Discussion:Entier naturel

Un "chapitre" complet de l'article est:

"Propriété

Quel que soit le nombre que l'on choisit dans N "

Je ne sais pas si c'est une phrase non terminée ou bien si cela se rapporte à la suite Ffx 16:11 mar 8, 2003 (CET)

A mon avis, c'est une phrase non terminée... pourquoi ne pas mettre (à faire) et mettre ce début de phrase entre commentaires <!-- --> Tim (Athymik)

Voili voilou, Ffx 16:41 mar 8, 2003 (CET)

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Quels mathématiciens ne considèrent pas 0 comme un entier naturel? J'en ai jamais entendu parler...

Snark 11:29 mar 9, 2003 (CET)

Je n'ai jamais entendu parlé de mathématicien actuel ne considérant pas 0 comme un entier naturel. On considère souvent que 0 appartient à $\mathbb {N}$, l'ensemble des entiers naturels.

Ensuite, on assimile les "entiers intuitifs" et les "entiers naturels". Alors qu'il y a une différence entre les deux (même si les second ont été créés pour représentés les premiers), et ont peut très bien avoir des entiers naturels qui ne fassent pas partie des entiers intuitifs.

CB 31 aoû 2004 à 17:15

Il semble bien qu'il y ait eu discussion, et donc pas unanimité, sur la Wikipédia anglophone, d'où la précision, dont nous avons hérité ici par traduction probablement. Ceci dit, moi non plus, je n'ai jamais entendu de mathématicien exclure 0 des nombres naturels ou de N... FvdP (d) 13 oct 2004 à 21:42 (CEST)

Je tiens simplement à signaler que l'assimilation du zéro parmi les nombres entiers "naturels" n'a justement rien de naturel en soi ! En effet la base des nombres entiers est la dénombration. On peut ainsi dénombrer UN élément puis deux et ainsi de suite; mais le problème du zéro est moins trivial et beaucoup plus philosophique ! La vrai question est de savoir : peut on dénombrer le vide et donc l'absence de nombre ? La réponse n'est pas aussi évidente que cela... justement nombre de mathématiciens durant le moyen age (qui n'est pas la période obscure que l'on croit) se sont penchés sur la question et n'ont pas apportés une réponse aussi clair que cela. L'avis généralement le plus partagé est que le zéro est une "convention" permettant de "dénombré" l'absence d'élément. Quant à avoir s'il s'agit véritablement d'un nombre entier, la question ne se pose pas en soit, l'appréciation reste au bon vouloir de chacun... La question restant d'ailleurs plus philosophique que pratique.

yellowsubmarine

Charles SEIFE, Zéro La biographie d'une idée dangereuse, aux éditions JC Lattès

Un très bon livre au sujet de l'histoire du 0 et des mathématiques en general.

Le zéro est puissant parce qu'il triomphe des autres chiffres, rend folles les divisions et est le frère jumeau de l'infini. Les plus vertigineuses questions de la science et de la religion se posent autour du rien et de l'éternité, du vide et de l'infinité. Des débats passionés et souvents violents autour du zéro ébranlèrent les fondations de la philosophie, de la science, de la religion.'

Dans ce livre on apprend de nombreuses choses intéressantes pour néophytes et initiés.

Ces débats sont très intéressants, mais aussi anciens et dépassés (il serait intéressant de les développer dans l'article sur le zéro, je pense). En mathématiques, zéro est maintenant un entier naturel. J'ai modifié la phrase de l'article incriminée en conséquence. El Caro 3 août 2006 à 13:39 (CEST)

Il me parai pertinent de regrouper les pages entier relatif et entier naturel. La page entier est elle même très incomplète. --Lleell00 20 décembre 2005 à 17:22 (CET)

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CB L'article sur le zéro a t'il bien sa place dans l'entrée "entiers naturels" ? N'aurait-ilpas plus sa place dans l'entrée "zéro" ? Je serais pour supprimer toute cette partie sur le éro de cette entrée.

CB J'ai supprimé la partie sur le zéro qui me semble pas avoir sa place ici : non seulement cela ne rentrait pas vraiment dans le cadre du sujet, mais en plus il s'agissait d'un texte apparemment peu objectif.

