Voir la source de Théorie quantique des champs

{{Voir homonymie|Quantique}}
[[Fichier:Feynmann Diagram Gluon Radiation.svg|vignette|296x296px|Ce [[diagramme de Feynman]] représente l'annihilation d'un [[électron]] et d'un [[positron]], qui produit un photon (représenté par une ligne ondulée bleue). Ce photon se décompose en une paire [[Quark|quark-antiquark]], puis l'antiquark émet un [[gluon]] (représenté par la courbe verte). Ce type de diagramme permet à la fois de représenter approximativement les processus physiques mais également de calculer précisément leurs propriétés, comme la [[section efficace]] de collision.]]
La '''théorie quantique des champs''' est une approche en [[physique théorique]] pour construire des modèles décrivant l'évolution des [[Particule élémentaire|particules]], en particulier leur apparition ou disparition lors des processus d'interaction. Il ne s'agit donc pas d'une seule théorie, mais plutôt d'un cadre théorique, qui tire son nom de la combinaison entre la notion classique de [[Champ électromagnétique|champ]] et des principes et outils de la [[mécanique quantique relativiste]]. Selon cette approche, l'attention est portée non pas sur des particules, mais sur des champs, pénétrant l'espace et considérés comme plus fondamentaux. 

Développée au cours du {{S|XX}}, surtout entre 1920 et 1950 par des physiciens tels que [[Paul Dirac|Dirac]], [[Vladimir Fock|Fock]], [[Wolfgang Pauli|Pauli]], [[Sin-Itiro Tomonaga|Tomonaga]], [[Julian Schwinger|Schwinger]], [[Richard Feynman|Feynman]] et [[Freeman Dyson|Dyson]], la théorie quantique des champs est aujourd'hui un des piliers conceptuels de la description physique de l'univers, au travers notamment du [[Modèle standard (physique des particules)|modèle standard]]. À ce titre le développement de la théorie a été récompensé par de nombreux [[prix Nobel de physique]], et les progrès mathématiques nécessaires pour lui donner corps ont donné lieu à plusieurs [[Médaille Fields|médailles Fields]]. 

Toutefois, en dépit de nombreux efforts, il ne semble pas possible d'y intégrer une description de la [[théorie de la relativité générale]]. Pour cette raison, de nombreux physiciens cherchent une [[Théorie de grande unification|théorie plus générale]], dont la théorie quantique des champs (et la [[théorie de la relativité générale]]) ne seraient que des approximations.

La théorie quantique des champs a été développée initialement pour comprendre les phénomènes de [[physique des hautes énergies]] au sein des [[Accélérateur de particules|accélérateurs de particules]], ce pour quoi elle est principalement utilisée aujourd'hui. Mais elle permet également d'expliquer des phénomènes de [[physique de la matière condensée]], tels que la [[supraconductivité]], l'[[Effet Hall quantique entier|effet Hall quantique]], ou la [[superfluidité]].

== Histoire ==
{{Article détaillé|Histoire de la théorie quantique des champs|}}
[[Fichier:Bundesarchiv Bild183-R57262, Werner Heisenberg.jpg|gauche|vignette|221x221px|[[Werner Heisenberg]] (prix Nobel de physique 1932), père de la mécanique quantique et de la théorie quantique des champs.]]
Le développement de la [[mécanique quantique]], à la fin du {{s|XIX}} et au début du {{s|XX}}, se concentrait sur la notion de « particule », héritée de la [[physique classique]]. Les premiers travaux de Dirac, Heisenberg et Schrödinger culminent ainsi dans une description nouvelle des propriétés des particules élémentaires, capables d'expliquer avec succès les observations expérimentales, par exemple dans la prédiction des [[Spectre d'émission|spectres d'émission]] atomiques. Ce succès sur les systèmes isolés constitués de particules en nombre restreint et prescrit, laissait toutefois de côté de nombreuses questions, notamment en ce qui concerne l'interaction entre matière et rayonnement.

Par ailleurs, plusieurs tentatives de concilier l'[[équation de Schrödinger]] avec la [[mécanique relativiste]] avaient été suivies, donnant notamment naissance à l'[[équation de Klein-Gordon]] et à l'[[équation de Dirac]], l'une et l'autre soulevant des difficultés théoriques et d'interprétation. Par analogie avec le [[champ électromagnétique]], décrit par les [[équations de Maxwell]], il est possible d'associer à chacune de ces équations un champ, et une [[Mécanique lagrangienne|densité de lagrangien]] d'où l'équation découle par le [[principe de moindre action]].

{| class="wikitable" align="top"
! Champ
! Équation
! Densité de lagrangien
|-
|Scalaire <math>\phi\ </math> (Spin = 0)
|<math>0 = (\square + m^2) \phi</math>
|<math>\mathcal{L} = (\partial_{\mu} \phi^{\dagger})(\partial^{\,\mu} \phi) - m^2 \phi^{\dagger} \phi</math>
|-
|Spineur <math>\psi\ </math> (Spin = 1/2)
|<math>0 = (i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m) \psi</math>
|<math>\mathcal{L} = \tfrac{i}{2} \left( \overline{\psi} \gamma^{\mu} (\partial_{\mu} \psi) - (\partial_{\mu} \overline{\psi}) \gamma^{\mu} \psi \right) - m \overline{\psi} \psi</math>
|-
|Photon <math>A^{\mu}\ </math> (Spin 1)
|<math>0 = \partial_{\mu} F^{\mu\nu} = \square A^{\nu} - \partial^{\nu} (\partial_{\mu} A^{\mu})</math>
|<math>\mathcal{L} = - \tfrac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} = - \tfrac{1}{2} (\partial_{\mu} A_{\nu}- \partial_{\nu} A_{\mu})(\partial^{\mu} A^{\nu} - \partial^{\nu} A^{\mu})</math>
|}
Néanmoins il s'agit encore de champs n'interagissant pas entre eux, et le nombre de particules est fixé. Impossible donc de décrire la création ni l'absorption de ces particules avec ce formalisme.

=== Les origines : 1926-1930 ===
[[Fichier:Pascual Jordan 1920s.jpg|vignette|[[Pascual Jordan]] ([[Médaille Max-Planck|médaille Planck]] 1954), l'un des pionniers de la théorie quantique des champs.|201x201px]]
S'appuyant sur des intuitions mises en avant par Born, Jordan et Heisenberg<ref>{{Article|langue=de|prénom1=Max|nom1=Born|prénom2=Werner|nom2=Heisenberg|prénom3=Pascual|nom3=Jordan|titre=Zur Quantenmechanik. II.|périodique=Zeitschrift für Physik|volume=35|numéro=8-9|date=1926-08-01|issn=0044-3328|doi=10.1007/bf01379806|lire en ligne=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01379806|consulté le=2018-03-25|pages=557–615}}</ref>, c'est Dirac qui proposera le premier une théorie quantique du rayonnement en 1927<ref>{{Article|langue=en|prénom1=Paul|nom1=Dirac|titre=The quantum theory of the emission and absorption of radiation|périodique=Proc. R. Soc. Lond. A|volume=114|numéro=767|date=1927-03-01|issn=0950-1207|issn2=2053-9150|doi=10.1098/rspa.1927.0039|lire en ligne=http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/114/767/243|consulté le=2018-03-25|pages=243–265}}</ref>. S'intéressant d'abord au rayonnement électromagnétique, Dirac propose une procédure de passage à la limite, et s'appuie sur le modèle de l'[[oscillateur harmonique quantique]] pour expliquer l'apparition et l'absorption de photons. 

Poursuivant cet effort, Jordan introduit les opérateurs de création et d'annihilation et la notion de « [[seconde quantification]] ». Après des difficultés initiales pour garantir la cohérence de la théorie (notamment l'[[Invariance de Lorentz|invariance relativiste]]), une première théorie quantique des champs électromagnétique est ainsi proposée dès 1929 par [[Werner Heisenberg]] et [[Wolfgang Pauli]]<ref>{{De}} Werner Heisenberg et Wolfgang Pauli, « Zur Quantendynamik der Wellenfelder », ''Zeitschrift für Physik'', '''56''', 1929, 1–61.</ref>{{,}}<ref>{{De}} Werner Heisenberg et Wolfgang Pauli, « Zur Quantendynamik der Wellenfelder II », ''Zeitschrift für Physik'', '''59''', 1930, 168–90.</ref>. 

=== Le problème des divergences et la renormalisation : 1930-1950 ===
{{Article détaillé|Renormalisation|}}
Le succès rapide des méthodes de théorie quantique des champs, par exemple dans le calcul de la [[diffusion Compton]], n'occultait pas certains problèmes. D'une part, il existait un écart non négligeable entre les prédictions et les mesures dans plusieurs expériences impliquant les [[Rayonnement cosmique|rayons cosmiques]]. D'autre part, et plus inquiétant pour la cohérence de la théorie, le développement des calculs au-delà du premier ordre, par des méthodes perturbatives, donnait lieu à des [[Série divergente|séries divergentes]]. Ainsi par exemple, la [[self énergie]] de l'électron, ou les fluctuations du champ électromagnétique, étaient « infinis » selon la théorie.

Plusieurs formes de divergences infinie apparaissent ainsi dans l'application directe des méthodes de la théorie quantique des champs. Des tentatives naïves (de troncation, de soustraction des termes divergents, etc.) pour gérer les infinis n'ont abouti qu'à des approches mathématiquement contradictoires, des résultats éloignés des expériences, ou des violations des lois de conservation physique.

