Noppa

Erilaisia noppia, joista kaksi etummaisinta ovat arpakuutioita.

Noppa on geometrinen esine, jota käytetään arpomistarkoituksessa esimerkiksi peleissä. Nopalla on tietty määrä tasaisia pintoja, joista jonkin varaan noppa asettuu heitettäessä. Tietty asento vastaa jotakin tulosta, joka on useimmiten luku. Yleisin on kuusisivuinen, kuution muotoinen arpanoppa eli arpakuutio.

Nopan historiaa

Astragaloi-luunoppia.

Noppien oletetaan olevan peräisin Lähi-idästä. Vanhimpia tunnettuja on mesopotamialaisesta haudasta löydetty noppa 2300-luvulta eaa. Nopan eräitä kantamuotoja olivat ennustamiseen käytetyt, eläinten nivelistä tehdyt nelisivuiset luunopat, kreikaksi astragaloi (αστραγάλους). Niiden sivujen arvot olivat 1, 3, 4 ja 6. Roomalaiset käyttivät kahta noppatyyppiä, isompaa nelisivuista nimeltään tali ja pienempää kuusitahkoista, jonka nimi oli tessera.

Noppien käyttäytyminen kiinnosti pelaajien ja ennustajien lisäksi tutkijoita. Galileo Galilei kirjoitti vuosien 1613–1623 välillä tutkielman Sopra le Scoperte dei Dadi ("Noppia koskevia löydöksiä"). Galilein tutkielman kirjoitusaikoihin syntynyt Blaise Pascal (1623–1662) tutki nopanheittoon liittyviä ilmiöitä Antoine Gombaudin (Chevalier de Méré) ehdotuksesta. Gombaud oli innokas Sonnes-pelin harrastaja. Pascal esimerkiksi osoitti tässä pelissä tärkeiden tuplakuutosten todennäköisyyden 25 heitolla olevan 0,5054. Aihepiiriä käsiteltiin Pascalin ja Pierre de Fermat’n välisessä kirjeenvaihdossa.

Nopan ominaisuuksia

Kunnollinen noppa on muotoiltu ja tasapainotettu niin, että sillä on periaatteessa yhtä suuri mahdollisuus pysähtyä mihin tahansa sille mahdolliseen asentoon. Tällaista noppaa heitettäessä se pysähtyy lopulta oletettavasti satunnainen puoli ylöspäin, jolloin ylöspäin jäänyt puoli määrittää nopanheiton tuloksen. Noppien sivut on yleensä numeroitu niin, että vastakkaisten sivujen summa on sama, esimerkiksi tavallisen kuusisivuisen nopan vastakkaisten sivujen summa on aina seitsemän – silmäluvut on aseteltu näin ainakin antiikista saakka.

Yleisimmin nopat on valmistettu muovista, puusta tai muusta kestävästä kovasta aineesta. Hienoja tehdään esimerkiksi marmorista ja norsunluusta historiallisesti. Ne voivat olla värjättyjä sekä merkittyjä monin eri tavoin. Vedonlyönnissä kolikkoa voidaan pitää 2-sivuisena noppana. Yleisesti käytettyjen kuusisivuisten lisäksi on olemassa esimerkiksi myös 4-, 8-, 10-, 12-, 20-, 24-, 30-, 60- ja jopa 120-sivuisia noppia. Niitä käytetään erityisesti roolipeleissä. Erityistapaukseksi on kehitty noppapeli Heitä sikaa.

Noppa roolipeleissä

Roolipeleissä noppiin usein viitataan muodossa d nopan sivujen lukumäärä, ja nopanheitot merkitään usein muotoon noppien määrä d nopan sivujen lukumäärä. Esimerkiksi kuusisivuinen noppa on d6, ja merkintä 2d6 tarkoittaa, että kahden kuusivuisen nopan heiton tulokset lasketaan yhteen, tuloksena luku välillä 2—12. Kirjain d viittaa englannin kielen sanaan die ’noppa’. Suosittu roolipelijärjestelmä d20 System ottaa nimensä 20-sivuisesta nopasta, jota järjestelmässä käytetään varsin usein. Joissakin roolipelien suomenkielisissä käännöksissä käytetään toisinaan d:n tilalla kirjainta n. Jotkin pelit käyttävät puolestaan isoja kirjaimia (esimerkiksi "D6").