Pourquoi ne pas expliquer la construction des entiers naturels dans cet article plutôt que dans un article séparé ?

Une absence notable

Il n'y a rien sur la dénombrabilité. Ca manque un peu, non ? patapiou (Discuter) 25 juillet 2007 à 15:54 (CEST)

À propos du zéro

À la phrase L'idée de considérer zéro comme un entier naturel est relativement récente je propose d'ajouter et ne fait pas nécessairement l'unanimité. On trouve ainsi de nombreux auteurs qui définissent les entiers naturels comme étant 1, 2, 3, ... sans inclure le zéro.

Lorsque j'étais à l'université, je pouvais avoir des cours dans lesquels $0\in \mathbb {N}$ et d'autres où $0\not \in \mathbb {N}$, ce qui nous compliquait un peu la vie !

Il me semble que l’usage anglo-saxon réserve le symbole N pour désigner les entier strictement positifs (positive integers), tandis qu'en France on considère les entiers positifs ou nuls (nonnegative).

En algèbre l'usage de $\star$, voire $\times$, en exposant s'utilise pour désigner le groupe des éléments inversibles d'un anneau, et non le sous-ensemble des éléments non nuls. Ce qui suggère que la notation $\mathbf {N} ^{\star }$ est à proscrire. En effet $\mathbf {Z} ^{\star }$, le groupe des entiers inversibles, qui n'a que deux éléments: 0 et 1, ne doit pas être confondu avec l'ensemble $\mathbf {Z} \backslash \{0\}$ des entiers non nuls.

Une abstraction des collections d'objets réels

J'ai essayé d'améliorer le style de ce chapitre, mais l'ensemble n'est pas clair, ni très lisible. Quelqu'un de compétent peut-il reprendre ce texte ? --Almooxo (d) 24 mars 2008 à 15:31 (CET)

Axiomatique de Presburger

On compare (première phrase) deux choses différentes : une axiomatisation au second ordre, c.a.d. dans ce contexte (car ce terme est ambigu !) modulo la théorie des ensembles. Addition, multiplication, exponentiation etc. peuvent y être définies (cf. définition par récurrence). L'arithmétique de Presburger est une axiomatisation au premier ordre qu'il faudrait comparer aux axiomes de Peano du premier ordre (qui axiomatise explicitement l'addition et de la multiplication). Le passage de l'un à l'autre est ici tout à fait incompréhensible à mon avis, et ce paragraphe a sa place dans axiomes de Peano pas ici, je propose de l'y déplacer. Proz (d) 5 septembre 2012 à 10:50 (CEST) [fait]

N et naturale

J'ai vérifié que Cajori (vol 2 de history of mathematical notations) qui indique que Peano utilise N pour entier strictement positif dans le formulaire de mathématiques (volume II de "History of mathematical notations" p 299) ne dit pas que N vient de naturale. il cite les "notations de logique mathématique" (introduction au formulaire) que vous pouvez consulter ici : http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN517625180 : clairement N vient de nombre. Dans G. Peano, Arithmetices principia, nova methodo exposita (« Les principes de l'arithmétique, nouvelle méthode d'exposition »), Bocca, Turin (1889) http://archive.org/stream/arithmeticespri00peangoog#page/n12/mode/2up, celui-ci utilise déjà N pour "numerus integer positivus", aucune référence à Naturale (mais apparemment à numerus ou nombre). L'indication actuellement en introduction (c'est la première lettre de l'italien naturale (naturel)) est donc trompeuse, je vais la retirer, mais comme on la trouve sur de nombreux sites web je le précise ici pour éviter qu'elle ne réapparaisse. Proz (d) 6 septembre 2012 à 20:06 (CEST)

N₀ et N₁

Faut-il mentionner ces notations (hors partie historique) que personne n'utilise à ma connaissance et qui ont du être copiées de en: ? N₀ restera comme utilisée par Peano, mais N₁ ? Proz (d) 6 septembre 2012 à 22:03 (CEST)

N et ω

Le Cori et Lascar distingue ω, le premier ordinal infini, de ℕ, qui dénote la structure (ω, 0, S, +, x) (où S est la fonction successeur). Je ne sais pas s'il faut en parler. Michel421 (d) 15 octobre 2014 à 19:33 (CEST)

Neutralité

Il semble que ce paragraphe se contredise en affirmant d'une part par erreur qu'un entier naturel est positif et d'autre part en vérité qu'il n'a pas de signe :

En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (pouvant donc être nul) permettant fondamentalement de dénombrer des objets comptant chacun pour un et donc de compter des objets considérés comme équivalents. Un tel nombre entier peut s'écrire avec une suite finie de chiffres en notation décimale positionnelle (sans signe et sans virgule).

