Ryhmä (algebra)

D6-ryhmän ryhmädiagrammi.

Ryhmä on tärkein yhden joukon ja yhden laskutoimituksen muodostama algebrallinen rakenne. Joukon on oltava laskutoimituksen suhteen suljettu siten, että laskutoimituksen tulos kuuluu samaan joukkoon, laskutoimitus on liitännäinen (mutta ei välttämättä vaihdannainen), laskutoimituksella on neutraalialkio ja jokaisella joukon alkiolla on käänteisalkio. Tyyppiesimerkki ryhmistä on kokonaisluvut ja yhteenlasku, jossa neutraalialkio on nolla ja käänteisalkio vastaluku.

Ryhmiä itsessään tutkiva matematiikan ala on ryhmäteoria. Toisaalta ryhmä on algebran peruskäsite, joka toimii "rakennuspalikkana" määriteltäessä sellaisia matematiikan rakenteita kuten rengas ja kunta.

Formaali määritelmä

Ryhmä tarkoittaa epätyhjää joukkoa $G$, jossa on määritelty binäärioperaatio $\circ$ ja joka toteuttaa seuraavat ehdot:

1. Operaatio $\circ$ on suljettu joukossa $G$: kaikilla alkioilla $a,b\in G$ siten, että alkio $a\circ b\in G$.
2. Operaatio on liitännäinen: kaikilla alkioilla $a,b,c\in G$ siten, että $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$.
3. Neutraalialkio on olemassa: kaikille alkioille $a\in G$ on olemassa alkio (neutraalialkio) $e\in G$ siten, että $e\circ a=a\circ e=a$.
4. Joukossa on sen jokaiselle alkiolle käänteisalkio: kaikille alkioille $a\in G$ siten, että on olemassa alkio (käänteisalkio) $a^{-1}\in G$ siten, että $a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$.

Jos lisäksi on voimassa kaikilla alkioilla $a,b\in G$ siten, että $a\circ b=b\circ a$, sanotaan, että ryhmä on kommutatiivinen eli vaihdannainen. Kommutatiivista ryhmää kutsutaan nimellä Abelin ryhmä.

Ryhmä merkitään joko $(G,\circ )$ tai $\langle G,\circ \rangle$.

Suhde muihin rakenteisiin

Monoidi on määritelmän ehdot 1-3 täyttävä rakenne, joten ryhmä voidaan määritellä monoidiksi, jossa jokaisella alkiolla on käänteisalkio. Yhtäpitävästi ryhmä voitaisiin määritellä myös luupiksi, jonka laskutoimitus on liitännäinen.

Merkintöjä

Ryhmäteoriassa käytetään myös seuraavia merkintöjä:

• Käänteisalkiota merkitään myös alkion yläpuolisella viivalla: a⁻¹ = ā.
• Laskutoimitusta merkitään myös asteriskilla tai kertomerkillä, tai laskutoimituksen merkki voidaan jättää kokonaan pois: a ∘ b = a * b = a · b = ab.
• Sulkeet voidaan jättää pois laskutoimituksen liitännäisyyden nojalla: (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c) = a ∘ b ∘ c.

Ominaisuudet

Kaikilla ryhmillä on muun muassa seuraavat ominaisuudet:

• Ryhmän neutraalialkio on yksikäsitteinen.

Todistuksen ideana on olettaa, että ryhmässä on kaksi neutraalialkiota, ja osoittaa, että nämä ovat samat. Olkoon siis ryhmässä neutraalialkion $e$ lisäksi myös neutraalialkio $f$. Tällöin pätee yhtälö $f=f\circ e$, koska $e$ on neutraalialkio määritelmän ehdon 3 nojalla. Samoin pätee yhtälö $f\circ e=e$, koska $f$ on neutraalialkio oletuksen nojalla. Siispä on $f=f\circ e=e\circ f=e$ eli $f=e$ eli neutraalialkiot ovat samat.

• Kullakin ryhmän alkiolla $a$ on täsmälleen yksi käänteisalkio $a^{-1}$.

Todistuksen ideana on olettaa, että ryhmän alkiolla on kaksi käänteisalkiota, ja osoittaa, että nämä ovat samat. Olkoon siis $a$ ryhmän alkio ja olkoon sillä käänteisalkion $a^{-1}$ lisäksi myös käänteisalkio $b$. Tällöin määritelmän ehdon 4 mukaan $a\circ b=e$. Operoidaan yhtälöön vasemmalta alkiolla $a^{-1}$, jolloin saadaan yhtälö $a^{-1}\circ (a\circ b)=a^{-1}\circ e$ ja edelleen määritelmän ehdon 2 nojalla yhtälö ($a^{-1}\circ a)\circ b=a^{-1}\circ e$. Määritelmän ehdon 4 nojalla $a^{-1}\circ a=e$, jolloin saadaan yhtälö $e\circ b=a^{-1}\circ e$, joka supistuu määritelmän ehdon 3 nojalla muotoon $b=a^{-1}$. Alkion $a$ käänteisalkiot ovat siis samat.