En dépit de ces doutes sur la solidité de la théorie, ces méthodes sont appliquées en 1933 par [[Enrico Fermi|Fermi]] au problème de la [[radioactivité β]], pour décrire l'[[interaction faible]]. Puis, en 1934, Pauli et Weisskopf appliquent les techniques de théorie quantique des champs à l'[[équation de Klein-Gordon]], et montrent qu'elle décrit l'évolution d'un [[champ scalaire]]. Néanmoins, ces progrès étaient tous suspendus par les doutes qui pesaient sur l'avenir de la théorie.
[[Fichier:Feynman at Los Alamos.jpg|vignette|154x154px|[[Richard Feynman]] (prix Nobel de physique 1965), développe la théorie de l'intégrale de chemin, la technique de renormalisation et les [[Diagramme de Feynman|diagrammes qui portent son nom]].]]
[[Fichier:Freeman Dyson cropped.jpg|gauche|vignette|159x159px|[[Freeman Dyson]] a unifié les approches développées pour corriger les divergences de la théorie dans le cadre de la renormalisation.]]
Il fallut attendre la fin de la [[Seconde Guerre mondiale]] pour que soit proposée une méthode cohérente et systématique pour gérer les divergences : la technique de [[renormalisation]]. C'est en 1949 que cette technique naît avec un article de Freeman Dyson<ref>{{Article|langue=Anglais|prénom1=Freeman J.|nom1=Dyson|titre=The Radiation Theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman|périodique=Physical Review|volume=75|numéro=3|date=1949|doi=10.1103/physrev.75.486|lire en ligne=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.75.486|consulté le=2018-03-25|pages=486–502}}</ref>, dans lequel il réconcilie des propositions de la génération de physiciens qui l'a précédé : [[Hans Bethe]]<ref>{{En}} {{article|auteur=Hans Bethe|lien auteur=Hans Bethe|année=1947|titre=The Electromagnetic Shift of Energy Levels|journal=[[Physical Review]]|volume=72|pages=339–341|doi=10.1103/PhysRev.72.339|bibcode=1947PhRv...72..339B|numéro=4|date=1947}}</ref>, [[Julian Schwinger]]<ref>{{En}} Julian Schwinger. « On Quantum-Electrodynamics and the Magnetic Moment of the Electron. » ''Phys. Rev.'' '''73''', 416–417 (1948)</ref>{{,}}<ref>{{En}} Julian Schwinger. « Quantum Electrodynamics. I. A Covariant Formulation. » ''Phys. Rev.'' '''74''', 1439–1461 (1948)</ref>{{,}}<ref>{{En}} Julian Schwinger, « Quantum Electrodynamics. II. Vacuum Polarization and Self-Energy. » ''Phys. Rev.'' '''75''', 651–679 (1949)</ref>{{,}}<ref>{{En}} Julian Schwinger, « Quantum Electrodynamics. III. The Electromagnetic Properties of the Electron Radiative Corrections to Scattering. » ''Phys. Rev.'' '''76''', 790–817 (1949).</ref>, [[Richard Feynman]]<ref>{{En}} {{article|langue=En|prénom=Richard P.|nom=Feynman|titre=Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics|journal=[[Reviews of Modern Physics]]|volume=20|pages=367–387|année=1948|doi=10.1103/RevModPhys.20.367|bibcode=1948RvMP...20..367F|numéro=2}}</ref>{{,}}<ref>{{En}} {{article|langue=En|nom=Feynman|prénom=Richard P.|titre=A Relativistic Cut-Off for Classical Electrodynamics|journal=[[Physical Review]]|volume=74|numéro=8|pp=939–946|année=1948|doi=10.1103/PhysRev.74.939|bibcode=1948PhRv...74..939F}}</ref>{{,}}<ref>{{En}} {{article|langue=En|prénom=Richard P.|nom=Feynman|titre=A Relativistic Cut-Off for Quantum Electrodynamics|journal=[[Physical Review]]|volume=74|pages=1430–1438|année=1948|doi=10.1103/PhysRev.74.1430|bibcode=1948PhRv...74.1430F|numéro=10}}</ref> et [[Shin'ichiro Tomonaga]]<ref>{{En}} Shin'ichiro Tomonaga, « On a Relativistically Invariant Formulation of the Quantum Theory of Wave Fields. » ''Prog. Theor. Phys.'' '''1''', 27–42 (1946)</ref>{{,}}<ref>{{En}} Koba, Z., Tati, T. et Tomonaga, S. « On a Relativistically Invariant Formulation of the Quantum Theory of Wave Fields. II. » ''Prog. Theor. Phys.'' '''2''', 101–116 (1947)</ref>{{,}}<ref>{{En}} Koba, Z., Tati, T. and Tomonaga, S. « On a Relativistically Invariant Formulation of the Quantum Theory of Wave Fields. III. » ''Prog. Theor. Phys.'' '''2''', 198–208 (1947)</ref>{{,}}<ref>{{En}} Kanesawa, S. et Tomonaga, S. « On a Relativistically Invariant Formulation of the Quantum Theory of Wave Fields. IV. » ''Prog. Theor. Phys.'' '''3''', 1–13 (1948)</ref>{{,}}<ref>{{En}} Kanesawa, S. et Tomonaga, S. « On a Relativistically Invariant Formulation of the Quantum Theory of Wave Fields. V. » ''Prog. Theor. Phys.'' '''3''', 101–113 (1948)</ref>{{,}}<ref>{{En}} Koba, Z. et Tomonaga, S. (1948) « On Radiation Reactions in Collision Processes. I. » ''Prog. Theor. Phys.'' '''3''', 290–303</ref>{{,}}<ref>{{En}} Tomonaga, S. et [[Robert Oppenheimer|Oppenheimer, J. R.]] « On Infinite Field Reactions in Quantum Field Theory. » ''Phys. Rev.'' '''74''', 224–225 (1948)</ref>. 

En 1955, Lehmann, Symanzik et Zimmerman montrent comment obtenir, à partir d'une densité de lagrangien, les observables physiques de la [[matrice S|matrice de diffusion]] : c'est la {{lien|trad=LSZ_reduction_formula|fr=formule de réduction LSZ}}<ref>{{Article|langue=de|prénom1=H.|nom1=Lehmann|prénom2=K.|nom2=Symanzik|prénom3=W.|nom3=Zimmermann|titre=Zur Formulierung quantisierter Feldtheorien|périodique=Il Nuovo Cimento|volume=1|numéro=1|date=1955-01|issn=0029-6341|issn2=1827-6121|doi=10.1007/bf02731765|lire en ligne=https://link.springer.com/10.1007/BF02731765|consulté le=2018-08-10|pages=205–225.}}</ref>, qui va grandement faciliter le travail des théoriciens et des expérimentateurs, en traduisant les propriétés des théories quantiques en prédictions expérimentales. 

D'un côté, la renormalisation résout les difficultés effectives en faisant disparaître les infinis des résultats : ainsi, le calcul du [[moment magnétique anomal]] de l'électron et du [[décalage de Lamb]] atteignent un niveau de précision inégalé précédemment. De l'autre côté, la conséquence de cette approche est que certaines grandeurs, comme la charge et la masse de l'électron, ne peuvent pas être déduites de la théorie et doivent donc être fixées « de l'extérieur ». La théorie quantique des champs électromagnétiques, ou [[électrodynamique quantique]], ne peut donc pas prétendre au statut de théorie fondamentale car il demeure à expliquer les valeurs de ces paramètres.

=== Les théories de jauges et le modèle standard : 1950-1970 ===
{{Article détaillé|Modèle standard (physique des particules)|Théorie de jauge}}Le succès expérimental de l'électrodynamique quantique, et les résultats préliminaires de Fermi sur l'interaction faible, motivèrent la recherche d'autres phénomènes que la théorie quantique des champs pourrait expliquer. Une théorie se développe pour l'[[interaction forte]], et un lien est établi par [[Murray Gell-Mann]] entre les groupes de symétries et les théories quantiques des champs : c'est la notion de [[théorie de jauge]]. En associant les descriptions quantiques de l'électromagnétisme, de l'interaction faible et de l'interaction forte, on obtient une théorie renormalisable associée au groupe SU(3) × SU(2) × U(1), appelée « [[Modèle standard (physique des particules)|modèle standard »]]. 

Cette théorie (qui est bien plus qu'un modèle) a été développée par [[Sheldon Glashow]], [[Steven Weinberg (physicien)|Steven Weinberg]] et [[Abdus Salam]] entre 1959 et 1967, qui montrent notamment que l'interaction faible et l'interaction électromagnétique sont issues d'une même interaction, dite [[Interaction électrofaible|électrofaible]]. Puis par [[Frank Wilczek]], [[David J. Gross|David Gross]] et [[H. David Politzer|David Politzer]] qui expliquent en 1973 le comportement de l'interaction forte, introduisant la notion de [[liberté asymptotique]]. Enfin, les travaux de [[Peter Higgs]], [[François Englert]], [[Robert Brout]] permettent de comprendre le mécanisme par lequel certaines interactions, qui selon la théorie devraient avoir une portée infinie, ont en fait une portée très limitée : il s'agit d'un couplage à un champ scalaire, le [[Boson de Higgs|boson de Higgs-Englert-Brout]]. 

Ce champ scalaire apparaît du fait d'un mécanisme de [[brisure spontanée de symétrie]], dont [[Martinus Veltman|Martin Veltman]] et [[Gerard 't Hooft]] ont montré qu'il était renormalisable en 1971.
[[Fichier:YoichiroNambu.jpg|gauche|vignette|169x169px|[[Yoichiro Nambu]] (prix Nobel de physique 2008) a étudié le phénomène de brisure spontanée de symétrie dans les théories de jauge.]]
Le modèle standard permet de prédire l'existence de particules : six types de [[Lepton|leptons]] et six types de [[Quark|quarks]], chacune de ces 12 particules étant un [[fermion]] de [[spin]] 1/2 ; chaque interaction est associée à des particules de spin 1 : le [[photon]] pour l'interaction électromagnétique, les [[Boson W|bosons W]] et [[Boson Z|Z]] pour l'interaction faible, les [[Gluon|gluons]] pour l'interaction forte. Toutes les particules prédites par la théorie ont été mesurées expérimentalement ; le boson de Higgs, le dernier à avoir été confirmé, a été mesuré pour la première fois en 2011 au [[Grand collisionneur de hadrons|LHC]].

=== Depuis 1970 : physique de la matière condensée, champs conformes, axiomatisation, et questions ouvertes ===
{{Article détaillé|Théorie conforme des champs|Théorie quantique des champs axiomatique|Axiomes de Wightman}}Malgré les succès impressionnants des théories quantiques des champs, plusieurs questions et problèmes ont été soulevés, qui constituent aujourd'hui des axes de recherche encore ouverts.

D'une part la théorie s'est construite par ajouts successifs de mécanismes et d'outils, et il est naturel de chercher une description mathématique cohérente de cet ensemble. Les [[axiomes de Wightman]], proposés en 1956, cherchent à contraindre toute théorie des champs visant à décrire la nature ; des jeux d'axiomes alternatifs ont été proposés, par Haag-Araki en 1962, par Haag-Kastler, ou par Osterwalder-Schrader notamment.

L'intérêt d'une base axiomatique est la possibilité de démontrer formellement des résultats qui seraient autrement des observations expérimentales difficiles à expliquer, comme le [[théorème spin-statistique]] ou le [[théorème CPT]], et qui sont promus au rang de résultats généraux s'appliquant à toute théorie quantique des champs.

Au cours des années 1980, le point de vue a changé, avec la découverte notamment des phénomènes tels que l'[[Effet Hall quantique fractionnaire|effet Hall quantique]], dans lequel il n'y a pas de [[brisure spontanée de symétrie]]. Pour un tel système, c'est la [[topologie]] et non la géométrie qui est responsable de la physique observée. Dans le cas de l'effet Hall, une théorie des champs effective basée sur la [[théorie de Chern-Simons]] a pu être construite : la question fut alors posée de développer, pour les théories du modèle standard, si une telle extension était possible. 