ℤ⁺ n'est pas ℕ, ℤ⁺ est {+} x ℕ

En vérité, les entiers naturels ne sont ni positifs ni négatifs : ils ne sont pas des entiers relatifs puisqu'ils sont les entiers naturels : ℤ^* = {-,+} x ℕ^*

Par quoi sourcer les articles de maths ?

Jusqu'à hier, l'article disait «La tradition francophone inclut dans les entiers naturels le nombre zéro, ce qui n'est pas toujours le cas dans la tradition anglophone 2. Selon les traditions, la liste des entiers naturels est donc : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; … ou 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; …»

Depuis cette modif, il est dit «En général l'ensemble des entiers naturel exclut 0». Cette affirmation est sourcée par des dictionnaires de 1977 et 1975, et par l'académie française qui dit simplement qu'un entier naturel est un entier positif, c-a-d supérieur à 0.

Concernant une définition mathématique, ne faudrait pas plutôt se tourner vers des ouvrages mathématiques ? Dans ma bibliothèque, j'ai plusieurs dizaines de livres d'enseignement. Certain, les plus récents, ne jugent pas opportun de donner une définition des entiers naturels, ni du sens à donner au terme négatif. Ceux qui le font sont unanimes pour faire commencer les entiers naturels à 0 (au hasard Terracher 1994, seconde). Idem dans le Dictionnaire Larousse des mathématiques modernes de Chambadal (ensemble des entiers naturel = ensemble des cardinaux finis). Idem, en plus nuancé (normal c'est une traduction de l'allemand), dans la Petite Encyclopédie des mathématiques : «souvent le zéro est compté parmi les entiers naturels». Idem dans l'ouvrage collectif Les nombres qui traite de la notion de manière épistémologique et définit l'ensemble des entiers naturels comme un ensemble contenant 0 et dans lequel chaque élément admet un successeur.

Bref, pour moi, les sources mathématiques francophones font majoritairement commencer les entiers naturels à 0.

De même pour la notion de négatif (terme pouvant prêter à confusion comme Saphorain en donne la preuve : le mathématicien préfère parler de strictement négatif, ou de négatif ou nul). J'aimerais des sources excluant zéro des nombres négatifs. Pour ma part, je fournis Chambadal « Un nombre négatif est un nombre x inférieur à zéro : x ≤ 0 (le symbole est dans la source)». Même son de cloche chez Vissio, 3e 1972 «0 est à la fois positif et négatif». Les ouvrages didactiques, s'intéresse plus à faire comprendre le sens du nombre strictement négatif mais on trouve cependant dans ce document l'objectif d«unifier la droite numérique en y plaçant un zéro commun aux positifs et aux négatifs» (le soulignement est de moi).

Bref, tout cela pour dire, qu'à la lecture des sources spécialisées, la version précédente me paraissait plus juste. HB (discuter) 11 novembre 2016 à 11:29 (CET)

Je partage ce point de vue. Il conviendrait dans l'article, de distinguer 1) l'usage mathématique francophone actuel qui inclut le 0, 2) l'usage mathématique non-francophone qui peut exclure le zéro (a positive number est un nombre strictement positif, les entiers positifs ou nuls étant non-negative en anglais), 3) l'usage du français courant qui peut exclure le 0, bref distinguer ce qui relève des mathématiques francophones actuelles et ce qui n'en relève pas. De plus, il serait intéressant de regrouper les variations d'usage en mathématiques et de notations au cours du temps dans une partie historique. Theon (discuter) 11 novembre 2016 à 11:50 (CET)