Nopanheiton matematiikka

Paschier Joostens, De Alea, 1642

1. Tarkasteltaessa arpakuution heittoa matemaattisesti satunnaisilmiönä on yleensä lähtökohtana, että tulosmahdollisuudet (silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5, 6) ovat symmetrisiä alkeistapauksia, eli että yhdessä heitossa kunkin silmäluvun esiintymistodennäköisyys on 1/6.

2. Heitettäessä arpakuutiota kaksi kertaa todennäköisyys saada molemmilla kerroilla kuutonen on 1/36. Todennäköisyys saada yksi kuutonen on 10/36 ja todennäköisyys, että saadaan vähintään yksi kuutonen, on 11/36.

3. Arpakuutiota on heitettävä vähintään neljä kertaa, ennen kuin on suurempi todennäköisyys esim. kuutosen esiintymiselle vähintään kerran verrattuna tapaukseen, jossa se ei esiinny kertaakaan. Todennäköisyys saadaan kaavasta

$1-\left({5 \over 6}\right)^{4}\approx 0{,}518$

Tätä ongelmaa pohti jo 1600-luvulla Chevalier de Méré. Heitettäessä kahta arpakuutiota ja tarkasteltaessa vastaavasti kuutosparin esiintymistä vanha uhkapelurien sääntö johti tulokseen 24 heittoa. Todellisuudessa todennäköisyys jää vajaaksi

$1-\left({35 \over 36}\right)^{24}\approx 0{,}491$

ja vasta 25. heitto johtaisi pitkällä aikavälillä voittoon mahdollisessa vedonlyönnissä kuutosparin esiintymisen puolesta. Ongelman ratkaisemiseksi de Méré kääntyi Blaise Pascalin puoleen.

4. Lasketaan todennäköisyys, että heitettäessä arpakuutiota n kertaa suurin esiintyvä silmäluku on m. Tulosmahdollisuuksia on kaikkiaan $6^{n}$. Perusjoukkoa pitää rajoittaa, koska alkeistapaukset m+1, m+2, ... 6 ovat nyt kiellettyjä. Sallittuja tapauksia on siis $m^{n}$. Edelleen vaaditaan, että silmäluvun m on esiinnyttävä vähintään kerran. Tämä saadaan sen tapauksen komplementtina, että m ei esiinny kertaakaan. Viimeksi mainitun tapauksen todennäköisyys on $(m-1)^{n}/m^{n}$. Kaiken kaikkiaan saadaan tulokseksi todennäköisyys

$P={m^{n}\left(1-{(m-1)^{n} \over m^{n}}\right) \over 6^{n}}={m^{n}-(m-1)^{n} \over 6^{n}}$

Erityisesti, jos n = 1, niin P = 1/6. Jos m = 1, niin P $={1 \over 6^{n}}$. Tämä vastaa tapausta, jossa kaikilla heitoilla saadaan ykkönen.

5. Kahta arpakuutiota heitettäessä silmälukujen summan todennäköisin tulos on 7, kuten nähdään alla olevasta taulukosta. Tuloksen todennäköisyys on 6/36 = 1/6. Tulos 7 on myös summien keskiarvo. Summan jakaumafunktio muistuttaa jo hieman normaalijakaumaa ja sitä paremmin, jos tarkastellaan kahta useamman nopanheiton summaa.

Kahden nopanheiton summa  6  7  8  9 10 11 12  5  6  7  8  9 10 11  4  5  6  7  8  9 10  3  4  5  6  7  8  9  2  3  4  5  6  7  8  1  2  3  4  5  6  7  1  2  3  4  5  6

Kahden nopanheiton summan jakauma  6                                5                                4                                3                                2                                1                                   2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12

6. Heittosarja 1121314151622324252633435364454655661 on esimerkki mahdollisimman lyhyestä ketjusta (37 heittoa), joka sisältää kaikki 36 kahden peräkkäisen heiton tulosmahdollisuudet.