D'un côté, cela a engendré tout un corps de recherche associé à [[Michael Atiyah]], [[Graeme Segal]], [[Edward Witten]], [[Richard Borcherds]] et [[Maxim Kontsevich]] qui cherchent à construire une théorie topologique des champs quantiques (TQFT). D'un autre côté, le développement de théories invariantes d'échelle, dites [[Théorie conforme des champs|théories conformes]], ont montré comment saisir de nombreux phénomènes physiques tels que les [[transitions de phase]], et au travers de la [[correspondance AdS/CFT]] dessinent un lien entre théories quantiques et cosmologie.

Enfin, les paramètres des théories (dont le modèle standard) sont encore mal compris, et il n'existe pas à l'heure actuelle de mécanisme permettant de [[Quantification (physique)|quantifier]] sans incohérences des théories comme la relativité générale ; associées à des difficultés mathématiques, comme le problème ouvert du [[Problèmes du prix du millénaire|gap de masse des théories de Yang-Mills]], ces questions poussent à la recherche de nouvelles approches ou de meilleurs outils.

== Principes ==

=== Motivations ===
La théorie quantique telle qu'initialement développée décrivait un ensemble de particules au moyen d'une [[fonction d'onde]] <math>\psi(r_1, \dotsc, r_n, t)</math>, qui permet de calculer la probabilité de mesurer une particule en un point donné de l'espace. Une telle fonction évolue dans le temps selon l'[[équation de Schrödinger]] : <math>\hat H \psi = \hat E \psi</math>, où <math>\hat H</math> est l'[[opérateur hamiltonien]] et <math>\hat E</math> est l'opérateur énergie.

Néanmoins, ce formalisme ne permet pas de capturer plusieurs phénomènes physiques, notamment :
* La création ou la disparition de particules, qui est observée expérimentalement dans les accélérateurs lors de collisions à hautes énergies, ou lors des processus de désintégration<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Anthony|nom1=Zee|titre=Quantum field theory in a nutshell|lieu=Princeton, N.J.|éditeur=[[Princeton University Press]]|année=2003|pages totales=518|passage=p. 3|isbn=0-691-01019-6|oclc=50479292|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/50479292}}</ref>.
* Les effets de la relativité, l'équation de Schrödinger étant définie dans le référentiel du laboratoire et n'étant donc pas [[Invariance de Lorentz|invariante de Lorentz]]. Ici encore, ces effets sont manifestes dans les accélérateurs de particules, mais également dans l'étude des [[Rayonnement cosmique|rayonnements cosmiques]], qui pénètrent l'atmosphère terrestre à des vitesses proches de celles de la lumière<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Claude Itzykson|auteur2=Jean-Bernard Zuber|titre=Quantum field theory|lieu=New York/London/Paris etc.|éditeur=McGraw-Hill International Book Co|année=1980|pages totales=705|passage=p. 47|isbn=0-07-032071-3|oclc=4494256|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/4494256}}</ref>.
* Les interactions avec les champs générés par les particules elles-mêmes posent des difficultés, et il n'est pas possible de décrire d'un seul tenant les particules et les champs qu'elles génèrent, par exemple s'il s'agit d'électrons en mouvement<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Jun John Sakurai|titre=Advanced quantum mechanics|éditeur=Addison-Wesley Pub. Co|année=1967|passage=Chapitre 1|isbn=978-0-201-06710-1|oclc=869733|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/869733}}</ref>.
Les tentatives de corriger l'invariance relativiste de l'équation de Schrödinger, qui ont donné lieu aux [[Équation de Klein-Gordon|équations de Klein-Gordon]], puis de [[Équation de Dirac|Dirac]], se heurtent en fait à une incohérence structurelle : une théorie relativiste de particules en interaction ne peut pas supposer un nombre constant de particules.

=== Théorie classique des champs ===
{{Article détaillé|Théorie des champs|}}La théorie classique de l'[[électromagnétisme]], décrite par les [[équations de Maxwell]], est relativiste. On peut déduire l'évolution d'un champ électromagnétique via le [[principe de moindre action]], c'est-à-dire que le champ effectivement observé physiquement rend minimal la quantité<math display="block">{\displaystyle {\mathcal {S}}[\phi]=\int {{\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,\phi,\partial_{\mu }\phi)\ \mathrm {d} ^{4}x}.}</math>appelée [[Action (physique)|action]], et calculée à partir du [[lagrangien]] associé au champ. Les méthodes variationnelles classiques donnent alors les équations de champ comme une solution aux [[Équation d'Euler-Lagrange|équations d'Euler-Lagrange]] :<math display="block">{\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \phi}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi)}}\right)=0}</math>

Ainsi, l'évolution du champ magnétique est déterminée par sa densité de lagrangien : <math display="block">\mathcal{L} = - \tfrac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} = - \tfrac{1}{2} (\partial_{\mu} A_{\nu}- \partial_{\nu} A_{\mu})(\partial^{\mu} A^{\nu} - \partial^{\nu} A^{\mu}).</math>

La théorie quantique des champs prend le même point de départ : une densité de lagrangien est fixée pour le champ d'intérêt. Cependant, au lieu de déterminer les équations d'évolution par le principe de moindre action, qui est un principe classique, un procédé de quantification est appliqué.

=== Quantification canonique et intégrales de chemin ===

==== Quantification canonique ====
{{Article détaillé|Seconde quantification|}}
[[Fichier:Aufenthaltswahrscheinlichkeit harmonischer Oszillator.png|vignette|220x220px|[[Densité de probabilité|Densités de probabilité]] pour un [[oscillateur harmonique quantique]], à différents niveaux d'énergie. Le champ libre peut s'interpréter, après quantification canonique, comme une collection continue de tels oscillateurs.]]
La [[quantification canonique]] (historiquement appelée seconde quantification), est une procédure permettant d'obtenir une théorie quantique à partir d'une théorie classique, en s'efforçant de conserver la structure de la théorie, notamment ses symétries, autant que possible. Le nom de seconde quantification vient de ce que la théorie quantique développée auparavant traitait les particules dans un cadre quantique, mais les champs (au travers de l'énergie potentielle) étaient encore classiques. Cette approche partielle, qualifiée de première quantification, laisse donc la place à un traitement intégralement quantique des phénomènes physiques.

La procédure de quantification canonique suit le principe suivant, dû initialement à Dirac : on associe au champ <math>\phi</math> le [[Mécanique hamiltonienne|moment canonique]] <math>\pi</math> via une [[Transformée de Legendre-Fenchel|transformée de Legendre]], puis <math>\phi</math> et <math>\pi</math> sont promus au rang d'opérateurs et dotés des relations de commutation canoniques :<math display="block">[\phi(x),\phi(y)] = 0 \qquad \ [\pi(x), \pi(y)] = 0 \qquad [\phi(x),\pi(y)] = i\hbar \delta(x-y).</math>

Illustrons ce mécanisme sur le champ libre classique, de densité lagrangienne<math display="block">{\mathcal {L}}(\phi )={\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}(\partial _{x}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}</math>En travaillant dans le [[Transformation de Fourier|domaine de Fourier]],<math display="block">  \phi_k = \int \phi(x) e^{-ikx}\,\mathrm dx, \ \ \pi_k = \int \pi(x) e^{-ikx}\, \mathrm dx </math>et puisque les champs sont à valeurs réelles, <math>\phi_{-k} = \phi_k^\dagger</math> et <math> \pi_{-k} = \pi_k^\dagger</math>. Le hamiltonien classique associé au champ <math>\phi</math> s'écrit<math display="block"> H=\frac{1}{2}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left[\pi_k \pi_k^\dagger + \omega_k^2\phi_k\phi_k^\dagger\right]</math>où on a posé <math>\omega_k = \sqrt{k^2+m^2}</math>. Autrement dit, il s'agit d'une collection d'[[Oscillateur harmonique|oscillateurs harmoniques]] indépendants. La quantification, via l'utilisation des relations de commutation canonique, donne alors le hamiltonien comme une collection d'[[Oscillateur harmonique quantique|oscillateurs quantiques]], et les [[Opérateur d'échelle|opérateurs d'échelle]] <math display="block"> a_k = \frac{1}{\sqrt{2\hbar\omega_k}}\left(\omega_k\phi_k + i\pi_k\right), \ \ a_k^\dagger = \frac{1}{\sqrt{2\hbar\omega_k}}\left(\omega_k\phi_k^\dagger - i\pi_k^\dagger\right)</math>permettent d'écrire l'[[opérateur hamiltonien]] ainsi :<math display="block"> H = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \hbar\omega_k a_k^\dagger a_k</math>Dans ce contexte, les opérateurs d'échelle s'interprètent donc comme la création ou la destruction d'une particule, et l'état de plus basse énergie est assimilé au [[Vide quantique|vide]]. Pour des champs en interaction, la notion de vide peut être plus complexe, entre autres parce que des [[Polarisation du vide|effets de polarisation]] apparaissent. 

La densité de lagrangien associée au champ libre en tant que théorie quantique est alors <math display="block">{\mathcal {L}_\mathrm{libre}}=(\partial _{\mu }\phi ^{\dagger })(\partial ^{\mu }\phi )-m^{2}\phi ^{\dagger }\phi. </math>

==== Intégrales de chemin ====
{{Article détaillé|Intégrale de chemin|}}Une approche alternative pour obtenir une théorie quantique des champs est la méthode des intégrales de chemin. Elle repose sur une reformulation du principe de moindre action, où ce n'est plus la trajectoire qui minimise l'action, car cette notion n'a plus de sens en mécanique quantique. À la place, on considère une somme pondérée sur toutes les trajectoires possibles, qui prend la forme d'une intégrale :<math display="block">Z \propto \int [\mathrm d\phi] \exp\left[ iS(\phi) \right]</math>ici, <math>\int [\mathrm d\phi]</math> désigne une intégrale prise sur ''toutes les configurations'' de champ possible. En pratique, cette quantité est calculée par un processus de limite, le champ étant découpé sur une grille de plus en plus fine. L'utilisation de [[Propagateur de l'équation de Schrödinger|propagateurs]] permet alors de calculer les propriétés recherchées, comme les probabilités de transition.

Parmi les intérêts de cette approche, elle rend visible l'[[invariance de Lorentz]] dans les équations, car les coordonnées de temps et d'espace y jouent un rôle très clairement identique, ce qui n'est pas du tout clair dans la formulation de la quantification canonique. L'utilisation du formalisme lagrangien, plutôt que hamiltonien, laisse également au physicien une intuition parfois plus claire. En revanche, d'autres propriétés sont moins évidentes, comme la conservation de la probabilité. 