Le point de vue d'inclure le zéro dans les nombres naturels (et dans les nombres positifs et négatifs) est sans doute assez récent, et trouve peut-être son origine dans les publications du groupe Bourbaki. En tous les cas, on ne peut certainement pas parler de "tradition" et encore moins de "tradition francophone": ça n'est en effet pas du tout un point de vue "francophone", mais (peut-être?) "francofrançais". J'enseigne depuis bientôt 40 ans dans un département de mathématiques à l'université, et aussi bien au cours de mes études que dans mon enseignement, les nombres naturels n'incluent jamais le zéro. L'autre point de vue est aussi représenté, mais il n'est pas majoritaire. Sapphorain (discuter) 11 novembre 2016 à 12:42 (CET)

Ah, je vois... une bataille chicon-endivesque dans le domaine mathématique . Saphorain, tu dis que tu enseignes, en mathématiques, et je pense pas en France, que zéro n'est pas un entier naturel. Pourrais-tu préciser dans quelle université? Cela permettrait de nuancer le propos, de parler de La France et d'ailleurs.

Pour en revenir à l'idée de Théon d'écrire un petit chapitre historique, je manque de recul pour le faire, mais il mes semble que c'est l'idée développée dans la section De l'énumération à l'abstraction. Autrement, Klaus Mainzer l'évoque un peu dans son article de l'ouvrage Nombres (Zahlen). Selon lui, le concept de nombre entier ne se met en place sérieusement qu'à la fin du XIXe siècle (soit avant Bourbaki) après la définition des nombres réels. L'ouvrage clé de cette période est l'ouvrage de Dedekind Was sind und was sollen die Zahlen? qui propose une définition ensembliste des entiers naturels suivie par Cantor et Frege : celle d'un ensemble contenant zéro et dans lequel tout élément a un successeur. Avant ? Pas de définition explicite. Chez les Grecs (Euclide, Aristote), on appelle nombre une «multitude formée d'unités», bref zéro n'est pas envisagé et un étant l'unité, n'est pas considéré comme un nombre. Quant au zéro, l'article de Mainzer mélange le zéro chiffre et le zéro nombre donc est peu exploitable. Le livre de Seife Zéro, la biographie d'une idée dangereuse est plus un live de vulgarisation qu'un livre historique. Il associe le zéro au néant, parle de son utilisation en tant que nombre en Inde par Brahmagupta, puis plus loin et plus tard, du zéro en tant qu'origine d'un repère chez Descartes. C'est un peu léger, et probablement faux tellement c'est approché mais si cela peut inspirer quelqu'un ?. HB (discuter) 11 novembre 2016 à 14:24 (CET)

Bataille chicon endivesque… l'exemple est amusant, mais pas approprié: il ne s'agit pas de vouloir à toute force appeler une endive chicon, ce qui est somme toute assez légitime, mais plutôt de persister à vouloir l'appeler simplement endive, sans autre précision, une fois qu'elle a été entourée d'une tranche de jambon.

Mais nous nous égarons. Il me paraît un peu ridicule de prétendre qu'il y a une mouture spécifiquement francophone, ou française, ou de je ne sais quelle autre région du monde, d'un nombre naturel. La première définition précise d'un nombre naturel a été proposée il y a cent trente ans par un Allemand, ce qui n'est en soit pas très important, et a été assez rapidement utilisée dans le monde entier. Beaucoup plus récemment (en France dans les années soixante?), une autre définition a été proposée, qui est entrée en compétition avec la première. Aujourd'hui, les deux définitions coexistent partout, sans qu'aucune ait éliminé l'autre nulle part, sauf peut être en France. Dans un article sur les nombres naturel il faut donc parler clairement des deux, en les mentionnant par ordre chronologique. Cette hypothétique singularité française (et non pas francophone), pour autant qu'elle soit avérée de façon irréfutable peut éventuellement être mentionnée à titre anecdotique.

[N.B. En 1888 Dedekind, dans "Was sind und was sollen die Zahlen?" (rééd. de 1893: "§6. Einfach unendliche Systeme. Reihe der natürlichen Zahlen"), a introduit un ensemble de nombres qu'il a noté N et appelé endive ensemble des nombres naturel. Peano, quelques années après ("Introduction au formulaire de mathématique publié par la Rivista di Matematica", 1894, p.4) , a à son tour considéré N, lui a ajouté le zéro, a dénoté ce nouvel ensemble N_0 pour le distinguer de N, et l'a appelé endive au jambon ne lui a pas donné de nom particulier. Vers le milieu du vingtième siècle certains mathématiciens ont jugé pertinent de baptiser l'ensemble de Peano "ensemble des entiers naturels", ce qui n'est déjà pas très judicieux, mais compréhensible si l'on a de bonne raisons de considérer zéro comme "naturel" (et non pas simplement comme "pratique"). Cependant ils ont également jugé approprié de rebaptiser N l'ensemble de Peano … ce qui n'est vraiment pas très malin.]

