Annulateur (théorie des modules)

En théorie des anneaux, l'annulateur d'une partie S d'un module à gauche M sur un anneau A est l'ensemble :

$\operatorname {Ann} (S)=\{\alpha \in A\mid \forall x\in S\quad \alpha x=0\}$.

Ann(S) est un idéal à gauche de A.

Si S est un sous-module de M, Ann(S) est même un idéal bilatère.

En effet, si $\alpha \in \operatorname {Ann} (S)$ et $\beta \in A$, alors $(\alpha \beta )S=\alpha (\beta S)\subset \alpha S=\{0\}$. Alternativement, on peut remarquer que Ann(S) n'est autre que le noyau du morphisme d'anneaux $A\to \operatorname {End} (S)$ qui définit la loi externe du module S.

Un élément x de M est dit simple si $\forall \alpha \in A\quad \alpha x=0\Rightarrow \alpha =0$, autrement dit si Ann({x}) = {0}.^{[réf. nécessaire]}