Associateur

Dans une algèbre ou un anneau non nécessairement associative, l'associateur de trois éléments x, y et z, noté A(x,y,z) est défini par $A(x,y,z)=x(yz)-(xy)z\,$.
Il est parfois noté aussi $[x,y,z]\,$ s'il n'y a pas de risque de confusion avec un produit mixte.
L'associativité est exprimée par la nullité de la fonction A sur tous les triplets.
L'alternativité est exprimée par l'égalité $A(x,x,y)=A(y,x,x)=0\,$ pour tout couple d'éléments (x,y).

L'associateur est un opérateur trilinéaire.

L'associateur permet de définir le noyau de la structure, à savoir l'ensemble des x tels que pour y et z quelconques, on a $A(x,y,z)=A(y,x,z)=A(y,z,x)=0$.