[N.Bbis. Cela me fait penser à un épisode similaire et plus récent, où Donald Knuth a décidé en 1976 de changer la définition du symbole Omega de Hardy et Littlewood de 1914 utilisé pour les estimations asymptotiques en théorie des nombres, avec le commentaire prétendument humoristique mais en réalité extrêmement arrogant: "Unfortunately, Hardy and Littlewood didn't define Omega(f(n)) as I wanted them to"; malheureusement sa tentative a partiellement réussi, et le résultat est la coexistence de deux définitions incompatibles du même symbole, avec tous les malentendus que cela implique.] Sapphorain (discuter) 12 novembre 2016 à 10:51 (CET)

Les sources deviennent de plus en plus intéressantes... Visiblement, Mainzer pratique la litote car il n'indique pas que Dedekind commence à 1. Mais es-tu sur que Peano commence à zéro ? pas ici semble-t-il. Et ce n'est pas ce que semble-dire Donald Gillies[1], ni l'encyclopédia universalis. D'après d'autre source, c'est plutôt Frege qui partirait de 0[2]. Comme quoi, on ne se transforme pas si facilement en historien des maths.... L'amusant est que les informations figurent déjà en vrac dans l'article. Bon courage à celui qui réorganisera tout cela.

Concernant la phrase incriminée «En général l'ensemble des entiers naturel exclut 0», toi même semble dire que l'usage n'en est pas si général que cela. Il est d'autre part difficile de sourcer qu'en France, seul l'usage du «0 inclu» est pratiqué. Cependant je me mets à la place d'un lecteur français (celui le plus susceptible de lire notre article) et qui lit qu'en général l'ensemble des entiers naturels exclut 0 alors que c'est en contradiction avec ce qui lui a été dit pendant toute sa scolarité, cela reste troublant. Ne pourrait-on pas être plus neutre et dire, «Selon les cultures, l'ensemble des entiers naturels exclut ou inclut le 0 (Avec une note explicative sur l'usage courant (dictionnaire), les programmes français, la tradition anglosaxonne ...) ? HB (discuter) 12 novembre 2016 à 17:40 (CET)

Peano appelle N les entiers à partir de 1, comme Dedekind; quand il part de 0 il note N_0: c'est ici [3], à la page 4. Je mettrais dans l'introduction quelque chose comme: «La définition originelle de l'ensemble des entiers naturel exclut 0; plus récemment une autre définition a été proposée qui inclut 0. Les deux définitions coexistent encore aujourd'hui.» Quant à la "tradition anglo-saxonne" je pense qu'elle n'existe pas plus que la "tradition francophone": il y a d'ailleurs une source américaine dans l'article qui mentionne que les deux définitions coexistent. Sapphorain (discuter) 12 novembre 2016 à 18:01 (CET)

Parfait pour moi. Quand tu dis originelle précise Dedekind sinon les gens risquent de ne pas comprendre. HB (discuter) 12 novembre 2016 à 18:14 (CET)

Voilà, c'est fait. Mais pour l'instant, il manque une référence sur l'ajout du zéro dans l'ensemble noté N (et pas N_0): quand cela a-t-il été proposé et par qui?Sapphorain (discuter) 13 novembre 2016 à 10:52 (CET)

Je me demande si ta recherche n'est pas vaine : l'histoire des notations et des définitions n'est pas linéaire. Regarde par exemple sur Peano le texte que tu mets en source [4] : ses notations sur les réels, les rationnels et les complexes n'ont plus rien à voir avec les notations actuelles. Dans l'histoire des maths, on prend des notations et des définitions à gauche et à droite et on les dénature (voir le sens donné à nombre complexe et nombre imaginaire). On a piqué à Dedekind une partie de son vocabulaire (il parle lui de natürliche Zahlen - qu'on aurait du traduire en nombre naturel et non entier naturel). Lui n'a pas jugé utile de prendre 0. Zermelo (1908)(lire p. 267) ne parle ni de 0 ni de 1, parle de «Zahlenreihe» (suite des nombres) qu'il commence ainsi :0, {0}, {{0}}, ... et le note Z. Von Neumann (1922) commencent à 0[5] mais ne parle pas de natürlich Zahlen. En France on prend la construction de Neumann, le terme de Dedekind et sa notation.

