Classe trace

En mathématiques, un opérateur de classe trace, ou opérateur à trace, est un opérateur compact pour lequel on peut définir une trace au sens de l’algèbre linéaire, qui est finie et ne dépend pas de la base.

Définition

En s’inspirant de la définition dans le cas de la dimension finie, un opérateur borné A sur un espace de Hilbert séparable est dit de classe trace si dans une certaine base hilbertienne {e_k}_k (et donc dans toutes) de H, la série à termes positifs suivante converge

$\|A\|_{1}={\rm {Tr}}|A|:=\sum _{k}\langle (A^{*}A)^{1/2}\,e_{k},e_{k}\rangle ,$

où (A* A)^1/2 désigne la racine carrée de l'opérateur positif (en) A* A.

Dans ce cas, la somme

${\rm {Tr}}A:=\sum _{k}\langle Ae_{k},e_{k}\rangle$

est absolument convergente et ne dépend pas du choix de la base orthonormée. Ce nombre est appelé trace de A. Quand H est de dimension finie, on retombe sur la trace usuelle.

Par extension, si A est un opérateur positif, on peut définir sa trace, quitte à ce qu’elle soit infinie, comme la série à terme positifs

$\sum _{k}\langle Ae_{k},e_{k}\rangle .$

Propriétés

• Si A est positif et auto-adjoint, A est de classe trace si et seulement si Tr(A) < ∞. Ainsi, un opérateur autoadjoint est de classe trace si et seulement si ses parties positive et négative sont de classe trace.
• La Trace est une forme linéaire sur l’ensemble des opérateurs de classe trace, i.e.$\operatorname {Tr} (aA+bB)=a\,\operatorname {Tr} (A)+b\,\operatorname {Tr} (B).$La forme bilinéaire$\langle A,B\rangle =\operatorname {Tr} (A^{*}B)$définit un produit scalaire sur les opérateurs de classe trace. La norme qui y est associée est appelée la norme de Hilbert-Schmidt. Le complété des opérateurs de classe trace pour cette norme forme l’espace des opérateurs de Hilbert-Schmidt (en). Le point ci-dessous prouve que tous les opérateurs à trace sont de Hilbert-Schmidt. Cependant, tout comme certaines suites de carré sommable ne sont pas sommables, la réciproque est fausse et certains opérateurs de Hilbert-Schmidt n'admettent pas une trace finie.
• Si $A$ est borné et $B$ est de classe trace, $AB$ et $BA$ sont aussi de classe trace et$\|AB\|_{1}=\operatorname {Tr} (|AB|)\leq \|A\|\|B\|_{1},\qquad \|BA\|_{1}=\operatorname {Tr} (|BA|)\leq \|A\|\|B\|_{1}.$De plus et sous les mêmes hypothèses,$\operatorname {Tr} (AB)=\operatorname {Tr} (BA).$
• Si $A$ est de classe trace, on peut définir le déterminant de Fredholm de $I+A$ :${\rm {det}}(I+A):=\prod _{n\geq 1}[1+\lambda _{n}(A)]$où les $\{\lambda _{n}(A)\}_{n}$ sont les valeurs propres de $A$. La condition de classe trace nous assure que le produit converge. Il nous garantit aussi que $(I+A)$ est inversible si et seulement si ${\rm {det}}(I+A)\neq 0.$

Théorème de Lidskii

Soit $A$ un opérateur de classe trace sur un Hilbert séparable $H$, et soient $\{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N},$ $N\leq \infty$ ses valeurs propres comptées avec multiplicité.

Le théorème de Lidskii (dû à Victor Lidskii (ru)) veut que

$\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}(A)=\operatorname {Tr} (A).$

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Trace class » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes

• Classe de Schatten (de)
• Opérateur nucléaire (en)
• Théorème de la trace de Grothendieck, extension du théorème de Lidskii