• Jos a ja b ovat ryhmän alkioita, niin on olemassa yksikäsitteiset ryhmän alkiot x ja y, joilla a ∘ x = b ja y ∘ a = b.

Näytetään, että x ja y ovat olemassa ja että ne ovat ryhmän alkioita. Ratkaistaan ensin alkiot x ja y. Siispä on

a ∘ x = b

⇔ a⁻¹ ∘ (a ∘ x) = a⁻¹ ∘ b (operoidaan puolittain vasemmalta alkiolla a⁻¹)

⇔ (a⁻¹ ∘ a) ∘ x = a⁻¹ ∘ b (määritelmän ehdon 2 nojalla)

⇔ e ∘ x = a⁻¹ ∘ b (määritelmän ehdon 4 nojalla)

⇔ x = a⁻¹ ∘ b (määritelmän ehdon 3 nojalla)

ja

y ∘ a = b

⇔ (y ∘ a) ∘ a⁻¹ = b ∘ a⁻¹ (operoidaan puolittain oikealta alkiolla a⁻¹)

⇔ y ∘ (a ∘ a⁻¹) = b ∘ a⁻¹ (määritelmän ehdon 2 nojalla)

⇔ y ∘ e = b ∘ a⁻¹ (määritelmän ehdon 4 nojalla)

⇔ y = b ∘ a⁻¹ (määritelmän ehdon 3 nojalla).

Näytetään, että x ja y ovat ryhmän alkioita. Alkio x = a⁻¹ ∘ b on ryhmän alkio, sillä a ja b ovat oletuksen nojalla ryhmän alkioita ja a⁻¹ on ryhmän alkio, koska se on alkion a käänteisalkio, joten kahdesta ryhmän alkiosta laskutoimituksella saatava alkio a⁻¹ ∘ b on ryhmän alkio. Vastaavalla päättelyllä myös y = b ∘ a⁻¹ on ryhmän alkio.

Näytetään, että x ja y ovat yksikäsitteisiä. Todistuksen ideana on olettaa, että yhtälöillä a ∘ x = b ja y ∘ a = b on kummallakin kaksi ratkaisua, ja johtaa tulos, että ratkaisut ovat samat. Olkoon siis myös ryhmän alkio z, jolla pätee a ∘ z = b. Koska on a ∘ x = b, saadaan yhtälö

a ∘ z = a ∘ x

⇔ a⁻¹ ∘ (a ∘ z) = a⁻¹ ∘ (a ∘ x) (operoidaan puolittain vasemmalta alkiolla a⁻¹)

⇔ (a⁻¹ ∘ a) ∘ z = (a⁻¹ ∘ a) ∘ x (määritelmän ehdon 2 nojalla)

⇔ e ∘ z = e ∘ x (määritelmän ehdon 4 nojalla)

⇔ z = x (määritelmän ehdon 3 nojalla).

Alkiot z ja x ovat siis samat, joten yhtälön a ∘ x = b ratkaisu on yksikäsitteinen.

Vastaavalla tavalla näytetään, että myös yhtälön y ∘ a = b ratkaisu on yksikäsitteinen. Olkoon ryhmän alkio z, jolla pätee z ∘ a = b. Täten on

z ∘ a = y ∘ a

⇔ (z ∘ a) ∘ a⁻¹ = (y ∘ a) ∘ a⁻¹ (operoidaan puolittain oikealta alkiolla a⁻¹)

⇔ z ∘ (a ∘ a⁻¹) = y ∘ (a ∘ a⁻¹) (määritelmän ehdon 2 nojalla)

⇔ z ∘ e = y ∘ e (määritelmän ehdon 4 nojalla)

⇔ z = y (määritelmän ehdon 3 nojalla).

Alkiot z ja y ovat siis samat, joten yhtälön y ∘ a = b ratkaisu on yksikäsitteinen.

• Ryhmän laskutoimituksella on seuraavat supistussäännöt: jos a ∘ b = a ∘ c, niin b = c, ja jos b ∘ a = c ∘ a, niin b = c.

Osoitetaan, että yhtälöstä a ∘ b = a ∘ c seuraa b = c. Operoidaan yhtälöön a ∘ b = a ∘ c puolittain vasemmalta alkiolla a⁻¹, jolloin saadaan yhtälö a⁻¹ ∘ (a ∘ b) = a⁻¹ ∘ (a ∘ c). Tästä saadaan määritelmän ehdon 2 nojalla yhtälö (a⁻¹ ∘ a) ∘ b = (a⁻¹ ∘ a) ∘ c. Koska määritelmän ehdon 4 nojalla a⁻¹ ∘ a = e, yhtälö voidaan sieventää muotoon e ∘ b = e ∘ c. Määritelmän ehdon 3 nojalla yhtälö sievenee edelleen muotoon b = c.