Je ne suis pas assez compétente pour écrire sur l'histoire de la théorie des ensembles, les nombres naturels et les nombres ordinaux. Au cours de mes recherches j'ai trouvé ce document qui explique p. 54-55 pourquoi Dedekind ne commence pas à 0 alors que Zermelo le fait (existence ou non de l'ensemble vide), il y a aussi La notion de nombre chez Dedekind, Cantor, Frege: théories, conceptions et philosophie de Belna. Là s'arrêtera mes recherches. HB (discuter) 14 novembre 2016 à 08:51 (CET)

Merci pour toutes ces références. Tu as raison, on ne conserve en général telle quelle qu'une toute petite partie des notations anciennes (celles de Peano que tu mentionnes sont assez gratinées!). Ceci dit, les notations N de Dedekind et N_0 de Peano sont assez célèbres et toujours utilisées dans leur acception originelle (en tout cas par une partie non négligeable des mathématiciens); j'avais entendu parler depuis longtemps qu'elles leur étaient dues, mais je ne m'étais jamais donné la peine de les rechercher dans la littérature. Sapphorain (discuter) 15 novembre 2016 à 23:42 (CET)

L'ensemble "Whole"

"Whole number" et "Natural number" dans l'enseignement anglo-saxon, sont 2 choses différentes. Les "whole number" sont tous les nombre Naturels plus le 0, qui est un "whole", mais pas un Naturel. Selon la théorie des ensembles, on a:

𝓝 ⊂ Whole ⊂ 𝓩

En France, on apprend simplement 𝓝 ⊂ 𝓩. 𝓝 dans les pays anglo-saxons (voir la page wikipédia par exemple) s'appelle "Natural numbers", et en France on les appelle les "entier naturels".

Il faudrait peut-être l'inclure dans l'article? C'est un petit peu une source de confusion, car les pages Whole number et Natural number pointent toutes les deux vers cette même page, alors même que ces deux ensembles ne sont pas strictement égaux.

Est-ce que c'est une lacune de l'enseignement en France?

Le terme "whole number", dans la terminologie utilisée pour l'enseignement des petits enfants, désigne en général les nombres entiers positifs avec le zéro. Mais parfois il désigne aussi l'ensemble des entiers relatifs. Il n'y a pas plus de consensus sur la définition de ce terme que sur la définition de "natural integer", et il n'est jamais utilisé de manière formelle par les mathématiciens. C'est sans doute pourquoi "whole number" redirige sur "natural integer". Voir aussi la discussion sur la page anglophone.Sapphorain (discuter) 7 décembre 2016 à 08:34 (CET)

un entier naturel = un étalon ?

Commencer un article de wikipedia grand public par "un entier naturel est un étalon" me parait non approprié. Moi je pensais que c'était un nombre.... --Robert FERREOL (discuter) 13 septembre 2021 à 12:37 (CEST)

Mais oui Robert FERREOL, un entier est un étalon .... dans le domaine équestre .

Pour parler plus sérieusement. Jusqu"'au 12 aout 2021, un entier naturel était un «nombre positif permettant de dénombrer des objets» [6], puis il est devenu une «notion première de l'arithmétique»[7] avant de devenir par le même auteur « étalon permettant fondamentalement de dénombrer»[8].

Chacun pense qu'il a la solution pour présenter de manière en même temps rigoureuse et pédagogique une notion élémentaire, et qu'il va faire mieux que l'établi. Tout est parfaitement justifiable mais le résultat n'est parfois pas très heureux. C'est le cas ici, amha. Je serais favorable au retour à une phrase d'accroche où il est précisé qu'un entier naturel est un nombre (tant pis pour le côté répétitif)

Ce RI non stable donne d'ailleurs des résultats assez loufoque comme

L'ensemble des entiers naturels, qu'il contienne ou non le nombre zéro, est noté $\mathbf {N}$ » ou « $\mathbb {N}$ », suivi de «l'ensemble des entiers naturels non nuls est également couramment noté « $\mathbf {N} ^{\star }$ » (ou « $\mathbb {N} ^{\star }$)» .

