Voir la source de Nombre de Froude

{{Voir homonymes|Froude}}

Le '''nombre de Froude''', de l'hydrodynamicien anglais [[William Froude]], est un [[nombre sans dimension]] qui caractérise dans un fluide l'importance relative de l'[[énergie cinétique]] de ses particules par rapport à son [[énergie potentielle gravitationnelle]]. Il s'exprime donc par un rapport entre la vitesse d'une particule et la force de pesanteur qui s'exerce sur celle-ci. Ce nombre apparaît essentiellement dans les [[Écoulement à surface libre|phénomènes à surface libre]], en particulier dans les études de [[cours d'eau]], de [[barrage]]s, de [[Port (marine)|ports]] et de [[navire]]s ([[architecture navale]]). Il est également important en [[météorologie]] pour le calcul de l'écoulement de l'air en montagne.

En [[dynamique des fluides]] il fait partie des trois nombres sans dimension les plus utilisés : il caractérise l'importance de  la [[pesanteur]] alors que le [[nombre de Reynolds]] prend en compte la [[viscosité]] et le [[nombre de Mach]] la [[compressibilité]]. Le nombre de Froude peut être indicatif de la vitesse du fluide normée par une distance caractéristique. Ainsi les [[Rapides_(hydrologie)|rapides]] ont un nombre de Froude > 1, tandis que pour les rivières plus calmes Froude < 1.

== Origine ==
Le '''nombre de Froude'''{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} Froude (nombre de)|p=326, {{col.|2}}}} est ainsi désigné à la suite de [[Moritz Weber]] ({{date-|1871|en science}}-{{date-|1951|en science}}){{sfn|Baines|2022|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{nobr|sect. 1.4}}|p=14}}{{,}}{{sfn|Hager|Hutter|Castro-Orgaz|2020|loc=introd.|p=705}}. Son [[Éponymie|éponyme]] est [[William Froude]] ({{date-|1810|en science}}-{{date-|1879|en science}}), [[ingénieur civil]], [[mathématicien]] et [[architecte naval]] [[Angleterre|anglais]] qui a révolutionné la conception des bateaux avec l'utilisation de [[Bassin des carènes|bassins des carènes]]{{sfn|Amiroudine|Battaglia|2017|loc={{chap.|7}}, {{nobr|sect. 1}}, {{§|1.5}}|p=205}}. À la fin du {{s-|XIX}}, Froude étudie sur modèle réduit le comportement de navires remorqués. Il montre que les phénomènes restent semblables lorsque la vitesse du navire varie comme la racine carrée de sa longueur<ref>{{Lien web | langue= en|url = http://froude.sdsu.edu/ | titre=History of the Froude Number | auteur=  Fadi Khoury | date= juin 2007 | site= San Diego State University | consulté le=11 avril 2013}}</ref>.

En France, le nombre est aussi connu comme le '''nombre de Reech-Froude'''{{sfn|Chanson|2004|loc=gloss. {{s.v.}} Froude number|p={{XXVII}}}}{{,}}{{sfn|Chanson|2004|loc=gloss. {{s.v.}} Reech|p={{XXXII}}}}{{,}}{{sfn|Chanson|2004|loc={{chap.|14}}, {{nobr|sect. 14.3}}, {{§|14.3.2}}, {{n.|1}}|p=257}}{{,}}{{sfn|Paulet|Presles|Neuman|2020|loc={{chap.|{{IV}}}}|p=96}} ou le '''nombre de Reech'''{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} Froude (nombre de)|p=326, {{col.|2}}}}{{,}}{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} Reech (nombre de)|p=632, {{col.|1}}}}. Son éponyme est alors [[Frédéric Reech]] ({{date-|1805|en science}}-{{date-|1884}}) qui l'a proposé dès {{date|1852|en science}}{{sfn|Chanson|2004|loc=gloss. {{s.v.}} Froude number|p={{XXVII}}}}{{,}}{{sfn|Chanson|2004|loc=gloss. {{s.v.}} Reech|p={{XXXII}}}}{{,}}{{sfn|Chanson|2004|loc={{chap.|14}}, {{nobr|sect. 14.3}}, {{§|14.3.2}}, {{n.|1}}|p=257}}. Froude a admis l'antériorité de Reech à propos de ce concept de ''loi de comparaison''. Cette démarche empirique ne pouvait prendre en compte la pesanteur introduite ultérieurement dans ce qu'on appelle parfois le nombre de Reech-Froude.

