Formule de Rydberg

En physique atomique, la formule de Rydberg permet de calculer les longueurs d'onde des raies spectrales de beaucoup d'éléments chimiques. Elle fut établie empiriquement en 1888 par le physicien suédois Johannes Rydberg à partir des raies spectrales des métaux alcalins et de la formule de Balmer, établie par Johann Jakob Balmer en 1885, pour les raies du spectre visible de l'hydrogène. Sous sa forme la plus simple, elle est une généralisation de la formule de Balmer pour toutes les transitions de l'hydrogène. La formule de Rydberg fut exploitée en 1913 par le physicien danois Niels Bohr, pour élaborer son modèle de l'atome d'hydrogène à l'origine de la mécanique quantique.

La formule de Rydberg comme elle apparaît dans un manuscrit de novembre 1888

Formule de Rydberg pour l'hydrogène

Dans la formule manuscrite apparaissant sur l'image :

${\frac {n}{N_{0}}}={\frac {1}{(m_{1}+c_{1})^{2}}}-{\frac {1}{(m_{2}+c_{2})^{2}}}$

Rydberg désignait

par $n$, le nombre d'onde

par $N_{0}$, la constante de nombre d'onde ;

par $m_{1}$ et $m_{2}$, des entiers avec $m_{2}>m_{1}$

par $c_{1}$ et $c_{2}$, des nombres $<1$.

Il est apparu que, pour l'atome d'hydrogène, les coefficient $c_{1}$ et $c_{2}$ sont nuls. En changeant $m_{1}$ et $m_{2}$ par $n_{1}$ et $n_{2}$,la formule peut être ré-écrite:

$\sigma _{\mathrm {vac} }={\frac {1}{\lambda _{\mathrm {vac} }}}=R_{\mathrm {H} }\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)$

Où

$\sigma _{\mathrm {vac} }$ le nombre d'onde de la raie dans le vide correspondant à la transition d'un électron du niveau $n_{2}$ vers le niveau $n_{1}$.

$\lambda _{\mathrm {vac} }$ est la longueur d'onde de la raie dans le vide.

$R_{\mathrm {H} }$ est la constante de Rydberg de l'hydrogène: $R_{H}=1,097\,373\dots \times 10^{7}\,\,m^{-1}$

$n_{1}$ et $n_{2}$ sont des entiers tels que $n_{2}>n_{1}$.

Les différents coefficients $n_{1}$ donnent naissance à différentes séries de raies spectrales lorsque le coefficient $n_{2}$ va de $n+1$ à l'infini.

Pour chaque série, les valeurs limites de $\sigma$ et de $\lambda$ sont égales à:

$\sigma _{n_{1},\infty }={\frac {R_{H}}{n_{1}^{2}}}$ et $\lambda _{n_{1},\infty }={\frac {n_{1}^{2}}{R_{H}}}$

Tableau des séries de raies de l'hydrogène

$n_{1}$	$n_{2}$	Nom	$\lambda _{n_{2}}$	$\lambda _{\infty }$	Domaine
1	$2\rightarrow \infty$	Série de Lyman	121 nm	91 nm	UV
2	$3\rightarrow \infty$	Série de Balmer	656 nm	365 nm	visible
3	$4\rightarrow \infty$	Série de Paschen	1874 nm	821 nm	IR
4	$5\rightarrow \infty$	Série de Brackett	4052 nm	1 459 nm	IR
5	$6\rightarrow \infty$	Série de Pfund	7476 nm	2 280 nm	IR
6	$7\rightarrow \infty$	Série de Humphreys	12368 nm	3 283 nm	IR

La série de Lyman est dans le domaine de l'ultraviolet tandis que celle de Balmer est dans le domaine visible et que les séries de Paschen, Brackett, Pfund, et Humphreys sont dans le domaine de l'infrarouge.

Généralisation aux hydrogénoïdes

La formule ci-dessus peut être généralisée à tout ion hydrogénoïde, c'est-à-dire ne possédant qu'un unique électron, de masse M. Les ions He⁺, Li²⁺, Be³⁺ en sont des exemples.

${\frac {1}{\lambda _{\mathrm {vac} }}}={R_{M}}\times \left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)$

où

$\lambda _{\mathrm {vac} }$ est la longueur d'onde de la lumière dans le vide,

$R_{M}={\frac {z^{2}R_{\infty }}{1+{\frac {m_{e}}{M}}}}$ où $R_{\infty }$est la constante de Rydberg de l'atome, M la masse du noyau,

$n_{1}$ et $n_{2}$ sont des entiers tels que $n_{1}<n_{2}$,

$z$ est la charge de l’atome.

Nb

Il apparaît que cette formule de Rydberg est celle d'une famille d'hyperboles, $n_{1}$ et $n_{2}$ définissant les positions respectives des sommets et des foyers. Ces hyperboles sont des franges d'interférences produites entre les ondes émises par le proton et par l'électron. Comme l'atome d'hydrogène n'a qu'un proton et qu'un électron, la représentation graphique des interférences est simple et claire; pour les autres atomes, à l'exception des hydrogénoïdes, le modèle devient plus brouillé.

Articles connexes

• Constante de Rydberg
• Johannes Rydberg
• Walther Ritz