Quoi qu'il en soit, on sait aujourd'hui que les deux approches, quantification canonique et intégrales de chemin, sont équivalentes.

=== Dynamique des champs quantiques ===

==== Champ quantique libre ====
{{Article détaillé|Espace de Fock|}}La quantification canonique du champ libre donne un hamiltonien qui correspond à une collection d'oscillateurs harmoniques, dont l'énergie totale est conservée : il s'agit de la somme des énergies individuelles de chaque particule. Ces particules n'interagissent pas, et évoluent librement ; leur nombre est conservé car aucun processus d'interaction ne vient les détruire ni en ajouter. Cette conservation n'est pas imposée a priori, comme c'était le cas avec l'approche quantique à base de fonction d'onde : il s'agit d'un résultat des équations de champ obtenues.

Ainsi ce champ peut être décrit en termes de nombre d'occupation, c'est-à-dire la donnée, pour chaque [[niveau d'énergie]], du nombre de particules qui occupent ce niveau. Ces particules sont indiscernables : elles n'interviennent dans la théorie qu'au travers de leur niveau d'énergie ; par exemple, échanger deux particules n'a aucun effet physique et ne constitue donc pas un état différent. Par ailleurs, il n'y a pas de contrainte sur le nombre de particules qui peuvent occuper un niveau d'énergie : le [[principe d'exclusion de Pauli]] ne s'applique pas, et le champ libre héberge donc des [[Boson|bosons]].

Il est possible d'obtenir un champ libre de [[Fermion|fermions]] : lors du processus de quantification, ce sont des règles d'anti-commutation qui sont imposées (ou, par la méthode des intégrales de chemin, l'utilisation de [[Grassmannienne|variables grassmanniennes]]).

==== Théorème spin-statistique ====
{{Article détaillé|Théorème spin-statistique|}}Un des résultats que permet de montrer la théorie des champs est le théorème spin-statistique, qui dit ceci : les particules de spin entier sont des bosons, et les particules de spin demi-entier sont les fermions. Formulé d'abord en 1939 par Markus Fierz et Wolfgang Pauli<ref>{{Ouvrage|langue=de|prénom1=Wolfgang|nom1=Pauli|prénom2=Markus|nom2=Fierz|titre=Wolfgang Pauli|éditeur=Vieweg+Teubner Verlag|année=1988|passage=487–490|isbn=978-3-322-90271-9|isbn2=9783322902702|doi=10.1007/978-3-322-90270-2_45|lire en ligne=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-322-90270-2_45|consulté le=2018-03-30}}</ref>{{,}}<ref>{{Article|langue=en|prénom1=Wolfgang|nom1=Pauli|titre=On the Connection between Spin and Statistics|périodique=Progress of Theoretical Physics|volume=5|numéro=4|date=1950-07-01|issn=0033-068X|doi=10.1143/ptp/5.4.526|lire en ligne=https://academic.oup.com/ptp/article/5/4/526/1926173|consulté le=2018-03-30|pages=526–543}}</ref>, ce principe a d'abord été vérifié sur les théories de champs libres, mais ils ne pouvaient pas le démontrer en général. Une première preuve générale est donnée par Julian Schwinger en 1950<ref>{{Article|langue=Anglais|prénom1=Julian|nom1=Schwinger|titre=The Theory of Quantized Fields. I|périodique=Physical Review|volume=82|numéro=6|date=1951|doi=10.1103/physrev.82.914|lire en ligne=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.82.914|consulté le=2018-03-30|pages=914–927}}</ref>, et depuis plusieurs dizaines de preuves ont été établies<ref>{{Article|langue=en|prénom1=Arthur|nom1=Jabs|titre=Connecting Spin and Statistics in Quantum Mechanics|périodique=Foundations of Physics|volume=40|numéro=7|date=2010-07-01|issn=0015-9018|issn2=1572-9516|doi=10.1007/s10701-009-9351-4|lire en ligne=https://link.springer.com/article/10.1007/s10701-009-9351-4|consulté le=2018-03-30|pages=776–792}}</ref> qui cherchent entre autres à satisfaire le souhait de Feynman qu'un principe aussi facile à énoncer puisse être aisé à expliquer<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Richard Feynman|titre=The Feynman lectures on physics|volume=III|éditeur=Addison-Wesley Pub. Co|année=1965|pages totales=400|isbn=978-0-201-02118-9|oclc=531535|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/531535}}</ref>.

==== Champs quantiques en interaction ====
Les interactions entre particules sont la conséquence de non linéarités dans le champ quantifié, sous la forme par exemple de produits du champ dans le lagrangien ou dans le hamiltonien. La quasi-totalité des théories d'intérêt en physique sont des théories avec des interactions. Par exemple :
* L'[[Potentiel de Yukawa|interaction de Yukawa]], qui se manifeste entre les [[Nucléon|nucléons]] dans un [[noyau atomique]], est décrite par l'interaction entre un champ décrivant le nucléon, noté <math>\psi</math>, et un champ décrivant le [[Pion (particule)|méson <math>\pi</math>]] noté <math>\phi</math>. Cette interaction est capturée par un terme proportionnel à <math>\phi\bar\psi\psi</math>.
* Le [[Champ de Higgs électrofaible|champ de Higgs]], associé au [[Boson de Higgs|boson H]], est décrit par un champ <math>\Phi</math> qui interagit avec lui-même, selon un terme proportionnel à <math>\Phi^4</math>en première approximation (voir ci-dessous « théorie φ<sup>4</sup> »).
* L'[[interaction électromagnétique]], associée au [[photon]], agit sur les particules chargées selon un terme proportionnel à <math>A_\mu \bar \psi \gamma^\mu \psi </math>.
On associe à ces produits une constante numérique, appelée [[constante de couplage]], qui mesure l'intensité relative de l'interaction. En général, il n'est pas possible de calculer exactement les solutions pour un champ en interaction. Plutôt, des approximations successives sont obtenues en tronquant un développement en [[Série (mathématiques)|séries]] où les puissances des constantes de couplage apparaissent : c'est l'approche perturbative. Cette méthode fonctionne bien pour l'interaction électromagnétique, car la [[Constante de structure fine|constante de couplage électromagnétique]] aux basses énergies est petite, <math>\alpha \approx 1/137</math>, et les puissances de ce nombre tendent rapidement vers 0. Ce n'est pas le cas des autres interactions, et il n'est pas en général possible de traiter les champs en interaction complètement par le seul moyen d'une approche perturbative.

== Outils et phénomènes apparentés ==

=== Diagrammes de Feynman ===
{{Article détaillé|Diagramme de Feynman|Théorie de la perturbation (mécanique quantique)}}Dans une expérience de collision, des particules sont préparées dans un état initial, puis accélérées afin de subir des collisions à hautes énergies. Les produits de la collision sont alors mesurés. Une des grandeurs importantes est donc la probabilité de mesurer un certain état final, étant donné un certain état initial. On peut ramener cette question au calcul d'une [[matrice S]] (matrice de diffusion ou de « ''scattering'' »), qui donne alors la probabilité recherchée au travers de l'amplitude <math>\langle \psi_\mathrm{initial} | S | \psi_\mathrm{final}\rangle</math>.
Cette matrice <math>S</math> n'est en général pas connue, mais peut être exprimée comme un développement perturbatif du hamiltonien d'interaction au travers de la [[série de Dyson]], ou plus prosaïquement : <math display="block">S=1-ig\hat H_\text{int} -g^2\hat H_\text{int}^2 + \ldots</math>où <math>g</math> est la constante de couplage, supposée faible.

Le physicien américain Richard Feynman a proposé en 1948 un ensemble de règles permettant d'effectuer ce calcul de probabilités au travers de diagrammes, qui portent aujourd'hui son nom. Suivant la philosophie de l'intégrale de chemin, et conservant un caractère intuitif, la démarche consiste à établir pour un processus donné tous les scénarios possibles ayant le même état initial et le même état final. Tous ces scénarios ne sont pas aussi probables les uns que les autres, ils sont donc pondérés en conséquence. Négliger les scénarios les moins probables revient à tronquer le développement perturbatif à un certain ordre. Ainsi, le [[Diffusion Compton|processus de diffusion Compton]], dans lequel un électron et un photon interagissent, se décompose en plusieurs diagrammes :[[Fichier:ComptonScattering.svg|centré|sans_cadre|494x494px]]Dans chaque diagramme, l'électron est représenté par une ligne pleine fléchée, et le photon par une ligne ondulée. Les particules créées et absorbées au cours de l'interaction, qui n'apparaissent pas dans l'état final, sont dites [[Particule virtuelle|virtuelles]]. Elles ne sont pas mesurables dans le laboratoire, mais contribuent au calcul de la probabilité totale.

L'ordre du diagramme correspond au nombre de nœuds, ainsi dans l'illustration ci-dessus les deux premiers diagrammes sont d'ordre 2, et le troisième diagramme est d'ordre 4. Les diagrammes d'ordre supérieur contribuent des corrections de plus en plus petites à la probabilité recherchée, lorsque la constante de couplage est assez faible.

Les diagrammes de Feynman constituent ainsi un outil privilégié en théorie quantique des champs<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Brian Martin|auteur2=Graham Shaw|titre=Particle physics|éditeur=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|année=2008|passage=p. 9|isbn=978-0-470-03293-0|oclc=230916885|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/230916885}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Martinus Veltman|titre=Diagrammatica|sous-titre=the path to Feynman rules|lieu=Cambridge|éditeur=Cambridge university press|année=1994|pages totales=284|passage=Introduction|isbn=978-0-521-45692-0|isbn2=0-521-45692-4|oclc=873806519|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/873806519}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=James Bjorken|titre=Relativistic quantum fields|éditeur=McGraw-Hill|année=1965|passage=Préface|isbn=978-0-07-005494-3|oclc=939866|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/939866}}</ref>. Toutefois, ils ne sont utilisables que dans les contextes où un développement perturbatif est possible, ce qui n'est pas le cas pour l'étude du [[Confinement de couleur|confinement en QCD]] par exemple, ni pour le traitement de solutions localisées comme les [[Soliton|solitons]] ou les [[Instanton|instantons]] de certaines théories.

=== Renormalisation ===
{{Article détaillé|Renormalisation|Groupe de renormalisation}}
[[Fichier:Polarization.svg|vignette|229x229px|Une charge électrique « nue » cause une [[polarisation du vide]] : les [[Particule virtuelle|paires virtuelles]] particule-antiparticule sont polarisées, faisant ainsi écran à la charge réelle (divergente) de la particule.]]
L'approche perturbative possède en fait des limites même dans le régime où les interactions sont faibles. Dans le développement en diagrammes de Feynman du processus de diffusion Compton ci-dessus, le troisième diagramme est en fait divergent<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Michael Peskin|titre=An Introduction To Quantum Field Theory|lieu=Reading (Mass.)/Menlo Park (Calif.)/Paris etc.|éditeur=Westview Press|année=1995|pages totales=842|passage=p. 261|isbn=0-201-50397-2|oclc=741492433|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/741492433}}</ref>.