Antérieurement à Froude, le nombre a été utilisé par plusieurs chercheurs français, à savoir{{sfn|Chanson|2004|loc={{chap.|14}}, {{nobr|sect. 14.3}}, {{§|14.3.2}}, {{n.|1}}|p=257}} : [[Jean Baptiste Charles Belanger|Jean-Baptiste Bélanger]]{{sfn|Chanson|2004|loc=gloss., {{s.v.}} Bélanger|p={{XXI}}}} ({{date-|1790|en science}}-{{date-|1874|en science}}) en {{date|1828|en science}} ; [[Jules Dupuit]]{{sfn|Chanson|2004|loc=gloss., {{s.v.}} Dupuit|p={{XXV}}}} ({{date-|1804|en science}}-{{date-|1866|en science}}) en {{date|1848|en science}} ; [[Jacques Antoine Charles Bresse|Jacques Bresse]]{{sfn|Chanson|2004|loc=gloss., {{s.v.}} Bresse|p={{XXII}}}} ({{date-|1822|en science}}-{{date-|1883|en science}}) en {{date|1860|en science}} ; et [[Henry Bazin]]{{sfn|Chanson|2004|loc=gloss., {{s.v.}} Bazin|p={{XXI}}}} ({{date-|1829|en science}}-{{date-|1917|en science}}) en {{date|1865|en science}}.

== Définition ==
Le nombre de Froude étant le rapport entre l'énergie cinétique (<math>m v^2/2</math>) et l'énergie potentielle gravitationnelle (<math>m g L_c</math>). Il se définit donc de deux manières en fonction des domaines d'utilisations<ref>{{Lien web | langue= fr|url = http://francois.lonchamp.free.fr/Froude/Nombre%2520de%2520Froude.html | titre= Nombre de Froude | auteur=  François Lonchamp | date= 3 février 2011 | consulté le= 11 avril 2013}}</ref>.

Le nombre de Froude est défini par{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} Froude (nombre de)|p=326, {{col.|2}}}} :
:<math>{Fr}=\frac{v}{\sqrt{gL}}</math>,
où :
*<math>v</math> est la vitesse du fluide{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} Froude (nombre de)|p=326, {{col.|2}}}} (en m/s) ;
* <math>g</math> est l'accélération de la pesanteur{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} Froude (nombre de)|p=326, {{col.|2}}}} (9,81 m/s{{2}}) ;
*<math>L</math> est une taille typique associée au système{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} Froude (nombre de)|p=326, {{col.|2}}}} (m).

;Remarque
{{Énoncé|Remarque|Dans quelques livres anciens, on rencontre une définition alternative selon laquelle nombre de Froude est le [[Carré (algèbre)|carré]] du nombre précédent{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} Froude (nombre de)|p=326, {{col.|2}}}}{{,}}{{sfn|Çengel|Cimbala|2017|p=288}} :  
:<math>{Fr}=\frac{v^2}{gL}</math>.}}

On peut l'exprimer en fonction du [[nombre de Reech]]<ref name="Law and Models">{{Ouvrage
 |langue=en
 |auteur1=Carl W. Hall
 |titre=Laws and Models
 |sous-titre=Science, Engineering and Technology
 |lieu=Boca Raton
 |éditeur=[[CRC Press]]
 |année=2000
 |pages totales=524
 |isbn=84-493-2018-6
}}</ref>: 
:<math>Fr_{II} = \frac{1}{Re} </math>.

Le dénominateur représente la célérité des ondes par faible profondeur, le nombre de Froude présentant ainsi une certaine analogie avec le [[nombre de Mach]].

=== Relations avec d'autres nombres sans dimension ===
Le nombre de Froude est relié à celui [[Nombre de Richardson|de Richardson]] <math>\left({Ri}\right)</math> par{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} Froude (nombre de)|p=326, {{col.|2}}}} :
:<math>{Fr}=\frac{1}{\sqrt{{Ri}}}</math>.
Il est relié à ceux [[Nombre de Morton|de Morton]] <math>\left({Mo}\right)</math>, [[Nombre de Reynolds|de Reynolds]] <math>\left({Re}\right)</math> et [[Nombre de Weber|de Weber]] <math>\left({We}\right)</math> par{{sfn|Chanson|2004|loc={{chap.|14}}, {{nobr|sect. 14.3}}, {{§|14.3.2}}, discussion|p=257-258}} :
:<math>{Mo}=\frac{{We}^3}{{Fr}^2{Re}^4}</math>,
d'où :
:<math>{Fr}^2=\frac{{We}^3}{{Mo} ~{Re}^4}</math>.

