Geodesikoak erlatibitate orokorrean

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$

Erlatibitate orokorrean, geodesiko batek adierazten duena "lerro zuzena" kontzeptua da, baina espazio-denbora kurbatu batean. Adibidez, kanpoko indar ez grabitazionalen eraginik jasaten ez duen partikula baten mundu lerroa geodesiko mota bat da. Beste era batean esanda, partikula aske bat edo erorketa askean dagoen partikula bat geodesikobatean zehar higituko da.

Erlatibitate orokorrean, grabitatea ez da indar bat bezala definitzen, baizik eta espazio-denbora kurbatuaren geometriaren ondorio bat bezala, non kurbatura honen iturria energia-momentu tentsorea den (tentsorea materiaren adierazpena delarik). Honela, adibidez, izar baten inguruan orbitatzen ari den ibilbidea izarraren inguruan sortzen den lau dimentsioko (4-D) espazio-denbora kurbaturaren geometriaren geodesikoaren proiekzioa izango da hiru dimentsioko (3-D) espazioan.

Geometria metrikoa

Geometria metrikoan, geodesika distanzia lokalki minimizatzen duen kurbari deritzo. Formalki, I zenbaki errealen multzo batetik M espazio metrikora doan γ: I → M kurba geodesikoa izango da v ≥ 0 konstante bat existitzen bada, zeinentzat t ∈ I-ren hurbileko J ingurune bateko edozein t₁, t₂ ∈ J hartuz

$d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=v\left|t_{1}-t_{2}\right|$

betetzen den.

Honek geodesiken kontzeptua orokortzen du riemanndar barietateentzat. Hala ere, geometria metrikoan geodesiko batek parametrizazio naturala izan ohi du, hau da, aurreko formulan v = 0 aukera daiteke eta ondorioz

Intsektu bat gainazal batean jartzen bada eta "aurrerantz" mugitzen bada geodesiko bat marraztuko du definizioz.

$d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=\left|t_{1}-t_{2}\right|.$

Azken berdintza hau edozein t₁, t₂ ∈ J-rentzat betetzen bada, geodesikoari geodesiko minimizatzaile edo bide laburrena ere deitzen zaio.

Orokorrean, espazio metriko batek ez du zertan geodesikorik izan kurba konstanteez gain.

Adibideak

Adibiderik ezagunenak, geometria euklidearreko zuzenak dira. Esfera batean, zirkulu nagusiak geodesikoak dira. Esfera batean A puntutik B puntura mugitzeko biderik laburrena bi puntu hauetatik igarotzen den zirkulu nagusiaren arkuak ematen du. Bi puntu hauek antipodalak badira, orduan infinitu bide laburren daude haien artean. Elipsoide batean geodesikoen portaera konplexuagoa da eta orokorrean ez dira itxiak.

Adierazpen matematikoa

Geodesikoaren ekuazio osoa

${d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}+\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=0\$

da, non s higiduraren parametro eskalarra den ( adib. denbora propioa), eta $\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }$ Christoffelen ikurrak ( batzutan Levi-Civita konexioaren koefizienteak edo konexio afinaren koefizienteak deituak) diren, beheko bi indizeetan simetrikoak direlarik. Indize grekoek hurrengo balioak har ditzateke: 0, 1, 2, 3 eta Einsteinen notazioa erabiltzen da $\alpha$ eta $\beta$-ren balio errepikatuentzat. Ekuazio honen ezkerreko adierazpenak partikularen azelerazioari dagokio; beraz, ekuazio hau Newtonen higidura legeen parekoa da, izan ere Newtonen higidura ekuazioak partikula baten azelerazioaren formula ematen baitu. geodesikoaren ekuazioak Einstein-en notazioa darabil, hau da, indize errepikatuak batu egiten dira (adib. zerotik hirura). Christoffel-en ikurrak, bestetik, espazio-denborako lau koordenatuen funtzioak dira, eta beraz, geodesikoaren ekuazioak deskribatzen duen higidurari dagokion proba partikularen azelerazioarekiko, abiadurarekiko edo beste edozein ezaugarriekiko independenteak izango dira.