La technique de renormalisation a été développée pour éliminer ces divergences, ne laissant derrière que des quantités finies et physiquement mesurables. L'idée clé est que les divergences proviennent d'une extrapolation à des échelles arbitrairement petites (ou, ce qui revient au même, à des échelles d'énergies arbitrairement grandes). Par exemple, le diagramme divergent en question fait apparaître la [[self énergie]] de l'électron, en tant que sous-diagramme :
[[Fichier:SelfE.svg|centré|sans_cadre|220x220px]]
Ici l'électron émet un photon, qui est immédiatement réabsorbé. Il faut ajouter toutes les contributions provenant des positions et moments que peuvent prendre ces particules dans ce scénario, ce qui donne une self énergie<math display="block">\Sigma=e_0^2\int \mathrm d^4k\frac{k_\mu\gamma^\mu+m_0}{(k^2+m_0^2)(k-p)^2}\sim\int_0^\infty \mathrm d|k|\,\frac{|k|^4}{|k|^4}</math>Or cette expression est divergente. Cet infini est non physique{{note|groupe=Note|texte=Remarquablement, l'énergie dans le champ issu d'une source sphérique est divergent aussi bien en théorie classique des champs qu'en théorie quantique des champs, mais dans cette dernière la divergence est bien plus tempérée, avec une croissance logarithmique en le rayon de la sphère.}}, et peut être évité par l'approche suivante (dont l'intuition se retrouve chez Stueckelberg et Bethe) formalisée par Schwinger, et systématisée par Feynman, Dyson, et Tomonaga : elle consiste à redéfinir la masse et la charge de l'électron qui interviennent dans cette équation, <math>e_0</math> et <math>m_0</math>. On obtient une [[Régularisation (physique)|théorie régularisée]], qui n'est plus aussi précise, mais qui ne possède plus de divergences. Les valeurs de <math>e_0</math> et <math>m_0</math> utilisées, qui ne correspondent pas à ce qui est mesuré sur les particules, sont dites « nues » : les inévitables interactions avec le champ alentour modifiant la quantité mesurée. Seules les valeurs nues sont fondamentales, et les quantités définies en termes de ces valeurs ne divergent pas<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=P. V. Nair|titre=Quantum field theory|sous-titre=a modern perspective|éditeur=Springer Business+Science Media|année=2005|pages totales=557|passage=Chapitre 9.5|isbn=0-387-21386-4|oclc=262680386|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/262680386}}</ref>.

Cette manière d'éliminer les divergences, appelée [[renormalisation]], donne en pratique d'excellents résultats. Mais plus fondamentalement, elle informe sur la nature des divergences dans les théories quantiques des champs. Il arrive qu'il ne soit pas possible d'absorber ainsi dans les paramètres de la théorie les phénomènes de divergence. On distingue ainsi les théories des champs « renormalisables » de celles qui ne le sont pas. En particulier, les théories du modèle standard sont renormalisables, mais ce n'est pas le cas de la théorie de la relativité générale par exemple.

=== Symétries ===

==== Théories de jauge ====
{{Article détaillé|Théorie de jauge|Groupe de jauge|Boson de jauge|Théorème de Goldstone|Théorie de Yang-Mills}}
[[Fichier:Standard Model of Elementary Particles.svg|vignette|220x220px|Modèle standard des particules fondamentales. Les bosons de jauge, vecteurs des interactions, sont entourés en rouge à droite.]]
Dans la théorie classique de l'électromagnétisme, le [[potentiel vecteur]] jouit d'une propriété remarquable appelée [[invariance de jauge]]. Concrètement, on peut ajouter le gradient d'une fonction arbitraire au potentiel vecteur, cela n'a aucun effet sur les équations d'évolution des champs et donc sur la physique. Cette invariance s'interprète comme une [[symétrie locale]] de la théorie, qui doit être prise en compte de même que les symétries globales lors de la quantification. Pour l'électromagnétisme, ou sa version quantifiée l'[[électrodynamique quantique]], cette symétrie correspond au groupe <math>U(1)</math> qui est [[Groupe commutatif|commutatif]] et de rang 1, dit [[groupe de jauge]] de l'électromagnétisme.

La symétrie est capturée lors de la quantification par la présence d'un champ de jauge, dont les particules correspondent aux générateurs du groupe de jauge : dans le cas de l'électromagnétisme, <math>U(1)</math> est engendré par un seul élément, qui correspond au [[photon]]. Une [[théorie de jauge]] est ainsi une théorie quantique des champs dans laquelle l'interaction est portée par les particules d'un champ de jauge, dont on peut montrer qu'elles sont des [[Boson de jauge|bosons]]. 

Dans le cas général, le groupe de jauge n'est pas nécessairement commutatif, c'est notamment le cas des [[Théorie de Yang-Mills|théories de Yang-Mills]]. Le boson de jauge dans le cas non commutatif porte lui-même une charge (contrairement au cas commutatif, où le photon par exemple est neutre). Les couleurs{{Note|texte=On parle de couleur, ou de charge de couleur, pour indiquer la possibilité d'avoir plus que deux états sans qu'il y ait de rapport hiérarchique entre eux. Bien entendu, la « couleur » en physique des particules n'a aucun rapport avec la couleur au sens habituel du terme.|groupe=Note}} de particules correspondent à la [[représentation fondamentale]] du groupe, et les bosons de jauge à la [[représentation adjointe]]. Ainsi pour le groupe <math>SU(3)</math>, il y a trois couleurs de particules (les [[Quark|quarks]]) et 8 couleurs de bosons de jauge (les [[Gluon|gluons]]), ces derniers correspondant aux [[matrices de Gell-Mann]].

Le modèle standard est une théorie de jauge, pour le groupe de symétrie <math>U(1) \times SU(2) \times SU(3)</math>, et d'une manière générique les théories de jauges ont de bonnes propriétés mathématiques et physiques. La [[théorie de la relativité générale]] peut aussi être formulée comme une théorie de jauge, associée à la conservation de l'énergie et de l'impulsion ; il ne s'agit toutefois pas d'une théorie renormalisable.

==== Brisure spontanée de symétrie et origine de la masse ====
{{Article détaillé|Brisure spontanée de symétrie|Mécanisme de Brout-Englert-Higgs-Hagen-Guralnik-Kibble|Boson de Higgs}}[[Fichier:Mecanismo de Higgs PH.png|vignette|Potentiel de Higgs abélien <math>V(\Phi, z) = \lambda(|z|^2 - \Phi^2)^2</math>. Ce potentiel en « chapeau mexicain » est typique : la valeur λ étant fixée, on obtient un potentiel symétrique, mais dont la valeur centrale est instable. Un minimum donné est excentré, bien que les minima soient dégénérés et dans leur ensemble préservent la symétrie.|196x196px]][[Fichier:Electroweak.svg|vignette|Illustration des symétries issues de l'[[isospin faible]] T<sub>3</sub>, et de l'[[hypercharge faible]] Y<sub>W</sub>, pour les particules élémentaires connues, avec leur [[charge électrique]] ''Q'' en fonction de l'[[angle de mélange électrofaible]]. Les quatre composantes du champ de Higgs, représentées par des carrés, brisent la symétrie électrofaible et interagissent avec les autres particules, les dotant d'une masse. Trois de ces quatre composantes deviennent après brisure une partie des bosons massifs [[Boson W|W]] et [[Boson Z|Z]]. Les produits de décomposition du [[Boson de Higgs|boson de Higgs neutre]] H, représentés par des cercles, conservent la charge électrofaible.|220x220px]]L'existence de symétries exactes pour les théories de jauge garantit que les bosons de jauge sont sans masse. Or l'expérience montre que l'interaction faible et forte sont de portée limitée, de l'ordre du femtomètre, ce qui semble en contradiction avec une masse nulle. De même, les fermions qui composent la matière{{Note|groupe=Note|texte=À l'heure actuelle, dans le modèle standard, les composants élémentaires de la matière sont tous des fermions. Mais il n'y a pas de justification théorique à cette observation, et il n'est pas en principe impossible qu'à l'avenir certains composants aujourd'hui « élémentaires » se révèlent composés, et que certains de leurs constituants s'avèrent être des bosons.}} devraient posséder une masse nulle, une prédiction également en violent contraste avec l'expérience. 

La solution fut trouvée par le concours de trois groupes indépendants de chercheurs dans les années 1960 : Robert Brout et François Englert; Peter Higgs; et Gerald Guralnik, C. R. Hagen et Tom Kibble. Il s'agit du [[mécanisme de Brout-Englert-Higgs-Hagen-Guralnik-Kibble]], qui a valu à Brout et Englert le [[prix Nobel de physique]] en 2013, un an après que le CERN a annoncé la découverte expérimentale du [[boson de Higgs]] prédit par ce mécanisme.

L'idée clé est d'expliquer l'acquisition de la masse des bosons de jauge comme un phénomène de [[brisure spontanée de symétrie]], s'étant produit avec le refroidissement de l'Univers. Dans ce scénario, un champ dit [[Champ de Higgs électrofaible|de Higgs]] initialement compatible avec les symétries de jauge et couplé aux bosons présente progressivement une instabilité centrale en « chapeau mexicain » : de manière analogue au [[flambage]] d'une poutre sous la pression, des conditions symétriques donnent lieu à une solution asymétrique de plus basse énergie. Cette asymétrie se manifeste mathématiquement comme un terme quadratique analogue à un terme de masse, et en ce sens la brisure de symétrie dote les bosons de jauge d'une masse non nulle.

S'agissant d'un phénomène géométrique, tous les bosons ne sont pas affectés identiquement. Par exemple, le modèle standard décrit aujourd'hui l'interaction électromagnétique (dont les bosons de jauge, les photons, sont sans masse) et l'interaction faible (dont les bosons sont massifs) comme le résultat d'une brisure spontanée de symétrie sur une [[interaction électrofaible]] dont tous les bosons sont sans masse. L'unification électrofaible a valu à [[Sheldon Glashow]], [[Abdus Salam]] et [[Steven Weinberg (physicien)|Steven Weinberg]] le [[prix Nobel de physique]] en [[1979]].

Le mécanisme exact de brisure de symétrie dans le cas électrofaible peut être décrit en analysant le lagrangien correspondant, mais il est souvent plus pratique de travailler sur un modèle simplifié, comme la théorie φ<sup>4</sup> décrite plus bas, pour développer les outils et l'intuition physique du phénomène.