== Domaines d'utilisation ==
=== Écoulement à surface libre dans un cours d'eau ===
Dans le cadre d'un écoulement à surface libre comme c'est le cas dans un cours d'eau, le nombre de Froude correspond au rapport entre la vitesse de l'écoulement <math>v</math> et la vitesse des ondes de surface <math>C</math>, soit <math>Fr_I = \frac{v}{C}</math>.

La célérité de ces ondes s'exprime <math>C = \sqrt{g L_c}</math> où <math>L_c</math>, longueur caractéristique, vaut le rapport entre la section d'écoulement <math>A</math> et la largeur de la surface libre <math>B</math> soit <math>L_c = \frac{A}{B}</math>.

On a donc <math>Fr_I = \frac{v}{\sqrt{g \dfrac{A}{B}}}</math>.

==== Cas particulier du canal rectangulaire ====
Dans le cas particulier d'un canal rectangulaire, la longueur caractéristique <math>L_c</math> vaut la profondeur <math>h</math> du cours d'eau.

L'expression du nombre de Froude pour une section rectangulaire est donc

<math>Fr_I = \frac{v}{C} = \frac{v}{\sqrt{g h}} </math>

avec :
* <math>v</math> - vitesse de l'écoulement ;
* <math>g</math> - accélération de la pesanteur (9,81 m/s{{2}}) ;
* <math>h</math> - [[hauteur d'eau]].

;Valeurs critiques
Pour un cours d'eau un même débit peut être obtenu de deux façons différentes : 
* <math>Fr > 1</math> : régime torrentiel, avec une faible hauteur d'eau et une forte vitesse (équivalent d'un régime supersonique). Dans ce régime, le fluide est « tiré » par les forces qui le meuvent (la [[gravité]] le plus souvent), sans que la masse de fluide en aval soit une gêne ;
* <math>Fr < 1</math> : régime fluvial, avec une forte hauteur d'eau et une faible vitesse (équivalent d'un écoulement [[subsonique]]). Ce régime est « piloté par l'aval » : le comportement des particules en mouvement est contraint par celles qui les précèdent.

Dans les deux solutions la hauteur d'eau et la vitesse sont déterminées suivant le nombre de Froude et le débit, mais les solutions ne se calculent pas de la même façon. La détermination du nombre de Froude est donc un préalable au calcul.

La transition du régime torrentiel au régime fluvial provoque un [[ressaut hydraulique]] où la hauteur d'eau s’accroît brusquement. Le phénomène est observable dans un lavabo : lorsque l'eau qui coule touche la surface, sa vitesse initialement élevée (nombre de Froude > 1) diminue à proportion de sa distance au point d'impact, et <math>Fr</math> finit par descendre en dessous de 1.

=== Architecture navale ===
<math>L_c</math> est alors Lwl (length waterline) est la longueur de la [[Carène (bateau)|carène]]<ref name="Meca">{{Lien web|url=http://www.mecaflux.com/nombre_de_froude.htm| titre= Nombre de Froude| site= Mecaflux | consulté le = 11 avril 2013}}</ref>.

=== En météorologie de montagnes ===
Le nombre de Froude est utilisé en météorologie pour calculer si des [[Onde de gravité|ondes de gravité]] seront générée par un flux atmosphérique traversant un obstacle tel qu'une chaîne de montagnes. Dans ce cas, l'énergie potentielle dépend non seulement du poids de la parcelle d'air mais également de la [[poussée d'Archimède]] qui s'exerce sur celle-ci dans l'atmosphère. En effet, si la parcelle d'air est moins dense que son environnement, elle sera repoussée en altitude et vice versa si elle est plus dense.

Le nombre de Froude devient alors un rapport entre la vitesse horizontale <math>U</math> de déplacement d'une parcelle d'air et le potentiel à vaincre (<math>h</math> la hauteur de l'obstacle) qui dépend aussi de la [[Gradient thermique adiabatique#Atmosphère stable et atmosphère instable|stabilité de l'air]]. La masse d'air perturbée par la présence d'un obstacle vertical est soumise à une onde de gravité et se met à osciller avec la [[fréquence de Brunt-Väisälä]], <math>N</math>. Le nombre de Froude s'exprime comme<ref name="Grazzini">{{Lien web|url= http://hmf.enseeiht.fr/travaux/CD0001/travaux/optemf/bei_eol/pa_22.htm| titre= La couche limite atmosphérique| auteur= Fabienne Grazzini | site= École supérieure d'électrotechnique, d'électronique, d'informatique, d'hydraulique et des télécommunications | année = 1999|consulté le = 11 avril 2013}}</ref> :