Osoitetaan, että yhtälöstä b ∘ a = c ∘ a seuraa b = c. Operoidaan yhtälöön b ∘ a = c ∘ a puolittain oikealta alkiolla a⁻¹, jolloin saadaan yhtälö (b ∘ a) ∘ a⁻¹ = (c ∘ a) ∘ a⁻¹. Tästä saadaan määritelmän ehdon 2 nojalla yhtälö b ∘ (a ∘ a⁻¹) = c ∘ (a ∘ a⁻¹). Koska määritelmän ehdon 4 nojalla a⁻¹ ∘ a = e, yhtälö voidaan sieventää muotoon b ∘ e = c ∘ e. Määritelmän ehdon 3 nojalla yhtälö sievenee edelleen muotoon b = c.

• Alkion a ∘ b käänteisalkio on b⁻¹ ∘ a⁻¹.

Olkoon alkion a ∘ b käänteisalkio x. Määritelmän ehdon 4 nojalla on (a ∘ b) ∘ x = e. Operoidaan yhtälöön puolittain vasemmalta alkiolla a⁻¹, jolloin saadaan yhtälö a⁻¹ ∘ ((a ∘ b) ∘ x) = a⁻¹ ∘ e, joka on määritelmän ehdon 2 nojalla (a⁻¹ ∘ (a ∘ b)) ∘ x = a⁻¹ ∘ e ja edelleen ((a⁻¹ ∘ a) ∘ b) ∘ x = a⁻¹ ∘ e. Koska määritelmän ehdon 4 mukaan a⁻¹ ∘ a = e, yhtälö sievenee muotoon (e ∘ b) ∘ x = a⁻¹ ∘ e. Määritelmän ehdon 3 nojalla yhtälö sievenee edelleen muotoon b ∘ x = a⁻¹. Operoidaan yhtälöön puolittain vasemmalta alkiolla b⁻¹, jolloin saadaan yhtälö b⁻¹ ∘ (b ∘ x) = b⁻¹ ∘ a⁻¹, joka on määritelmän ehdon 2 nojalla (b⁻¹ ∘ b) ∘ x = b⁻¹ ∘ a⁻¹. Koska määritelmän ehdon 3 nojalla on b⁻¹ ∘ b = e, yhtälö sievenee muotoon e ∘ x = b⁻¹ ∘ a⁻¹. Määritelmän ehdon 3 nojalla yhtälö sievenee edelleen muotoon x = b⁻¹ ∘ a⁻¹. Alkion a ∘ b käänteisalkio on siis b⁻¹ ∘ a⁻¹.

Potenssi

Ryhmän alkion potenssi määritellään kuten alkeisaritmetiikassa:

• a⁰ = e
• aⁿ = a ∘ a ∘ ... ∘ a (n kpl), n ∈ ℕ, n ≥ 1
• a⁻ⁿ = (aⁿ)⁻¹, n ∈ ℕ, n ≥ 1.

Potenssilla on seuraavat laskusäännöt (m ∈ ℕ, n ∈ ℕ, m ≥ 1, n ≥ 1):

• $(a^{n})^{-1}=(a^{-1})^{n}\,\!$
• $a^{m}\circ a^{n}=a^{m+n}\,\!$
• $(a^{m})^{n}=a^{mn}\,\!$
• $(a^{m})^{-n}=((a^{m})^{n})^{-1}=(a^{mn})^{-1}=a^{-mn}=a^{m(-n)}\,\!$.

Ryhmien peruskäsitteitä

Ryhmille voidaan määritellä ensinnäkin totuusarvoisia ominaisuuksia ja nämä ominaisuudet voivat muodostaa hierarkioita. Voidaan tutkia esimerkiksi onko jokin ryhmä vaihdannainen tai onko se ratkeava. Jokainen vaihdannainen ryhmä on aina myös ratkeava, mutta kääntäen sama ei päde; siis vaihdannaiset ryhmät ovat ratkeavien ryhmien aliluokka.

Ryhmistä voidaan etsiä tietyt ehdot täyttäviä osajoukkoja. Näistä tärkein on aliryhmä: sellainen ryhmän osa, joka on itsessään ryhmä saman laskutoimituksen suhteen. Toinen esimerkki on ryhmän keskus, niiden alkioiden joukko, jotka ovat vaihdannaisia kaikkien alkioiden kanssa. Aliryhmiä voi ryhmällä olla useita, keskus on näistä yksi.