Geodesiko motak

Higitzen ari den partikula aske baten ibilbidearen ekuazioaren adierazpena hurrengoa da:

$u''+u={\frac {3}{2}}r_{S}u^{2}+\alpha {\frac {c^{2}r_{S}}{2h^{2}}}$

Ekuazio honen soluzio orokorra funtzio eliptikoen bidez idatz daiteke, baina α-ren balio desberdinak aztertuz, geodesiko mota desberdinak lor ditzakegu. Bestetik, ekuazio honen emaitzaren baliokidea teoria newtondarrean Bineten formula izango litzateke.

Argi motako geodesikoak

Argi motako geoesikoak masa gabeko partikula baten higidura deskribatzen duen geodesikoa izango da hain zuzen ere, α=0 egiten delarik. Horrela, hurrengo ekuazioa izango dugu:

$u''+u={\frac {3}{2}}r_{S}u^{2}$

Argi motako geodesikoen kasuan, bi efektu aurki daitezke: gorriranzko lerrakuntza grabitatorioa eta argiaren desbideratzea.

Denbora motako geodesikoak

Denbora motako geodesikoak berriz, masa nulua ez duen edozein partikularen geodesikoa izango da, non, kasu honetan, α=1 egiten den, beheko ekuazioa lortuz:

$u''+u={\frac {3}{2}}r_{S}u^{2}+{\frac {c^{2}r_{S}}{2h^{2}}}$

Denbora motako geodesikoetan, bestetik, giroskopioen prezesio geodesikoa eta perihelioaren aurreratzea (Merkurioren kasua, adibidez) aurkitzen ditugu.

Denboraren koordenatua parametro bezala erabiliz baliokidea den adierazpen matematikoa

Orain arte aztertu den geodesikoaren higidura ekuazioa s parametro eskalarraren arabera adierazi da. Halaber, denboraren koordenatuaren arabera idatz daiteke ere bai, $t\equiv x^{0}$ hain zuzen ere (barra hirukoitza erabili da definizio bati dagokiola zehazteko). Beraz, geodesikoaren higidura ekuazioa hurrengo moduan geldituko da:

${d^{2}x^{\mu } \over dt^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}+\Gamma ^{0}{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}{dx^{\mu } \over dt}\ .$

Formulazio hau erabilgarria izan daiteke ordenagailu bidezko kalkuluak egiteko eta baita Erlatibitate Orokorra Newtonen Grabitazioarekin konparatzeko ere.

Berehalakoa da aurreko adierazpena lortzea, denbora propioa parametro moduan erabiltzen duen geodesikoaren ekuaziotik abiatuz katearen erregela erabiltzen bada. Ohartu azkeneko ekuazioaren bi aldeak joan egiten direla μ indizea zero egiten bada. Bestalde, partikularen abiadura txikia bada, geodesikoaren ekuazioa hurrengo adierazpenera murriztuko da:

${d^{2}x^{n} \over dt^{2}}=-\Gamma ^{n}{}_{00}.$

Ekuazio honetan n indizeak [1,2,3] balioak hartzen ditu. Ekuazio honek proba partikula guztiek leku eta denbora jakin batean azelerazio bera izango dutela adierazten du, Newtonen grabitatearen ezaugarri ezagunenetako bat hain zuzen ere. Adibidez, ISS-aren inguruan flotatzen ari den edozer gauza geltoki honen azelerazio bera izango du, grabitatearen eraginez.

Baliokidetasun printzipiotik zuzeneko ondorioztapena

Steven Weinberg fisikariak baliokidetasun printzipiotik zuzenean lortutako geodesikoaren higidura ekuazioaren deribazioa aurkeztu du. Emaitza horretara iristeko eman beharreko lehenengo urratsa hurrengoa da: suposatu behar da erorketa askean dagoen partikula batek ez duela inguruko gertaera punturik azeleratzen, aske erortzen ari den koordenatu sistemarekiko ($X^{\mu }$). $T\equiv X^{0}$ finkatuz, erorketa askean lokalki aplikatu daitekeen hurrengo ekuazioa lortuko da:

${d^{2}X^{\mu } \over dT^{2}}=0$

Hurrengo urratsa dimentsio anitzetarako katearen erregela aplikatzea izango da:

${dX^{\mu } \over dT}={dx^{\nu } \over dT}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}$

Adierazpen hau berriro ere denborarekiko deribatuz:

${d^{2}X^{\mu } \over dT^{2}}={d^{2}x^{\nu } \over dT^{2}}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}+{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}$

Beraz,

${d^{2}x^{\nu } \over dT^{2}}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}=-{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}$

Ekuazioko bi aldeak azpian adierazten den kantitateagatik biderkatuz gero,

${\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}$,

bukaerako adierazpen hau lortzen da:

${d^{2}x^{\lambda } \over dT^{2}}=-{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}\left[{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}\right]$

Kontuan hartuz Christoffel-en ikurrak desagertu egiten direla eta hurrengo adierazpena erabiliz,

$\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \alpha }=\left[{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}\right]$

lortzen den ekuazioa

${d^{2}x^{\lambda } \over dT^{2}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}$

da. Behin katearen erregela aplikatuz:

${d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}\left({\frac {dt}{dT}}\right)^{2}+{dx^{\lambda } \over dt}{\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}\left({\frac {dt}{dT}}\right)^{2}$

${d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}+{dx^{\lambda } \over dt}{\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}\left({\frac {dT}{dt}}\right)^{2}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}$

Hasieran bezala, $t\equiv x^{0}$ definitu daiteke. Ondoren, $x^{0}$-ren lehenengo deribatua t parametroarekiko 1 izango da, eta bigarren deribatua, ondorioz, 0. Orduan, λ zero balioagatik ordezkatuz:

${\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}\left({\frac {dT}{dt}}\right)^{2}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{0}{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}$

Azkenik, geodesikoaren higidura ekuaziora iristeko falta den azken urratsa$dx^{\lambda } \over dt$aurreko ekuazioan biderkatzea izango da, azken adierazpen hau lortuz:

${d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}+\Gamma _{\nu \alpha }^{0}{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\lambda } \over dt}$

Ekuazio hau, hain zuzen ere, geodesikoaren higidura ekuazioaren adierazpenetako bat da (denbora koordenatua parametro bezala erabiliz).

Halaber, geodesikoaren higidura ekuazioa garraio paraleloaren kontzeptua aplikatuz lor daiteke.

Geodesikoaren ekuazioaren ondorioztapena akzio printzipioa erabiliz

Geodesikoaren hidigudura ekuaziora iristeko ohikoa den teknika akzio printzipioa erabiltzea da. Azter bedi aldibereko bi gertaera desberdinen geodesikoak.

Akzioaren adierazpena, S, hurrengoa izango da:

$S=\int ds$ ,

non $ds={\sqrt {-g_{\mu \nu }(x)\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}}$ desplazamendu infinitesimalaren bektorea den. Kurba denbora-motakoa denez, erroaren barnean ikur negatiboa jarri behar da, balio erreala lortu ahal izateko. S-ren adierazpenetik geodesikoaren ekuazioa lortzeko, akzioa $\lambda$-rekiko parametrizatuko da:

$S=\int {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}\,d\lambda$

Ondoren, akzio minimoaren printzipioa aplikatuz eta akzioa $x^{\mu }$ kurbarekiko diferentzialki aldatuz:

$0=\delta S=\int \delta \left({\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}\right)\,d\lambda =\int {\frac {\delta \left(-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}\right)}{2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}}}d\lambda$

Produktuaren erregela erabiliz:

$0=\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\delta g_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}+g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {d\delta x^{\nu }}{d\lambda }}\right)\,d\lambda =\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }+2g_{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)\,d\lambda$

non ${\frac {d\tau }{d\lambda }}={\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}$ den.