Bon, là il faut être clair : on ne note pas indifféremment $\mathbf {N}$ l'ensemble des entiers naturels tantôt contenant 0, tantôt ne le contenant pas. On choisit une notation et on s'y tient tout au long de son utilisation.

HB (discuter) 13 septembre 2021 à 13:13 (CEST)

. La phrase introductive n'est pas très heureuse (répétition «nombre» et «dénombrer», expression amha un peu trop complexe...) et peut être amendée pourvu que reste claire l'idée qu'un entier naturel est un nombre.

Pour la suite j'ai tenté de clarifier l'histoire des notations. HB (discuter) 21 septembre 2021 à 09:50 (CEST)

Je propose, pour éviter la répétition: «  … est un nombre permettant fondamentalement de compter des objets considérés comme des unités équivalentes … » CBerlioz (discuter) 24 septembre 2021 à 15:24 (CEST)

Oui! Bien meilleur en effet. HB (discuter) 24 septembre 2021 à 16:13 (CEST)

Sur les notations

(reprise dans une section dédiée) J'ai consulté 5 livres d'arithmétique (Serre, de Koninck, Abdeljaouad, Duverney, Savin) et je n'ai jamais vu la notation $\mathbb {N} _{0}$ mais toujours $\mathbb {N}$ ou $\mathbf {N}$ (pour les entiers positifs ou nuls). D'où ma dernière modif (retour à la version du 11 septembre). Robert FERREOL (discuter) 21 mars 2023 à 20:51 (CET)

Je pense que si tu cherches des sources francophones, tu vas forcément tomber sur la définition francophone et la notation associée : $\mathbb {N} =\{0,1,\cdots \}$

Si tu cherches des sources anglophones, tu verras, comme ici que l'on note $\mathbb {N} =\{1,2,\cdots \}$. Il est alors légitime de se poser la question de savoir comment se note dans ce cas l'ensemble $\mathbb {\{} 0,1,\cdots \}$. Stackexchange propose une liste de notation dont $\mathbb {N} _{0}$ en renvoyant sur WP:en, qui source cette notation à l'aide d'une norme ("Standard number sets and intervals". ISO 80000-2:2009. International Organization for Standardization. p. 6.) que je ne peux pas consulter et à l'aide d'un ouvrage (Grimaldi, Ralph P. (2004). Discrete and Combinatorial Mathematics: An applied introduction (5th ed.). Pearson Addison Wesley) tout aussi inaccessible. J'ai trouvé aussi la notation $\mathbb {W}$ pour les whole numbers [9], la notation $\mathbb {Z} ^{+}$ (p.4 de ce document). Je ne peux pas garantir la pertinence de $\mathbb {N} _{0}$ (à l'exception de l'usage chez Peano [10]) mais on n'a pas le droit de dire que l'ensemble $\{0,1,\cdots \}$ est toujours noté $\mathbb {N}$. HB (discuter) 21 mars 2023 à 22:43 (CET)

PS la version actuelle est identique à la version du 11 septembre à part le fait que les cas sont exposés dans un ordre différent en cohérence avec l'ordre dans lequel sont présentées les deux définitions. HB (discuter) 21 mars 2023 à 22:47 (CET)

J'ai rétabli la version antérieure. Si l'on se place dans le cas où l'ensemble des entiers à partir de un est appelé l'ensemble des entiers naturels (lequel est toujours noté N) on ne peut pas dire que dans ce même cas de figure un autre ensemble est, ni parfois ni couramment, également noté N. --Sapphorain (discuter) 21 mars 2023 à 23:06 (CET)

Sur les notations (2)

Nous avons un problème récurrent avec cet article sur la question des notations et des définitions car depuis son introduction en 2021, la section :

Quelle que soit la définition choisie, (entiers commençant à zéro ou commençant à un), l'ensemble des entiers naturels est conventionnellement noté « $\mathbf {N}$ » ou « $\mathbb {N}$ », avec tous les risques induits de mésinterprétation. La notation est due à Dedekind en 1888, qui l'utilise pour l'ensemble des entiers commençant à un. On trouve parfois des notations moins ambiguës exposées dans la section Notations.

