Équation de Hill

L'équation de Hill est une équation différentielle linéaire du second ordre satisfaisant :

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+f(t)x=0

avec

f

une fonction périodique.

Cette équation a été introduite par George William Hill en 1886 et revient notamment de manière récurrente en physique.

On peut toujours, à l'aide d'un changement de variable obtenir une équation similaire où $f$ est π-périodique. On peut alors la réécrire sous la forme d'une série de Fourier :

{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\left(\theta _{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n}\cos(2nt)+\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}\sin(2mt)\right)y=0

Un cas important de cette classe d'équation est l'équation de Mathieu, où $f(t)=a-2q\cos(2t)$ et l'équation de Meissner avec $f(t)=\alpha ^{2}+\omega ^{2}\operatorname {sgn}(\cos(t))$ .