Notons enfin que le mécanisme de brisure de symétrie n'apporte pas de réponse quant aux grandes différences de masse observées parmi les particules élémentaires, notamment entre le quark le plus léger et le plus lourd, et ne donne pas de borne inférieure sur les masses pouvant apparaître dans la théorie. La preuve de l'existence d'un gap de masse dans les théories des champs quantiques constitue l'un des [[problèmes du prix du millénaire]].

==== Théorème CPT ====
{{Article détaillé|Théorème CPT|Symétrie C|Symétrie P|Symétrie T}}Trois symétries discrètes jouent un rôle particulier dans les théories quantiques des champs. Il s'agit de la [[Symétrie T|symétrie de renversement du temps]], notée ''T'' ; de la [[Symétrie P|symétrie de renversement de l'espace]], notée ''P'' ; et de la [[Symétrie C|symétrie de renversement des charges]], notée ''C''. Un théorème, initialement démontré par Schwinger en 1951 (puis développé et raffiné par Lüders, Pauli, Bell et d'autres) montre qu'une application simultanée des trois symétries ''C'', ''P'' et ''T'' laisse toutes les observables invariantes : autrement dit, il n'est pas possible de distinguer notre univers d'un univers identique auquel on aurait appliqué une symétrie ''CPT''. Ce résultat fondamental porte le nom de [[Théorème CPT|théorème ''CPT'']] (ou parfois théorème de Lüders-Pauli) et repose sur des hypothèses minimales d'[[invariance de Lorentz]] et de localité{{Note|groupe=Note|texte=Le théorème ''CPT'' est également une conséquence des [[axiomes de Wightman]] et s'applique donc à de nombreuses théories de champs.}}.

On pourrait croire qu'il en est de même pour une symétrie prise indépendamment, par exemple ''P''. Cependant, des expériences des années 1950 sur l'interaction faible (notamment l'[[expérience de Wu]] sur la [[Radioactivité β|désintégration bêta]] du [[cobalt 60]]) montrent que la symétrie ''P'' est violée. De même, l'application d'une symétrie ''C'' uniquement aurait pu laisser les lois de la physique invariantes, mais une telle symétrie transforme par exemple un [[neutrino]] de [[Chiralité#En physique des particules|chiralité]] gauche en un antineutrino de chiralité gauche, or ce dernier n'interagit pas dans le modèle standard. Ainsi ''C'' est également violée. 

Enfin, la symétrie composée ''CP'' est également violée{{Note|groupe=Note|texte=Puisque ''CP'' est violée mais que ''CPT'' est conservée, parler de violation de symétrie ''CP'' est équivalent à parler de violation de symétrie ''T''.}}, un résultat découvert en 1964 et qui a valu à [[James Watson Cronin]] and [[Val Fitch]] le prix Nobel de physique 1980. Leur expérience s'appuie sur l'existence des [[Kaon|kaons neutres]], qui peuvent se transformer en leur propre antiparticule (chaque quark devenant l'anti-quark de l'autre), mais avec une probabilité différente dans un sens et dans l'autre. Ces violations de la symétrie ''CP'' ont depuis été confirmées, par exemple dans les expériences [[Expérience NA31|NA31]], [[Expérience NA48|NA48]] du CERN, ou [[Expérience KTev|KTev]] du Fermilab, et d'autres violations de ''CP'' ont été obtenues sur les [[Méson B|mésons B]] dans les expériences [[Expérience BaBar|BaBar]] et [[BELLE (expérience)|Belle]] au début des années 2000. Mathématiquement, l'existence de la violation ''CP'' est capturée par les matrices de mélange ([[matrice CKM]] et [[Matrice PMNS|PMNS]]) ; à l'heure actuelle aucune théorie n'explique les valeurs mesurées expérimentalement pour ces matrices.

De manière intéressante, expérimentalement, aucune violation de ''CP'' n'est observée pour les processus dépendants de l'interaction forte (décrite en théorie des champs par la chromodynamique quantique). Rien n'interdit pourtant une telle violation dans le lagrangien de QCD, et l'absence de violation apparaît en fait comme un ajustement particulièrement heureux de paramètres : on parle du « problème ''CP'' de l'interaction forte ». Le modèle standard n'explique pas ce phénomène, qui constitue l'une des motivations (et une des contraintes) pour les théories alternatives.

==== Symétries approchées ====
{{Article détaillé|Isospin|Isospin faible}}
[[Fichier:Baryon-octet.svg|vignette|Si les masses des trois [[Quark|quarks]] ''u'', ''d'' et ''s'' étaient identiques, il y aurait une symétrie de [[Saveur (physique)|saveur]], qui porterait sur les [[Baryon|baryons]] légers : [[proton]], [[neutron]] et [[Baryon Sigma|Σ]]. En réalité, les quarks ont des masses différentes, et la symétrie n'est donc pas parfaite. Néanmoins la symétrie approchée permet une classification des particules.|220x220px]]Peu après la découverte du neutron, dont la masse est sensiblement similaire à celle du proton, Heisenberg a proposé un modèle dans lequel proton et neutron sont deux états d'une même particule, ce qui donnerait un mécanisme par lequel un proton se transforme en neutron ou vice versa.  Par analogie avec le spin électronique, Wigner a introduit le terme de spin isotopique, ou « [[isospin]] » pour décrire cette théorie. 

Avec la découverte au cours du {{S|XX}} de nombreux [[Hadron|hadrons]] et [[Méson|mésons]], l'idée de les regrouper par masse et de les traiter comme des multiplets d'isospin a été un des principes classificateurs qui a finalement abouti à la théorie des quarks. L'isospin est une symétrie de l'interaction forte sous l'action de [[SU(2)]], dont le traitement mathématique est analogue à celui du spin électronique et se généralise bien à des multiplets plus larges, et peut être adaptée à d'autres contextes (comme l'[[isospin faible]] pour les [[Boson W|bosons W]]). 

On sait cependant que la masse du neutron diffère de celle du proton (ce qui correspond à une différence de masse entre les quarks up et down, et aux effets de l'interaction électromagnétique) ; par ailleurs les quarks ''s, c, b, t'' découverts depuis ont des masses encore très différentes. Il n'est donc pas possible d'étendre l'isospin à tous les quarks, car une théorie SU(6) fournirait des prédictions qualitativement et quantitativement incorrectes.

Néanmoins, les symétries approchées restent des outils utiles pour simplifier ou comprendre une théorie des champs.

==== Supersymétrie ====
{{Article détaillé|Supersymétrie}}La supersymétrie est une symétrie ''supposée'' entre fermions et bosons. Elle associe à chaque particule d'un type une particule partenaire de l'autre type. 

Comme l'isospin, il s'agit d'abord d'un principe classificateur, qui permettrait de regrouper la compréhension de plusieurs phénomènes ; une première version de la supersymétrie fut proposée par Miyazawa en 1966, entre mésons et baryons. Cependant le [[théorème de Coleman-Mandula]] interdit l'introduction de nouvelles symétries scalaires au [[groupe de Poincaré]]. 

Néanmoins autour de 1971 différents physiciens saisissent et corrigent l'idée (Gervais-Sakita en 1971, Golfand-Likhtman en 1971, Volkov-Akulov en 1972, Wess et Zumino en 1974), ce qui permit notamment d'en dégager la structure mathématique. En 1975, le [[théorème de Haag-Łopuszański-Sohnius]] légitime ces efforts et montre qu'il est possible dans une certaine mesure de contourner le théorème de Coleman-Mandula, au prix de remplacer l'[[algèbre de Lie]] des symétries par une [[superalgèbre de Lie]], les nouvelles symétries correspondant à l'ajout de [[Spineur|spineurs]]. C'est une justification ''a posteriori'' de la cohérence de la théorie de Wess-Zumino, la première théorie supersymétrique renormalisable.

En 1977, Fayet propose une [[Théorie MSSM|extension minimale du modèle standard]] pour y incorporer la supersymétrie, et prédit l'existence de nombreuses particules super-partenaires. Même si aucune des particules super-partenaires supposées n'ont aujourd'hui été observées dans les expériences de collisionneur, l'élégance théorique de la supersymétrie en fait un candidat sérieux et un outil efficace, qui motive également des travaux mathématiques (l'étude des superalgèbres de Lie gradées).

Les modèles supersymétriques sont contraints par l'expérience à basse énergie : la mesure du [[moment magnétique anomal]] du [[muon]] ([[Fermilab]]), la densité de matière noire ([[Wilkinson Microwave Anisotropy Probe|WMAP]]), les détecteurs directs (XENON-100 et LUX). Ils sont également contraints par les expériences de collision au [[LHCb|LHC]], [[Tevatron]] et au [[Grand collisionneur électron-positron|LEPC]]. Les [[Expérience UA1|expériences UA1]] et [[Expérience UA2|UA2]] effectuées au SPS du [[CERN]] ont posé des limites sur les masses des [[Squark|squarks]] et des gluinos (partenaires supersymétriques des quarks et gluons respectivement), plus tard renforcées par le LEP, puis par l'expérience D0 du Tevatron en 2006. Les résultats de WMAP montrent qu'une théorie supersymétrique doit inclure un mécanisme réduisant fortement la densité de neutralinos (le partenaire du neutrino) sans quoi ils ne peuvent expliquer la densité de matière noire observée.

Les expériences du LHC, qui ont permis la découverte du [[boson de Higgs]] en 2011-2012 à 125 GeV, ont également confirmé un couplage aux fermions et au boson cohérents avec le modèle standard, sans trace de superpartenaires<ref>{{Article|langue=en|prénom1=Chengcheng|nom1=Han|prénom2=Ken-ichi|nom2=Hikasa|prénom3=Lei|nom3=Wu|prénom4=Jin Min|nom4=Yang|titre=Status of CMSSM in light of current LHC Run-2 and LUX data|périodique=Physics Letters B|volume=769|date=2017-6|doi=10.1016/j.physletb.2017.04.026|lire en ligne=https://arxiv.org/abs/1612.02296|consulté le=2018-08-07|pages=470–476}}</ref>. La théorie MSSM peine à expliquer l'absence de détections de superpartenaires à une telle énergie, qui nécessite pour s'accommoder de l'expérience d'importantes corrections radiatives des squarks stop (de l'ordre du TeV). Ces corrections n'étant pas motivées théoriquement, le [[pouvoir explicatif]] de cette théorie particulière s'en voit fortement diminué. Des expériences sont en cours pour contraindre davantage les théories supersymétriques, telles que XENON-1T.