Aurreko ekuazioa pixkat sinplifikatuz eta $-{\frac {1}{2}}$ faktoreagatik biderkatzen bada, gelditzen den ekuazioa hurrengoa da:

$0=\int \left(g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)\right)\delta x^{\mu }\,d\tau$

Azkenik, Hamiltonen printzipioa erabiliz, Euler-Lagrangeren ekuazioa lortuko da, eta hau $g_{\mu \nu }$ tentsore metrikoagatik biderkatuz:

${\frac {d^{2}x^{\beta }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}g^{\mu \beta }\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right){\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=0$

Ekuazio hau aztertuz, ikus daiteke geodesikoaren ekuazioaren antzekoa dela; eta hain zuzen ere geodesikoaren ekuazioa da, baina kasu honetan Christoffel-en ikurra tentsore metrikoaren arabera agertzen da inplizituki, izan ere:

$\Gamma ^{\beta }{}_{\alpha \nu }={\frac {1}{2}}g^{\mu \beta }\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)$

Eta beraz, bukaeran gelditzen zaigun ekuazioa,

${\frac {d^{2}x^{\beta }}{d\tau ^{2}}}+\Gamma ^{\beta }{}_{\alpha \nu }{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=0$,

geodesikoaren ekuazioa da hain zuzen ere.

(Oharra: Kasu honetan denbora motako gertaerak erabili dira, baina emaitza berdintsua lortuko da espazio-motakoak edo argi-motakoak erabiliz gero.)

Espazio hutsarentzat eremu ekuazioek jarraitu dezaketen higidura ekuazioa

Albert Einstein fisikiariak uste zuen geodesikoaren higidura ekuazioa espazio hutsa deskribatzen duten eremu-ekuazioetatik lor zitekeela. Adibidez, Ricci-ren kurbadura desagertzen delaren inguruan hurrengo baieztapena idatzi zuen:

Frogatu da higiduraren legea — hautazko masa grabitatorio handien kasura orokortuta— espazio hutsa deskribatzen duten eremu-ekuazioetatik lor daitekeela. Ondorioztapen honen arabera, higiduraren legea beteko da, eremua, eremu bera sortzen duen masaren inguruko edozein puntutan, bakarra bada.

eta

Grabitazioaren erlatibitate teoria originalak zuen inperfekzioetako bat eremu teoria osatu gabe egotea zen; honek, geodesikoaren higidura ekuazioaren bidez partikula batek jarraitzen duen higiduraren legea zehazten zuen postulatua aurkeztea ahalbidetu zuen.

Eremu teoria osatu batek ez ditu partikula eta higidura kontzeptuak ezagutzen, baizik eta eremu kontzeptua soilik. Horregatik, bi kontzeptu hauek ez dira eremutik deberdindu behar, baizik eta eremuaren parte bezala kontsideratu behar dira.

Singularitaterik gabeko partikula baten deskribapenean oinarrituz, batek logikoki zuzenagoa den problemaren konbinazio bat zehaztu dezake: Eremuaren eta higiduraren problema bat etortzea.

Bai fisikiariek eta baita filosofoek ere behin baino gehiagotan planteatu dute geodesikoaren ekuazioa singularitate grabitazionalaren higidura deskribatzen duen higiduraren eremu ekuazioetatik lor daitekeela, baina oraindik baieztapen hau eztabaidagarria da. Bestalde, eztabaida gutxiago sortzen du eremu ekuazioek fluido edo hautsaren higidura ekuazioa definitzen dutelaren baieztapena, singularitate-puntuaren hididuratik bereizten direlarik.

Partikula kargatuaren kasua

Geodesiken ekuazioa baliokidetasun printzipiotik ondorioztatzean suposatu dugu partikulek sistema inertzial lokal batean azeleraziorik ez dutela. Errealitatean, aldiz, gerta daiteke partikulek karga izatea eta ondorioz, azelerazio lokal bat jasatea Lorentz-en indarraren bitartez. Hori da:

${d^{2}X^{\mu } \over ds^{2}}={q \over m}{F^{\mu \beta }}{dX^{\alpha } \over ds}{\eta _{\alpha \beta }}.$

eta

${\eta _{\alpha \beta }}{dX^{\alpha } \over ds}{dX^{\beta } \over ds}=-1.$

Minkowski-ren tentsorea ${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }}$ ondokoa izanik:

${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

Azken hiru ekuazio hauek abiapuntutzat har daitezke erlatibitate orokorreko higidura-ekuazio bat lortzeko, erorketa askean azelerazioa nulua dela suposatu beharrean. Minkowski-ren tentsorea erabili dugunez, beharrezkoa da tentsore metriko izeneko objektua aurkeztea erlatibitate orokorrean. g tentsore metrikoa simetrikoa da, eta lokalki Minkowski-ren tentsore bilakatzen da erorketa askean. Era honetan lortutako higidura-ekuazioa ondokoa da:

${d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}\ +{q \over m}{F^{\mu \beta }}{dx^{\alpha } \over ds}{g_{\alpha \beta }}.$

eta

${\eta _{\alpha \beta }}{dX^{\alpha } \over ds}{dX^{\beta } \over ds}=-1.$

Azken ekuazioaren esanahia da partikula denbora-motako geodesikoan zehar mugitzen dela; masagabeko partikulek, fotoiak esaterako, argi-motako geodesikoak jarraitzen dituzte (azken ekuazioaren eskumaldeko -1 zenbakia zero batez ordezkatu beharko genuke). Garrantzitsua da azken bi ekuazioak bateragarriak direla ikustea. Haietariko azkena denbora-propioarekiko deribatuz eta Christoffel-en ikurrekin lotutako ondorengo formula erabiliz, bateragarritasuna bermatzen da:

$\Gamma ^{\lambda }{}_{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}g^{\lambda \tau }\left({\frac {\partial g_{\tau \alpha }}{\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial g_{\tau \beta }}{\partial x^{\alpha }}}-{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial x^{\tau }}}\right)$

Ekuazio honek ez du eremu elektromagnetikoen inolako menpekotasunik eta erabilgarria da eremu horiek desagertzen diren limitean. Goiindizeak dituen g letra tentsore metrikoaren alderantzizkoa da. Erlatibitate orokorrean, tentsoreen indizeak igo eta jaitsi daitezke kontrakzioak erabiliz.

Geodesikoak espazio-denbora tarte geldikortzat

Bi gertaeren arteko geodesikobi gertaera horiek lotzen dituen espazio-denbora tarte (4 dimentsioko espazioko "luzera") geldikorreko kurba bat bezala deskribatu daiteke. Kasu honetan, geldikorra izateak esan nahi du espazio-denbora tarteak aldaketa minimoa duela kurban zehar geodesikotik hurbil dauden kurba guztien artetik.

Minkowski-ren espazioan geodesiko bakarra dago bi edozein gertaera lotzen dituena, eta denbora-motako geodesikobada, kurba honek bi gertaeren arteko denbora propio maximoa izango du. Espazio-denbora kurbatuan, posible da nahiko aldenduak diren bi gertaerentzat denbora-motako geodesikobat baino gehiago izatea. Halakoetan, geodesikoezberdinetan zeharreko denbora-propioek ez dute zertan berdinak izan. Gainera, espazio kurbatuetan gerta daiteke geodesikoaren hurbileko kurba batek denbora-propio luzeago edo laburragoa izatea.

Espazio-motako geodesikoen kasuan denbora-propio luzeagoa zein laburragoa duten kurbak daude haiengandik hurbil, baita Minkowski-ren espazioan ere. Espazio honetan, geodesikoa lerro zuzena izango da. Geodesikoarekiko espazialki ezberdina den edozein kurba, hau da, denboraren koordenatu berdina duena, hark baino luzera-propio luzeagoa izango du. Denboralki ezberdina den batek, aldiz, luzera-propio laburragoa izango du.

Kurba baten espazio-denborako tartea da,

$l=\int {\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}\,ds\ .$

Bestalde, Euler-Lagrange ekuazioa,

${d \over ds}{\partial \over \partial {\dot {x}}^{\alpha }}{\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}={\partial \over \partial x^{\alpha }}{\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}\ ,$

landuz honakoa bihurtzen da,

non $U^{\mu }={\dot {x}}^{\mu }.$

s parametroa afina aukeratzen bada, orduan aurreko ekuazioaren eskumako zatia desagertzen da $U_{\nu }U^{\nu }$ konstantea delako. Azkenik, hauxe dugu geodesiken ekuazioa

$\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+{\ddot {x}}^{\lambda }=0\ .$

Kanpo estekak

• Datuak: Q5533988