Uusia ryhmiä voidaan muodostaa esimerkiksi "jakamalla" ryhmä jollain normaalilla aliryhmällään, jolloin tulosta kutsutaan tekijäryhmäksi. Esimerkki tästä on "jakaa" kaikki kokonaisluvut kymmenellä jaollisilla luvuilla, jolloin tekijäryhmä on luvut 0-9 varustettuna yhteenlaskulla josta otetaan viimeinen numero.

Esimerkkejä

Esimerkki 1. Joukko G = {1, -1, i, -i} varustettuna kompleksilukujen kertolaskulla on ryhmä.

Näytetään, että joukko G täyttää kaikki ryhmän määritelmän ehdot 1–4:

Ehto 1. Joukon kahden alkion tulo on joukon alkio, mikä nähdään seuraavasta kertolaskutaulusta:

	1	-1	i	-i
1	1	-1	i	-i
-1	-1	1	-i	i
i	i	-i	-1	1
-i	-i	i	1	-1

Ehto 2. Kompleksilukujen kertolasku on liitännäinen.

Ehto 3. Kompleksilukujen kertolaskun neutraalialkio on 1, ja se kuuluu joukkoon G. Siispä on 1 · 1 = 1, 1 · (-1) = -1, 1 · i = i ja 1 · (-i) = -i.

Ehto 4. Joukon alkioiden käänteisalkiot ovat 1⁻¹ = 1, (-1)⁻¹ = -1, i⁻¹ = -i ja (-i)⁻¹ = i, ja ne kuuluvat joukkoon G.

Joukko G siis täyttää kaikki ryhmän määritelmän ehdot 1–4, joten G on ryhmä.

Esimerkki 2. Kokonaislukujen joukko on Abelin ryhmä binäärioperaattorin $+$ suhteen (neutraalialkio on luku $0$ ja käänteisalkio on kunkin luvun vastaluku.) Kokonaisluvut eivät kuitenkaan muodosta ryhmää kertolaskun suhteen, sillä vastalukuehto ei toteudu.

Esimerkki 3. Imaginaarilukujen joukko muodostaa niin ikään ryhmän yhteenlaskun suhteen. Ryhmän muodostamiseen kertolaskun suhteen on useita esteitä: ryhmä ei ole suljettu, ykkösalkio ei kuulu ryhmään (se olisi $1$, mutta $1$ ei ole imaginaariluku).

Esimerkki 4. Reaalilukujen joukko ilman nollaa, $\{x\in \mathbb {R} |x\neq 0\}$ on ryhmä kertolaskun suhteen. Luku nolla täytyy jättää pois koska sillä ei ole käänteisalkiota kertolaskun suhteen. Ryhmän neutraalialkio on luku $1$.

Esimerkki 5. Kompleksilukujen $\{e^{i\theta }|\theta \in \mathbb {R} \}$ joukko, eli kompleksitason yksikköympyrä muodostaa ryhmän kertolaskun suhteen. Ryhmän neutraalialkio on $1=e^{0i}$.

Esimerkki 6. Neliömatriisit, joiden determinantti on $1$, muodostavat matriisikertolaskun suhteen ryhmän, joka ei ole kommutatiivinen.

Yleinen lineaariryhmä ja ryhmien esitysteoria

Pääartikkeli: Ryhmän esitys

Matriisiryhmät muodostuvat matriiseista ja ryhmäoperaationa toimii matriisitulo. Yleinen lineaariryhmä GL(n, R) on matriisiryhmä, joka muodostuu kääntyvistä n×n reaalisista matriiseista. Sen aliryhmiä nimitetään matriisiryhmiksi tai lineaariryhmiksi Tärkeä esimerkki matriisiryhmästä on erityinen ortogonaaliryhmä SO(N). Se kuvaa rotaatioita n-ulotteisessa avaruudessa.

Esitysteoria on sekä ryhmäkäsitteen sovellus että tärkeä väline ryhmien luonteen ymmärtämiseksi. Lineaariesitykset ovat laaja ryhmien esityksen luokka. Lineaariesityksessä ryhmä vaikuttaa vektoriavaruuteen, kuten 3-dimensioiseen euklidiseen avaruuteen R³. Ryhmän G esitys n-dimensioisessa reaalisessa vektoriavaruudessa on ryhmähomomorfismi

ρ: G → GL(n, R)

ryhmästä yleiseen lineaariryhmään. Ryhmän esitykset muuttavat abstraktin ryhmäoperaation matriisituloksi, jolloin myös ryhmätoimituksen eksplisiittinen lasku onnistuu.

Katso myös

• Abelin ryhmä
• Aliryhmä
• Cayleyn lause
• Nielsenin-Schreierin lause
• Symmetrinen ryhmä
• Syklinen ryhmä
• Ryhmän esitys

Kirjallisuutta

• Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Ryhmä (algebra) Wikimedia Commonsissa