bernoulliren banaketa banaketa binomial bat besterik ez da, n=1 izanik:

$b(p):=B{\big (}1,p{\big )}$

• B(n,p) banaketa binomiala p parametroko n Bernoulliren banakuntzen batura da:

$B(n,p):=\underbrace {b(p)+b(p)+\ldots +b(p)} _{n}$

• Banakuntza binomiala batukortasunez egonkorra da, p parametroa konstantea bada; hots, p parametroko banaketa binomial bi edo gehiagoren batura p banaketa binomial bati jarraiki banatzen da:

$X\sim B{\big (}m,p{\big )};\ Y\sim B(n,p)\rightarrow X+Y\sim B(m+n,p)$

• De Moivre-Laplace teoremaren arabera, n parametroa aski handia bada (n>30 ezarri ohi da), banaketa binomiala oso alboratua ez bada (horretarako, np eta n(1-p) balioak 5 baino handiagoak izatea ezarri ohi da) eta behar bezalako jarraitasun zuzenketa egiten bada, banaketa normala erabil daiteke probabilitate binomialen hurbilketarako:

$B(n,p)_{n\rightarrow \infty }\approx N{\big (}\mu =np,\ \sigma ={\sqrt {np(1-p)}}{\big )}$

• Banakuntza binomiala Poissonen banaketara hurbiltzen da, n saiakuntza kopurua infiniturantz doanean, np biderkadura konstante mantentzen bada. Zehatzago, B(n,p) banaketa bateko hurbilketa gisa λ=np parametroko Poissonen banaketa erabil daiteke, n aski handia eta p aski txikia bada:

$B(n,p)_{(n\rightarrow \infty ,\ p\rightarrow 0,\ np\rightarrow \lambda )}\approx P(\lambda =np)$

n ≥ 20 eta p ≤ 0.05 balioetarako zehaztasun onargarriko hurbilketatzat jo ohi da.

Kanpo estekak

• (Ingelesez) Banakuntza binomialaren probabilitateetarako online kalkulagailua.
• Prozesu binomialak, Gizapedian.

• Datuak: Q185547
• Multimedia: Binomial distributions / Q185547