Tasasivuinen kolmio

Tasasivuinen kolmio on geometriassa kolmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkiä. Tasasivuinen kolmio on yksinkertaisin säännöllinen monikulmio, mikä vuoksi sillä on lukuisia erikoisominaisuuksia ja käyttötapoja. Se on myös tasakylkinen kolmio.

Yleiset ominaisuudet

Tasasivuisessa kolmiossa sivut $a$, $b$ ja $c$ ovat yhtäpitkät. Kolmion korkeusjanoilla $h_{a}$, $h_{b}$ ja $h_{c}$ on yhtä aikaa myös sivunpuolittajan, kulmanpuolittajan ja keskinormalin ominaisuudet.

Kulmanpuolittaja, keskijana, korkeusjana, keskinormaali ja 60° kulmat

Tasasivuisen kolmion kaikkien kulmien voidaan osoittaa olevan 60°. Koska tasasivuinen kolmio on määritelmän mukaan myös tasakylkinen kolmio, jossa huipuksi valitun kulman molemmat kyljet ovat yhtäpitkät. Jos tasasivuinen kolmio taitetaan kahtia viemällä yhtäpitkät kyljet päällekkäin, saadaan kaksi yhtenevää kolmiota. Tasasivuisessa kolmiossa taitos muodostaa janan, joka on samalla kertaa kulmanpuolittaja, sivunpuolittaja eli mediaani, korkeusjana ja keskinormaali. Taitoksen geometriasta johtuu myös, että tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret. Edellinen tarkastelu voidaan suorittaa myös tasasivuisen kolmion kahdelle muulle kulmalle ja todeta, että kussakin tilanteessa kantakulmat ovat pareittein samankokoiset. Koska kaikkien kulmien summa tulee olla 180° ja ne ovat keskenään yhtä suuret, on niiden oltava 60°.

Janan pituus voidaan laskea edellä kuvatusta kolmion puolikkaasta Pythagoraan lauseen avulla, koska jana on yhtä aikaa sekä sivun puolittaja että korkeusjana. Silloin kolmion hypotenuusa on tasasivuisen kolmion sivun pituus $a$, toinen kateetti kannan puolikkaan pituus ${\tfrac {1}{2}}a$, josta korkeusjanan pituus $h$ voidaan laskea

$h={\sqrt {a^{2}-\left({\tfrac {1}{2}}a\right)^{2}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}a.$

Voidaan vielä todeta, ettei millään muulla kuin tasasivuisella kolmiolla ole kaikki kolme kulmanpuolittajaa, keskijanaa, korkeusjanaa ja keskinormaalia yhtäpitkät.

Muistikolmio

Korkeusjana on tasasivuisessa kolmiossa samalla kulmanpuolittaja, joka jakaa huippukulman puoliksi.

Tasasivuisen kolmion korkeusjana on samalla kulmanpuolittaja, joka jakaa huippukulman puoliksi. Korkeusjanan avulla saadaan kulmat 30° ja 60° esille, ja Pythagoraan lauseen avulla voidaan päätellä mitat 1, 2 ja ${\sqrt {3}}.$

Kolmion sisälle ja ulos piirretyt ympyrät

Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat toisensa pisteessä, joka on samalla kolmion sisälle piirretyn ympyrän keskipiste. Koska tasasivuisessa kolmiossa kulmanpuolittajalla on myös sivunpuolittajan ominaisuudet, on ympyrän keskipiste myös sen painopiste. Ympyrän säde on edellä mainittu $r.$

Kolmion keskinormaalit leikkaavat toisensa pisteessä, joka on samalla kolmion ulkopuolelle piirretyn ympyrän keskipiste. Tasasivuisessa kolmiossa tämä on samalla sekä kolmion sisälle että sen ulkopuolelle piirretyn ympyrän keskipiste. Ulkopuolisen ympyrän säde on edellä mainittu $R.$

Merkilliset pisteet

Kolmion merkilliset pisteet ovat neljä pistettä, jotka muodostuvat kukin kolmen suoran leikkauksessa. Sivujen keskinormaalit leikkaavat yhdessä pisteessä, samoin tekevät kulmien puolittajat toisessa pisteessä, kolmion korkeussuorat ja kolmion sivujen keskijanat omissa pisteissään. Merkillisiksi nämä pisteet tekevät sen siekan, että oli kolmio millainen hyvänsä, leikkauspiste syntyy itsestään.

