Antiparallélogramme
L'antiparallélogramme ou contre-parallélogramme est un quadrilatère croisé dont les côtés non adjacents sont de même longueur.
Ce n'est pas un parallélogramme : il a deux côtés opposés qui ne sont pas parallèles et même, qui se coupent.
Propriétés
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- Dans un antiparallélogramme les angles opposés ont la même mesure.
- Les diagonales sont parallèles.
- L'antiparallélogramme admet un axe de symétrie qui est la médiatrice des diagonales.
- Les deux côtés opposés prolongés les plus longs ont leur point d'intersection situé sur cette médiatrice.
- Son enveloppe convexe est délimitée par le trapèze isocèle formé par les deux côtés non croisés et les diagonales[1].
- L'antiparallélogramme est inscriptible dans un cercle[2].
- Les côtés prolongés de l'antiparallélogramme sont les bitangentes de deux cercles[3].
Figure articulée
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Si les sommets A, B, C et D sont articulés, la figure varie, mais le produit AC.BD reste constant, égal à AD2 – AB2.
On le démontre en considérant la puissance du point C par rapport au cercle de centre B passant par A.
Lorsque les sommets A et C sont fixes, le point d'intersection des côtés [AD] et [BC] parcourt une ellipse quand l'antiparallélogramme se déforme. Cette propriété a été utilisée par Frans van Schooten pour concevoir un ellipsographe[4].
Notes et références
modifier- (en) Claudi Alsina et Roger B. Nelsen, A Cornucopia of Quadrilaterals, vol. 55, Providence, Rhode Island, MAA Press and American Mathematical Society, (ISBN 978-1-4704-5312-1, MR 4286138, lire en ligne), p. 212
- (en) Engjëll Begalla et Antonella Perucca, « The ABCD of cyclic quadrilaterals », Uitwiskeling, University of Luxembourg, (hdl 10993/43232)
- (en) Roger F. Wheeler, « Quadrilaterals », The Mathematical Gazette, vol. 42, no 342, , p. 275–276 (DOI 10.2307/3610439, JSTOR 3610439, S2CID 250434576)
- (la) Frans van Schooten, De Organica Conicarum Sectionum In Plano Descriptione, Tractatus. Geometris, Opticis; Præsertim verò Gnomonicis et Mechanicis Utilis. Cui subnexa est Appendix, de Cubicarum Æquationum resolutione, (lire en ligne), p. 49;50/69;70.
