Yhteismitallisuus (matematiikka)

Matematiikassa kahta reaalilukua a ja b, joista kumpikaan ei ole nolla, sanotaan yhteismitallisiksi, jos niiden suhde ${\frac {a}{b}}$ on rationaaliluku. Muussa tapauksessa niitä sanotaan yhteismitattomiksi. Rationaaliluvut ovat lukuja, jotka ovat yhtä suuria kuin joidenkin kahden kokonaisluvun suhde. Ryhmäteoriassa on määritelty myös yleisempi yhteismitallisuuden käsite.

Esimerkiksi luvut 3 ja 2 ovat yhteismitallisia, koska niiden suhde, ${\frac {3}{2}}$; on rationaaliluku. Myös luvut ${\sqrt {3}}$ ja $2{\sqrt {3}}$ ovat yhteismitallisia, koska niiden suhde ${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {1}{2}}}$, on rationaaliluku. Sen sijaan luvut ${\textstyle {\sqrt {3}}}$ ja 2 ovat yhteismitattomia, koska niiden suhde, ${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$, on irrationaaliluku.

Voidaan todistaa, että jos a ja b ovat rationaalilukuja, joista kumpikaan ei ole nolla, ne ovat keskenään yhteismitallisia, mutta jos a on irrationaaliluku ja b mikä tahansa nollasta poikkeava rationaaliluku, luvut a ja b ovat yhteismitattomia. Jos taas a ja b ovat molemmat irrationaalilukuja, ne saattavat olla keskenään yhteismitallisia, mutta eivät kaikissa tapauksissa ole.

Käsitteen historia

Irrationaaliluvun ja yhteismitattomuuden käsitteen keksivät ensimmäisinä pythagoralaiset. Ensimmäinen luku, joka todistettiin irrationaaliseksi, oli kahden neliöjuuri, ${\sqrt {2}}$, joka ilmaisee myös neliön lävistäjän ja sivun pituuksien suhteen. Käsitteen ensimmäiset sovellukset liittyivät janojen pituuksiin. Kun kahden janan pituuksien suhde on irrationaaliluku, termiä yhteysmitattomuus käytetään, paitsi janojen pituuksista, myös itse janoista.

Yhteismitattomien pituuksien keksiminen oli suuri järkytys pythagoralaisille, sillä se näytti kumoavan koko heidän filosofiansa. Ne saivat kreikkalaiset matemaatikot yleensäkin vakuuttuneiksi siitä, että geometria oli kehitettävä aritmetiikasta riippumatta.

Platon oli hyvin kiinnostunut yhteismitattomuuden käsitteestä, vaikka se tulikin hänelle tutuksi vasta melko vanhalla iällä. Teoksessaan Lait hän piti suurena häpeänä, ettei asia ollut yleisemmin tunnettu. Dialogissa Menon Sokrates johdattaa sokraattisen metodin avulla geometriaa ennestään osaamattoman orjapojan todistamaan, että neliön lävistäjälle piirretyn neliön pinta-ala on kaksi kertaa niin suuri kuin alkuperäisen neliön. Todistus on hyvin samankaltainen kuin Eukleideen myöhemmin esittämä.

Geometristen suureiden verrannollisuutta, sellaisena kuin se antiikin Kreikassa ymmärrettiin, käsiteltiin yleisemmin, joskin kiertoteitse, Eukleideen Alkeet-teoksen V kirjassa Siinä todistetaan geometrian avulla paljon sellaista, mikä nykyisin katsottaisiin algebraan kuuluviksi. Eukleides piti tällaista menetelmää välttämättömänä yhteismitattomien suureiden aiheuttamien ongelmien vuoksi.

Eukleideen esittämän määritelmän mukaan kahta janaa a ja b sanotaan yhteismitallisiksi silloin ja vaoin silloin, kun on olemassa kolmas jana c, jota voidaan jatkaa yhtä pitkällä janalla kokonaisluvulla ilmaistava määrä kertoja, niin, että saadaan a:n kanssa yhtenevä jana, ja myös toisella kokonaisluvulla ilmaistava määrä kertoja niin, että saadaan b:n kanssa yhtenevä jana. Eukleides ei käyttänyt reaaliluvun käsitettä, mutta hän käytti janojen yhtenevyyden käsitettä ja vertaili janojen pituuksia keskenään niin, että toinen niistä oli pidempi tai lyhyempi kuin toinen.

Välttämätön ja riittävä ehto sille, että ${\frac {a}{b}}$ on rationaalinen, on, että on olemassa sellainen reaaliluku c ja sellaiset kokonaisluvut m ja n, että

a = mc and b = nc.

Jos yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että a ja b ovat positiivisia, voidaan sanoa, että viivainta, johon on merkitty mitta-asteikko, jossa pituusmittana on c, voidaan käyttää sekä a:n että b:n pituisen janan mittaamiseen niin, että mittaluvut ovat kokonaislukuja. Toisin sanoen on olemassa sellainen pituusyksikkö, jolla mitattuna sekä a:n että b:n pituuksien lukuarvot ovat kokonaislukuja. Termi yhteismitallinen perustuukin juuri tähän seikkaan. Muussa tapauksessa a ja b ovat yhteismitattomia.

Yhteismitallisuus ryhmäteoriassa

Ryhmäteoriassa ryhmän G kahta aliryhmää Γ₁ ja Γ₂ sanotaan yhteismitallisiksi, jos niiden leikkauksella on äärellinen indeksi sekä Γ₁:ssä että Γ₂:ssa.

Esimerkki: olkoot a ja b kaksi reaalilukua, joista kumpikaan ei ole nolla. Silloin a:n virittämä aliryhmä reaalilukujen ryhmässä $\mathbb {R}$ on yhteismitallinen b:n virittämän aliryhmän kanssa, jos ja vain jos reaaliluvut a ja b ovat yhteismitallisia, siinä mielessä, että a/b on rationaalinen. Täten ryhmäteoreettinen yhteismitallisuuden käsite on reaalilukujen samannimisen käsitteen yleistys.

Vastaava käsite voidaan määritellä myös kahdelle ryhmälle, jotka ei alun perin ole määritelty saman ryhmän aliryhmiksi. Kaksi ryhmää G₁ ja G₂ ovat (abstraktisti) yhteismitallisia, jos on olemassa aliryhmät H₁ ⊂ G₁ ja H₂ ⊂ G₂, joilla on äärellinen indeksi ja H₁ is isomorfinen H₂:n kanssa.

Topologiassa

Kahta polkuyhtenäistä topologista avaruutta sanotaan joskus yhteismitallisiksi, jos niillä on homeomorfiset äärellissäikeiset peiteavaruudet. Riippuen käsiteltävän avaruuden tyypistä määritelmässä voidaan homeomorfisuuden sijasta käyttää homotopiaekvivalenssia tai diffeomorfismeja. Jos kaksi avaruutta on yhteismitallisia, niiden perusryhmät ovat yhteismitallisia.

Esimerkiksi kaikki suljetut pinnat, joiden genus on vähintään 2, ovat keskenään yhteismitallisia.