== Théories quantiques des champs ==

=== Champ libre ===
En l'absence d'interactions, on obtient une théorie quantique du champ libre, correspondant au lagrangien de Klein-Gordon avec source :

<math display="block">\mathcal L_\textrm{libre} = J\phi - \frac12 \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi - \frac12 m^2 \phi^2</math>

Dans cette équation, <math>J</math> est un terme source d'origine externe, et <math>m</math> est la masse de la particule considérée. Pour obtenir les grandeurs d'intérêt physique, on porte attention à l'amplitude de diffusion, obtenue via la [[formule de réduction LSZ]] :

<math display="block">Z_0 = \langle 0 | 0 \rangle = \int \mathcal D\phi\, \exp\left( i \int \mathrm d^4x\, \mathcal L \right)</math>où l'état <math>|0\rangle</math>est le vide de la théorie. Pour évaluer cette amplitude, qui dépend a priori de <math>J</math>, on considère les [[Transformée de Fourier|transformées de Fourier]] <math>\hat \phi</math>et <math>\hat J</math>de <math>\phi</math>et <math>J</math>respectivement, et on pose <math>\hat \varphi(k) = \hat \phi(k) - \frac{\hat J(k)}{k^2 + m^2}</math>, ce qui permet d'écrire<math display="block">\int \mathrm d^4x\,\mathcal L = \frac12 \int \frac{\mathrm d^4k}{(2\pi)^4} \left( \frac{\hat J(k)\hat J(-k)}{k^2+m^2} - \hat\varphi(k)(k^2 + m^2)\hat\varphi(-k)\right)</math>Puisque <math>\mathcal D\phi = \mathcal D\varphi</math>on obtient alors <math>Z_0(J = 0) = 0</math>et

<math display="block">Z_0(J) = \exp \left( \frac{i}{2}\int \mathrm d^4x\,\mathrm d^4y\, J(x)\Delta(x -y)J(y) \right)</math>

où <math>\Delta</math>est le [[propagateur de Feynman]], qui est une [[fonction de Green]] pour l'[[équation de Klein-Gordon]]. On obtient ainsi, par exemple, que <math>\langle 0| \mathrm T \phi(x)\phi(y) | 0 \rangle = -i \Delta(y - x)</math>, qui est un cas particulier du [[théorème de Wick]]. Sans surprise, dans une théorie de champ libre, les particules se propagent indépendamment les unes des autres. Ainsi, on connaît toutes les solutions exactes de la théorie : l'[[espace de Hilbert]] est l'[[espace de Fock]] des états à plusieurs particules créés à partir du vide <math>|0\rangle</math>.

=== Théorie φ<sup>4</sup> ===
La plus simple théorie quantique décrivant des champs neutres (scalaires) en interaction fait apparaître un terme d'ordre 4, c'est la « théorie φ<sup>4</sup> ». Si elle n'est pas motivée par une réalité physique, cette théorie simple présente déjà de nombreux phénomènes intéressants (dont une brisure spontanée de symétrie) et peut servir de modèle approché pour comprendre les interactions plus complexes des théories physiques. Des solutions exactes à cette théorie sont connues<ref>{{Article|langue=en|prénom1=Marco|nom1=Frasca|titre=Exact solutions of classical scalar field equations|périodique=Journal of Nonlinear Mathematical Physics|volume=18|numéro=2|date=2011-01|issn=1402-9251|issn2=1776-0852|doi=10.1142/s1402925111001441|lire en ligne=http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1142/S1402925111001441|consulté le=2018-07-26|pages=291–297}}</ref>. Le choix de l'exposant 4 s'explique d'une part par la volonté d'avoir un champ d'interactions (il faut donc un exposant plus grand que 2) et d'autre part par le mauvais comportement de l'exposant 3, qui donne lieu à des solutions non bornées et présente un point critique instable à l'origine<ref>Pour un traitement détaillé de la théorie φ<sup>3</sup>, voir Srendicki: http://chaosbook.org/FieldTheory/extras/SrednickiQFT03.pdf</ref>. La théorie φ<sup>4</sup> est donc bien en ce sens la plus simple.

La densité de lagrangien de la théorie est celle d'une particule libre, ajoutée d'un terme d'auto-interaction quadratique :<math display="block">\mathcal{L}_{\phi^4}=(\partial_\mu \phi^{\dagger})(\partial^\mu \phi) -m^2 \phi^{\dagger} \phi -\frac{\lambda}{4}(\phi^{\dagger} \phi)^2</math>Les règles de Feynman correspondant à ce lagrangien sont illustrées dans la figure ci-dessous :
[[Fichier:ScalarFR.jpg|centré|vignette|472x472px|Règles de Feynman pour la théorie φ<sup>4</sup>]]

Lorsque ''m''<sup>2</sup> devient négative mais que λ reste positif, le vide dégénère : une brisure de symétrie apparaît, et avec elle des états collectifs intéressants. En vertu du [[théorème de Goldstone]], cette brisure donne notamment naissance à un [[Boson de Goldstone|boson]]. En particulier, c'est une des manières de comprendre le [[Mécanisme de Brout-Englert-Higgs-Hagen-Guralnik-Kibble|mécanisme de Brout-Englert-Higgs]].

=== Électrodynamique quantique (QED) ===
{{Article détaillé|Électrodynamique quantique|}}L'électrodynamique quantique est une théorie de jauge abélienne pour le groupe [[U(1)]], déterminée par la densité de lagrangien :<math display="block">\begin{align}
{\mathcal {L}_\textrm{QED}} ={} & {\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\\
= {} & i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }(A^{\mu }+B^{\mu })\psi -m{\bar {\psi }}\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }
\end{align}
</math>Dans cette équation, <math> \gamma^\mu </math>correspond aux [[Matrice de Dirac|matrices de Dirac]], le champ <math>\psi</math> décrit l'évolution des particules (électrons et positrons), <math>\bar\psi\equiv\psi^\dagger\gamma^0</math>est l'[[adjoint de Dirac]] du champ,<math>D_\mu \equiv \partial_\mu+ieA_\mu+ieB_\mu \,\!</math> est la [[dérivée covariante de jauge]], ''e'' est la constante de couplage de la théorie autrement dit la charge électrique de la particule correspondante, ''m'' est la masse de l'électron et du positron, <math>A_\mu</math>est le 4-potentiel électromagnétique covariant engendré par l'électron, <math>B_\mu</math>est un éventuel champ externe, et enfin<math>F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!</math>est le [[tenseur électromagnétique]]. La charge et la masse des particules (électrons et positrons) est sujette à [[renormalisation]].

La théorie de l'électrodynamique quantique est certainement la théorie quantique des champs « réaliste » la mieux comprise, et la faible valeur de la constante de couplage permet l'introduction de méthodes perturbatives très efficaces, en accord impressionnant avec l'expérience<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Richard Feynman]]|titre=QED : the strange theory of light and matter|éditeur=[[Princeton University Press]]|année=1985|isbn=0-691-12717-4|isbn2=9780691127170|isbn3=0691125759|oclc=67234565|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/67234565|consulté le=2018-08-09|numéro chapitre=1}}</ref>. On sait en revanche que la théorie n'est qu'une approximation : d'une part elle est mal définie aux hautes énergies<ref>{{Lien web|langue=anglais|auteur1=Toichiro Kinoshita|titre=Quantum Electrodynamics has Zero Radius of Convergence|url=http://www.lassp.cornell.edu/sethna/Cracks/QED.html|site=www.lassp.cornell.edu|date=5 juin 1997|consulté le=2018-08-09}}</ref>{{,}}<ref>{{Article|langue=anglais|prénom1=D.|nom1=Espriu|prénom2=R.|nom2=Tarrach|titre=Ambiguities in QED: Renormalons versus triviality|périodique=Physics Letters B|volume=383|numéro=4|date=1996-09|issn=0370-2693|doi=10.1016/0370-2693(96)00779-4|lire en ligne=http://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0370269396007794|consulté le=2018-08-09|pages=482–486}}</ref> ; d'autre part l'interaction électromagnétique est indissociable de l'interaction faible, et il faut donc aborder les deux phénomènes de manière conjointe sous l'angle de la théorie électrofaible.

=== Lagrangien électrofaible ===
{{Article détaillé|Interaction électrofaible|}}La théorie de l'interaction électrofaible a pour densité de lagrangien :<math display="block">\begin{align}
{\mathcal  {L}}_\textrm{EW}={} &
-{\frac  {1}{4}}W_{a}^{{\mu \nu }}W_{{\mu \nu }}^{a}-{\frac  {1}{4}}B^{{\mu \nu }}B_{{\mu \nu }}\\
& +\overline {Q}_{i}iD\!\!\!\!/\;Q_{i}+\overline {u}_{i}^{c}iD\!\!\!\!/\;u_{i}^{c}+\overline {d}_{i}^{c}iD\!\!\!\!/\;d_{i}^{c}+\overline {L}_{i}iD\!\!\!\!/\;L_{i}+\overline {e}_{i}^{c}iD\!\!\!\!/\;e_{i}^{c}\\
& +|D_{\mu }h|^{2}-\lambda \left(|h|^{2}-{\frac  {v^{2}}{2}}\right)^{2}\\
& -y_{{u\,ij}}\epsilon ^{{ab}}\,h_{b}^{\dagger }\,\overline {Q}_{{ia}}u_{j}^{c}-y_{{d\,ij}}\,h\,\overline {Q}_{i}d_{j}^{c}-y_{{e\,ij}}\,h\,\overline {L}_{i}e_{j}^{c}+ hc
\end{align}</math>Les termes correspondent aux phénomènes suivants :

* La première ligne décrit l'interaction entre les trois bosons W et le boson B. Les bosons W<sub>1</sub>, W<sub>2</sub>, W<sub>3</sub> engendrent le groupe [[SU(2)]] d'[[isospin faible]], tandis que le boson B engendre le groupe [[U(1)]] d'[[hypercharge faible]].
* La deuxième ligne, qui fait intervenir des [[Dérivée covariante|dérivées covariantes]] et la [[notation slash]] de Feynman, couple les bosons de jauge aux fermions.
* La troisième ligne correspond au [[champ de Higgs électrofaible]]. La valeur dans <math>h = 0</math>est instable, ce qui est responsable d'une brisure de symétrie qui fixe <math>|h| = v/4</math> avec une phase arbitraire.
* La quatrième ligne correspond à l'[[interaction de Yukawa]] ; après brisure du champ de Higgs, ce terme sera responsable de la masse des fermions.

Après brisure de symétrie, qui se produit autour de 246 GeV, le champ de Higgs acquiert une valeur moyenne non nulle dans le vide. On peut alors réécrire le lagrangien en faisant explicitement apparaître le champ de Higgs. Le couplage résiduel au champ de Higgs s'interprète alors comme des termes de masse pour les bosons de jauge (et pour le boson de Higgs). 