:<math>Fr = \frac {U} {N\,h} </math>

avec <math>N \equiv \sqrt{\frac{g}{\theta}\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dh}}</math>, où <math>h</math> est la hauteur au-dessus du sol, <math>g</math> = 9,81 m/s{{2}}, <math>\theta</math> est la [[température potentielle]] de l'air<ref>{{en}}{{ouvrage
 |éditeur=Butterworth-Heinemann
|auteurs=Rogers, R. R. et Yau, M. K.  
|titre=Short Course in Cloud Physics, {{3e}} édition
|année=1989
|mois=janvier
|jour=1{{er}}
|pages=304
|isbn=0-7506-3215-1
|passage=30-35
|commentaire=EAN 9780750632157
}}</ref>.

D'autres auteurs définissent le nombre de Froude comme étant :

:<math>Fr = \frac {\pi U} {N W_t} </math>

où <math>W_t</math> est ''l'épaisseur transversale de la montagne''<ref>{{en}}{{ouvrage
|éditeur=Kluwer academic publishers
|auteurs=Roland B. Stull
|titre=An introduction to boundary layer meteorology
|année=1988
|pages=670
|isbn=90-277-2768-6
|passage=601
}}</ref>.

;Valeurs critiques
* <math>Fr < 1</math> : vents légers et l'écoulement contourne ou est bloqué par l'obstacle ;
* <math>Fr = 1</math> : cas de stabilité faible et de vents forts avec création d'oscillations en aval de l'obstacle ; 
* <math>Fr > 1</math> : la [[longueur d'onde]] de l'air est plus grande que celle de la barrière. Création d'une zone de fluide mort derrière la colline. Accélération du vent au sommet et après une longueur égale à environ trois fois la longueur de l'obstacle, l'écoulement retrouve ses caractéristiques initiales.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==