Kolmion sisään piirretyn ympyrän säde on $r$ ja kolmion ulkopuolelle piiretyn $R$.

Kolmion sivunpuolittajat leikkaavat toisensa kolmion sisäpisteessä, jota kutsutaan tämän vuoksi painopisteeksi. Jos kolmiota tuetaan kynänkärjellä altapäin sen painopisteestä, jää se tasapainoon kallistumatta mihinkään suuntaan. Sivunpuolittajat leikkaavat toisensa aina suhteessa $1:2$, jolloin lyhyempi osa $r$ on sivua vasten ja pitempi osa $R$ kärjen puolella. Tasasivuisen kolmion sivunpuolittajan osien pituudet ovat

$r={\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {3}}{2}}a={\frac {\sqrt {3}}{6}}a$

ja

$R={\frac {2}{3}}{\frac {\sqrt {3}}{2}}a={\frac {\sqrt {3}}{3}}a,$

jolloin

$R=2r={\tfrac {2}{3}}h,$ $r={\tfrac {1}{2}}R={\tfrac {1}{3}}h$ ja $R+r=h.$

Johtuen tasasivuisen kolmion yksinkertaisesta symmetriasta, sijaitsevat kolmion merkilliset pisteet eli korkeusjanojen leikkauspiste ortokeskus, kulmanpuolittajien leikkauspiste, keskinormaalien leikkauspiste ja painopiste poikkeuksellisesti samassa paikassa.

Yhdenmuotoisuus

Tasasivuisilla kolmioilla on aina 60° kulmat, vaikka ne olisivat eri kokoisia. Tämän vuoksi ne ovat keskenään yhdenmuotoisia.

Laskukaavoja ja tunnettuja teoreemoja

Pinta-ala $A={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}.$ Sivun pituus voidaan sanoa pinta-alan avulla $s={\frac {2{\sqrt[{2}]{A}}}{\sqrt[{4}]{3}}}.$

Tasasivuisen kolmion korkeus saadaan kertomalla sen sivun pituus luvulla ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$, joka on noin 0,866. Sen pinta-ala on yhtä suuri kuin sen sivun neliö kerrottuna luvulla ${\frac {\sqrt {3}}{4}}$, joka on noin 0,433.

Vivianin lause

Vivianin lauseen mukaan tasasivuisen kolmion sivujen etäisyydet kolmion sisällä olevasta pisteestä ovat yhteenlaskettuna sama kuin kolmion korkeus.

Geometrinen konstruointi

Tasasivuisen kolmion piirtäminen vain viivainta ja harppia käyttäen.

Jos paperilta osoitetaan piste, voidaan sen ympäri piirtää ympyrä millä säteellä hyvänsä. Viivaimella vedetään ympyrälle keskipisteen kautta halkaisija. Nyt voidaan piirtää halkaisijalle keskinormaali halkaisijan päätepisteistä piirettyjen kaarien avulla. Tälle keskinormaalille, joka on jana keskipisteestä ympyrän kaarelle, voidaan myös piirtää keskinormaali vastaavalla tavalla. Tästä keskinormaalista ympyrä erottaa janan, joka on tasasivuisen kolmion yksi sivu. Sivun vastainen kärki löytyy halkaisijan keskinormaalilta ympyrän kehältä keskipisteen toiselta puolelta.

Lähteet

• Väisälä Kalle: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).
• Seppänen, Raimo et al.: MAOL. (lukion taulukkokirja) Helsinki: Otava, 1999. ISBN 951-1-20607-9
• Kurittu Lassi: Geometria (pdf) (luentomoniste) 2006. Jyväskylän: Jyväskylän Yliopisto.

Aiheesta muualla

• Weisstein, Eric W.: Equilic Quadrilateral (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
• Weisstein, Eric W.: Equilateral Cevian Triangle Point (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
• Weisstein, Eric W.: Equilateral Polygon (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)