De plus, les champs subissent un mélange, responsable de l'apparition du [[photon]] γ et du [[boson Z]] d'une part, et de bosons W<sup>±</sup> d'autre part :

<math> \begin{pmatrix}
\gamma \\
Z^0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\cos \theta_W & \sin \theta_W \\
-\sin \theta_W & \cos \theta_W \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
B \\
W_3 \end{pmatrix} </math>

<math>{\displaystyle W^{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(W_{1}\mp iW_{2}).}</math>

L'angle ''θ<sub>W</sub>'' est appelé [[angle de Weinberg]]. Sa valeur n'est pas prédite par le modèle standard, et il n'y a pas aujourd'hui de théorie faisant consensus pour déterminer la valeur de l'angle de Weinberg. Cependant, des expériences précises contraignent les valeurs possibles. Le [[Comité de données pour la science et la technologie|CODATA]] donne en 2014 la valeur 

<math>\sin ^{2}\theta _{\text{W}}=1-(m_{\text{W}}/m_{\text{Z}})^{2}=0.2223(21)</math>

correspondant à un angle ''θ''<sub>W</sub> autour de 30 degrés.

=== Chromodynamique quantique (QCD) ===
{{Article détaillé|Chromodynamique quantique|}}La chromodynamique quantique est une théorie de jauge pour [[SU(3)]], décrite par la densité de lagrangien :<math display="block">{\mathcal{L}}_{{\mathrm  {QCD}}}(q,A)={\bar  {q}}\left(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m\right)q-{\frac  {1}{4}}F_{{\mu \nu }}^{a}F_{a}^{{\mu \nu }}</math>Dans cette expression <math>q</math> est le champ de [[Quark|quarks]], <math>D_{\mu }</math> est la [[dérivée covariante de jauge]],  <math>\gamma^\mu</math> sont les [[Matrice de Dirac|matrices de Dirac]], et <math>F_{\mu\nu}^{a}</math> est le tenseur chromodynamique. Ce dernier est analogue au [[tenseur électromagnétique]] en QED, si ce n'est qu'il correspond à trois couleurs au lieu de deux charges. Le tenseur chromodynamique s'écrit explicitement<math display="block">F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }{\mathcal {A}}_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}+gf^{abc}{\mathcal {A}}_{\mu }^{b}{\mathcal {A}}_{\nu }^{c}</math> où <math> {\mathcal {A}}_{\mu }^{a}(x)</math> correspond aux champs de [[Gluon|gluons]] de couleur <math>a</math> et <math>f^{abc}</math> sont les [[Constante de structure (algèbre)|constantes de structure]] de SU(3).  

Le lagrangien fait également apparaître la masse <math>m</math>des quarks et la [[constante de couplage]] <math>g</math>, ces deux quantités étant sujettes à la [[renormalisation]].

Ainsi la QCD décrit deux champs : quarks et gluons, et leurs interactions. Les quarks sont des fermions massifs de spin 1/2 portant une charge de couleur et une charge électrique (-1/3 ou +2/3). Les gluons sont des bosons sans masse de spin 1, neutres électriquement, qui portent également une charge de couleur.

== Applications ==
=== Physique des hautes énergies ===
{{Article détaillé|Physique des hautes énergies|}}La motivation initiale, et la principale application, du développement des théories quantiques des champs est d'expliquer et prédire les résultats des expériences à haute énergie, telles qu'observées dans les collisionneurs et accélérateurs de particules. Le modèle standard, assemblé à partir des théories quantiques de jauge pour trois des quatre interactions fondamentales (la gravité ne se prêtant pas à ce formalisme), est en accord remarquable avec l'expérience et a permis la prédiction de nombreuses particules. Toutes les particules prédites par le modèle standard ont été observées, les deux dernières étant le [[quark top]] (prédit en 1973, observé en 1995, prix Nobel 2008) et le [[boson de Higgs]] (prédit en 1964, observé en 2011, prix Nobel 2013).

L'électrodynamique quantique (QED) peut être traitée dans une large mesure par des méthodes perturbatives, mais pour l'instant les solutions exactes sont confinées à des situations très restrictives (en dimension 2 par exemple). La chromodynamique quantique (QCD) se prête mal aux méthodes perturbatives, et la simulation directe reste un des meilleurs moyens de sonder la théorie.

=== Physique de la matière condensée ===
{{Article détaillé|Physique de la matière condensée|}}Les théories quantiques des champs ont également trouvé de nombreuses applications en physique de la matière condensée<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Ramamurti|nom1=Shankar|titre=Quantum Field Theory and Condensed Matter|sous-titre=An Introduction|éditeur=[[Cambridge University Press]]|date=2017-08-31|isbn=978-0-521-59210-9|isbn2=9781139044349|doi=10.1017/9781139044349|lire en ligne=https://www.cambridge.org/core/product/identifier/9781139044349/type/book|consulté le=2018-08-10}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Alexander|nom1=Altland|prénom2=Ben D.|nom2=Simons|titre=Condensed Matter Field Theory|éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=2009|isbn=978-0-511-78998-4|doi=10.1017/cbo9780511789984|lire en ligne=http://ebooks.cambridge.org/ref/id/CBO9780511789984|consulté le=2018-08-10}}</ref>. Des phénomènes tels que la [[Condensat de Bose-Einstein|condensation de Bose-Einstein]], les [[Physique des plasmas|plasmas]] de gaz d'électrons en interaction, certaines [[Supraconductivité|phases supraconductives]] s'expliquent mieux au travers d'une analyse de brisure spontanée de symétrie par exemple. Plus récemment, la découverte de phases topologiques telles que la [[transition Berezinski-Kosterlitz-Thouless]] (prix Nobel de physique 2016) et l'étude de l'[[effet Hall quantique fractionnaire]] montrent la pertinence des théoriques topologiques des champs quantiques pour l'étude des propriétés de conductivité dans la matière. Les outils développés pour la théorie quantique des champs permettent également d'aborder certains problèmes hors équilibre, par exemple via le [[formalisme de Keldysh]].

== Notes et références ==

=== Notes ===
{{Références|groupe=Note}}

=== Références ===
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
==== Grand public ====
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Richard Feynman]]|titre=The character of physical law|éditeur=[[MIT Press]]|année=1964|pages totales=184|isbn=978-0-262-53341-6|oclc=957554696|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/957554696}}
*{{Ouvrage|auteur1=[[Jean Zinn-Justin]]|titre=Renormalisation et groupe de renormalisation : les infinis en physique microscopique contemporaine|lieu=Collège de France, Paris|éditeur=|année=1999|pages totales=17|isbn=|lire en ligne=https://www.ipht.fr/Docspht//articles/t00/002/public/publi.pdf}} 

==== Introductions et manuels de cours ====
*{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Pierre Salati|titre=Introduction à la théorie quantique des champs|lieu=Universités de Grenoble Alpes et de Savoie Mont Blanc|éditeur=|date=2017-2018|isbn=|lire en ligne=http://lapth.cnrs.fr/pg-nomin/salati/TQC_UJF_17.pdf}}
*{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Jean-Yves Ollitrault|titre=Introduction à la théorie quantique des champs|lieu=IPhT, CEA Saclay|éditeur=|date=2004-2005|isbn=|lire en ligne=https://www.ipht.fr/Pisp/jean-yves.ollitrault/cours.pdf}}
*{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Tom Lancaster|auteur2=Stephen Blundell|titre=Quantum Field Theory for the Gifted Amateur|éditeur=[[Oxford University Press]]|année=2014|pages totales=512|isbn=978-0-19-151093-9|lire en ligne=http://www.dsf.unica.it/~fiore/libricorsoptr/QuantumFieldTheoryForTheGiftedAmateur.pdf}}
*{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Michel Le Bellac|titre=Des phénomènes critiques aux champs de jauge|éditeur=[[EDP Sciences]]|collection=Savoirs Actuels|date=1 janvier 1998|pages totales=639|isbn=978-2-86883-359-4}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Steven Weinberg (physicien)|Steven Weinberg]]|titre=The quantum theory of fields I|sous-titre=Foundations|éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=1995|pages totales=635|isbn=978-0-521-55001-7|oclc=31970558|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/31970558}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Steven Weinberg (physicien)|Steven Weinberg]]|titre=The quantum theory of fields II|sous-titre=Modern applications|lieu=Cambridge|éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=1996|pages totales=419|isbn=0-521-55002-5|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=48xXMF1oHxkC&printsec=frontcover}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Steven Weinberg (physicien)|Steven Weinberg]]|titre=The quantum theory of fields III|sous-titre=Supersymmetry|éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=2005|pages totales=442|isbn=978-0-521-67055-5}}
* {{ouvrage| langue=en| auteur1=[[Anthony Zee]]| titre=Quantum field theory, as simply as possible| éditeur=[[Princeton University Press]]| date=1923| pages totales=372| isbn=978-0-691-17429-7| isbn2=978-0-691-23927-9}}

==== Développement historique de la théorie ====
* {{Article|langue=Anglais|auteur1=[[Frank Wilczek]]|titre=Quantum Field Theory|périodique=Reviews of Modern Physics|volume=71|numéro=2|date=1999-03-01|issn=0034-6861|issn2=1539-0756|doi=10.1103/RevModPhys.71.S85|lire en ligne=https://arxiv.org/abs/hep-th/9803075|consulté le=2018-03-24|pages=S85–S95}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Silvan Schweber|titre=QED and the men who made it|sous-titre=Dyson, Feynman, Schwinger, and Tomonaga|éditeur=[[Princeton University Press]]|année=1994|pages totales=732|isbn=978-0-691-03327-3|oclc=28966591|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/28966591}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Tian Yu Cao|titre=Conceptual developments of 20th century field theories|lieu=Cambridge|éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=1997|pages totales=433|isbn=0-521-43178-6|oclc=35043034|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/35043034}}

==== Aspects conceptuels et philosophie des sciences ====
* {{En}} [[Gerard 't Hooft]], ''The Conceptual Basis of Quantum Field Theory'', 2007 ([http://www.staff.science.uu.nl/~hooft101/lectures/basisqft.pdf lire en ligne])
* {{Article|langue=Anglais|auteur1=Meinard Kuhlmann|titre=Quantum Field Theory|périodique=Stanford Encyclopedia of Philosophy|date=2006-06-22|lire en ligne=http://setis.library.usyd.edu.au/stanford/entries/quantum-field-theory/|consulté le=2018-03-24}}

=== Articles connexes ===
* [[Théorie supersymétrique de la dynamique stochastique]]

{{Palette|Branches de la physique|Mécanique quantique}}

{{Portail|Mathématiques|physique|sciences quantiques}}

[[Catégorie:Théorie quantique des champs]]
[[Catégorie:Mécanique quantique]]
[[Catégorie:Physique théorique]]