=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Sakir | nom1=Amiroudine | prénom2=Jean-Luc | nom2=Battaglia | préface=[[Michel Combarnous]] | titre=Mécanique des fluides | lieu=Malakoff | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] | collection=Sciences Sup | date=10/2017 | numéro d'édition=3 | année première édition={{date-|9/2011}} | pages totales={{XX}}-361 | format livre={{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-10-076170-6 | isbn=978-2-10-076170-8 | ean=9782100761708 | oclc=1006558404 | bnf=45339395t | sudoc=204732557 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/mecanique-fluides-cours-70-exercices-corriges | lire en ligne={{Google Livres|id=P4M4DwAAQBAJ}} | consulté le=16 janvier 2022 | libellé=Amiroudine et Battaglia 2017}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom=Peter G. | nom=Baines | titre=Topographic effects in stratified flows | traduction titre=Effets topographiques des écoulements stratifiés | lieu=Cambridge | éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]] | collection=Cambridge Monographs on Mechanics | date=4/2022 | numéro d'édition=2 | année première édition={{date-|11/1997}} | format livre={{dunité|17|24,4|cm}} | isbn10=1-108-48152-3 | isbn1=978-1-108-48152-6 | isbn2=978-1-108-72290-2 | ean=9781108481526 | oclc=1245925740 | doi=10.1017/9781108673983 | présentation en ligne=https://www.cambridge.org/9781108481526 | lire en ligne={{Google Livres|id=aoFSEAAAQBAJ}} | consulté le=16 janvier 2022 | libellé=Baines 2022}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | langue originale=en | prénom1=Yunus A. | nom1=Çengel | prénom2=John M. | nom2=Cimbala | traduction=Alexandre Chagnes, Sophie Griveau, Virginie Lair et Armelle Ringuedé | titre=Mécanique des fluides | sous-titre=fondements et applications | titre original=Fluids mechanics : fundamentals and applications | lieu=Louvain-la-Neuve | éditeur=[[Groupe De Boeck|De Boeck Supérieur]] | collection=Sciences de l'ingénieur | date=9/2017 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XXI}}-972 | format livre={{dunité|21,5|27,7|cm}} | isbn10=2-8041-6483-7 | isbn=978-2-8041-6483-6 | ean=9782804164836 | oclc=1004779868 | bnf=457976864 | sudoc=20434316X | présentation en ligne=https://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782804164836-mecanique-des-fluides | lire en ligne={{Google Livres|id=dig2DwAAQBAJ}} | consulté le=16 janvier 2022 | libellé=Çengel et Cimbala 2017}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom=Hubert | nom=Chanson | titre=The hydraulics of open channel flow | sous-titre=an introduction : basic principles, sediment motion, hydraulic modelling, design of hydraulic structures | traduction titre=L'hydraulique de l'écoulement à surface libre : une introduction : principes de base, mouvement des sédiments, modélisation hydraulique, conception d'ouvrages hydrauliques | lieu=Oxford et Burlington | éditeur=[[Elsevier|Butterworth-Heinemann]] | date=5/2004 | numéro d'édition=2 | année première édition=1999 | pages totales={{XLVII}}-585-[4] | format livre={{unité|25|cm}} | isbn10=0-7506-5978-5 | isbn=978-0-7506-5978-9 | ean=9780750659789 | oclc=470221706 | bnf=39236344g | doi=10.1016/B978-0-7506-5978-9.X5000-4 | sudoc=080738036 | présentation en ligne=https://www.elsevier.com/books/hydraulics-of-open-channel-flow/chanson/978-0-7506-5978-9 | lire en ligne={{Google Livres|id=VCNmKQI6GiEC}} | consulté le=16 janvier 2022 | libellé=Chanson 2004}}.
* {{Article | langue=en | prénom1=Willi H. | nom1=Hager | prénom2=Kolumban | nom2=Hutter | prénom3=Oscar | nom3=Castro-Orgaz | titre=Correspondence between de Saint-Venant and Boussinesq. 4 |sous-titre=the role of Frédéric Reech | traduction titre=Correspondance entre de Saint-Venant et Boussinesq. 4 : le rôle de Frédéric Reech | périodique=[[Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences|Comptes Rendus. Mécanique]] | volume=348 | numéro=8-9 | date=9/2020 | pages=705-727 | oclc=8885733694 | doi=10.5802/crmeca.57 | résumé=https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mecanique/item/CRMECA_2020__348_8-9_705_0/ | lire en ligne=https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mecanique/item/10.5802/crmeca.57.pdf | accès url=libre | format=pdf | libellé=Hager, Hutter et Castro-Orgaz 2020}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Dominique | nom1=Paulet | prénom2=Dominique | nom2=Presles | prénom3=Frédéric | nom3=Neuman | titre=Architecture navale | sous-titre=connaissance et pratique | lieu=Malakoff | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]], hors {{coll.}} | date=2/2020 | numéro d'édition=2 | année première édition={{date-|7/2018}} | pages totales=495 | format livre={{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-10-079552-X | isbn=978-2-10-079552-9 | ean=9782100795529 | oclc=1195550102 | sudoc=249061007 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/architecture-navale-connaissance-et-pratique-0 | lire en ligne={{Google Livres|id=T8LTDwAAQBAJ}} | consulté le=16 janvier 2022 | libellé=Paulet, Presles et Neuman 2020}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Richard | nom1=Taillet | prénom2=Loïc | nom2=Villain | prénom3=Pascal | nom3=Febvre | titre=Dictionnaire de physique | lieu=Louvain-la-Neuve | éditeur=[[Groupe De Boeck|De Boeck Supérieur]], hors {{coll.}} | date=1/2018 | numéro d'édition=4 | année première édition={{date-|5/2008}} | pages totales={{X}}-956 | format livre={{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-8073-0744-2 | isbn=978-2-8073-0744-5 | ean=9782807307445 | oclc=1022951339 | bnf=456469019 | sudoc=224228161 | présentation en ligne=https://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782807307445-dictionnaire-de-physique | lire en ligne={{Google Livres|id=pjlFDwAAQBAJ}} | consulté le=16 janvier 2022 | partie={{s.v.}} Froude (nombre de) | passage=326, {{col.|2}} | libellé=Taillet, Villain et Febvre 2018}}.

=== Liens externes ===
* {{MathWorld | nom_url=FroudeNumber | titre=Froude number}}.
* {{Lien web | langue=en | titre=Froude number | url=https://www.oxfordreference.com/view/10.1093/oi/authority.20110803095836872 | traduction titre=nombre de Froude | description=notice d'autorité {{numéro|20110803095836872}} de l'''{{langue|en|texte=Oxford Index}}'' | accès url=libre | site=Oxford Reference | éditeur=[[Oxford University Press|OUP]]}}.
* {{Autorité}}
* {{Dictionnaires}}
* {{Bases recherche}}

{{Palette|Grandeurs sans dimension en mécanique des fluides|Mécanique des fluides}}
{{Portail|météorologie|maritime|physique}}

[[Catégorie:Nombre adimensionnel utilisé en mécanique des fluides|Fr]]
[[Catégorie:Dynamique des fluides]]
[[Catégorie:Architecture navale]]
[[Catégorie:Théorie météorologique]]
[[Catégorie:Vocabulaire maritime]]