• Lorsque l'on prend comme définition des entiers naturels, l'ensemble des entiers commençant à zéro, l'ensemble des entiers naturels non nuls est couramment noté « $\mathbf {N} ^{\star }$ » (ou « $\mathbb {N} ^{\star }$ »).
• Lorsque l'on prend pour définition des entiers naturels, l'ensemble des entiers commençant à un, l'ensemble des entiers positifs ou nuls, appelés en anglais non-negative integers, est parfois noté « $\mathbb {N} _{0}$ ».

est régulièrement modifiée en intervertissant le un et le zéro : 16 aout 2022, 21 mars 2023, 21 juin 2024. J'en conclus que notre exposé n'est pas clair...

On peut essayer de clarifier davantage en écrivant

Quelle que soit la définition choisie, (entiers commençant à zéro ou commençant à un), l'ensemble des entiers naturels est conventionnellement noté « $\mathbf {N}$ » ou « $\mathbb {N}$ », avec tous les risques induits de mésinterprétation. La notation est due à Dedekind en 1888, qui l'utilise pour l'ensemble des entiers commençant à un. On trouve parfois des notations moins ambiguës exposées dans la section Notations.

Ainsi, dans les ouvrages qui incluent 0 dans les entiers naturels, on trouve les notations $\mathbb {N} =\{0,1,2,\dots \}$ et $\mathbb {N} ^{*}=\{1,2,\dots \}$

Tandis que, dans les ouvrages qui font commencer les entiers naturels à 1, on trouve la notation $\mathbb {N} =\{1,2,\dots \}$ et l'ensemble $\{0,1,2,\dots \}$ est alors noté $\mathbb {W}$ ou $\mathbb {Z} _{+}$ ou $\mathbb {N} _{0}$.

On peut aussi, puisque ces détails alourdissent inutilement le RI et que nous peinons à trouver des sources consultables pour la notation N₀, réduire carrément en écrivant :

Quelle que soit la définition choisie, l'ensemble des entiers naturel est conventionnellement noté « $\mathbf {N}$ » ou « $\mathbb {N}$ »

Qu'en pensez vous ? HB (discuter) 22 juin 2024 à 08:57 (CEST)

Excellente clarification ; tu pourrais mettre ta note en incise ou entre parenthèses, en remplaçant majorité par totalité ? Robert FERREOL (discuter) 22 juin 2024 à 09:47 (CEST)

Apparemment au Canada aussi N contient 0 :https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/les-nombres-naturels-m1021. Qui trouvera une source francophone où N ne contient pas 0 (autre qu'une traduction littérale d'un texte anglais ? Robert FERREOL (discuter) 22 juin 2024 à 18:12 (CEST)

 Sapphorain : toi qui a enseigné en université francophone que N ne contenait pas 0, est-ce que tu peux nous donner un titre d'ouvrage en français? HB (discuter) 22 juin 2024 à 18:33 (CEST)

Non. Dans ma spécialité (la théorie analytique des nombres), à l’exception notable du Tenenbaum (qui ne définit pas N), je n’ai utilisé dans mon enseignement que des ouvrages ou des articles publiés en anglais ou en allemand (dans lesquels en général on ne se donne de toute façon pas la peine de définir une notation pour désigner les entiers positifs: pourquoi s’emmerder à devoir deviner ce que veut dire $n\in {\mathbb {N}}$, quand il est si simple d’écrire $n\geq 0$ ou $n\geq 1$...). Je précise que si « j’ai enseigné que N ne contenait pas zéro », ça n’est en référence à aucun ouvrage en particulier, mais tout simplement parce que c’est ce que j’ai appris moi-même dans tous les cours que j’ai suivis lorsque j'étais étudiant.--Sapphorain (discuter) 22 juin 2024 à 21:55 (CEST)

Merci. Entre temps, j'ai trouvé la définition de N commençant à 1 en Suisse en théorie des nombres ici (p.3) et au Canada ici (p.5) ou [11]. HB (discuter) 22 juin 2024 à 22:06 (CEST)