7. Tarkastellaan seuraavaksi todennäköisyyttä, että arpakuution heittosarjassa on esiintynyt tietty määrä erilaisia silmälukuja. Olkoon yleisessä satunnaisprosessissa M yhtä todennäköistä tulosmahdollisuutta. Tarkastellaan toistokokeen n:ttä koetta ja todennäköisyyttä, että koesarjassa on tällöin esiintynyt m erilaista tulosta. Kyseiseen tilaan on voitu päätyä kahta tietä: 1. Edeltävissä kokeissa on jo esiintynyt vaadittu määrä m. Tällöin nykyisessä kokeessa suotuisia tulosvaihtoehtoja on m, eli ne jotka ovat jo esiintyneet. 2. Edeltävissä kokeissa on esiintynyt m – 1 tulosvaihtoehtoa. Tällöin nykyisessä kokeessa on saatava uusi tulos, eli suotuisia vaihtoehtoja on M – (m –1) = M – m + 1. Yhdistämällä tapaukset voidaan kirjoittaa differenssiyhtälö

L(n, m) = m L(n – 1, m) + (M – m + 1) L(n – 1, m – 1)

joka ilmoittaa, kuinka monta suotuisaa tulosvaihtoehtoa on tapaukselle, että kokeen n jälkeen on havaittu m erilaista tulosta. Vastaava todennäköisyys saadaan jakamalla lukumäärä L(n, m) kaikkien mahdollisten tulosvaihtoehtojen määrällä Mⁿ eli sarakkeella n olevien lukujen summalla. Alla oleva taulukko kuvaa nopanheittoa, jossa on 6 erilaista tulosvaihtoehtoa. Laskennan alkuarvo on L(1, 1) = 6.

m	uusi luku (kelt.) saadaan kahdesta aikaisemmasta (sin.)
6						720	15120	191520
5					720	10800	100800	756000
4				360	3600	23400	126000	612360
3			120	720	3000	10800	36120	115902
2		30	90	210	450	930	1890	3810
1	6	6	6	6	6	6	6	6
	1	2	3	4	5	6	7	8	n

Jatkamalla taulukon laskemista todetaan, että heittokierroksella 13 sellaisten tulosten lukumäärä, joilla kaikki silmäluvut ovat esiintyneet, on 6 711 344 640. Tulosmahdollisuuksia on kaiken kaikkiaan 6¹³ ja tämä on heittosarjassa ensimmäinen kerta, kun todennäköisyys saada kaikki silmäluvut on suurempi kuin 0,5.

Samantapaista ongelmaa voidaan tarkastella hieman toisin. Oletetaan, että arpakuution heittosarjassa vielä esiintymättömiä tuloksia on m. Todennäköisyys saada seuraavalla heitolla uusi arvo on m:M, missä M = 6. Mutta tämä todennäköisyys voidaan tulkita jäljellä olevien arvojen keskimääräiseksi vähenemiseksi, jolloin voidaan kirjoittaa differenssiyhtälö

$m(n)=m(n-1)-{m(n-1) \over M}={5 \over 6}m(n-1)$

Tästä saadaan

$m(1)={5 \over 6}m(0)={5 \over 6}6=5;m(2)={5 \over 6}m(1)={5 \over 6}5={25 \over 6}\approx 4{,}2;m(3)={5 \over 6}m(2)={5 \over 6}{25 \over 6}\approx 3{,}5$

ja yleisesti

$m(n)=\left({5 \over 6}\right)^{n}6$

joka on esimerkki eksponentiaalisesta vähenemisestä.

 

Lähteet

• Hald, Anders: A history of Probability and Statistics and Their Applications before 1750. Wiley, 2003. ISBN 978-0-471-47129-5 (englanniksi)
• Juve, Yrjö: Todennäköisyyslaskennan alkeita. s. 12–14. (Erikoiskurssi matemaattista linjaa varten. Viides painos) Helsinki: Kirjayhtymä, 1971.
• Peterson, Ivars: Satunnaisuuden viidakot. (Alkuteos: The Jungles of Randomness (1998)) Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Terra Cognita, 1998. ISBN 952-5202-17-8
• Shea, William R.: Designing Experiments and Games of Chance: The Unconventional Science of Blaise Pascal. Science History Publications, 2008. ISBN 978-0-88135-377-8 (englanniksi)

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Noppa Wikimedia Commonsissa

Kirjallisuutta

• Taber, Donald, Miles, Rodney & Morrison, Sherman: The Secret History of Dice: From Ancient to Modern Times. Createspace Independent (omakustanne), 2014. ISBN 978-1-4997-5303-5 (englanniksi)