Fibré tangent

Deux manières de représenter le fibré tangent d'un cercle : tous les espaces tangents (en haut) sont regroupés de manière continue et sans se recouvrir (en bas).

En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, le fibré tangent $TM$ associé à une variété différentielle M est la somme disjointe de tous les espaces tangents en tous les points de la variété, soit :

${\begin{aligned}TM&=\bigsqcup _{x\in M}T_{x}M\\&=\bigcup _{x\in M}\left\{x\right\}\times T_{x}M\\&=\bigcup _{x\in M}\left\{(x,v)\mid v\in T_{x}M\right\}\\&=\left\{(x,v)\mid x\in M,\,v\in T_{x}M\right\}\end{aligned}}$

où $T_{x}M$est l'espace tangent de $M$ en $x$. Un élément de $TM$ est donc un couple $(x,v)$ constitué d'un point $x$ de $M$ et d'un vecteur $v$ tangent à $M$ en $x$.

Le fibré tangent peut être muni d'une topologie découlant naturellement de celle de $M.$ Sous cette topologie, il possède une structure de variété différentielle prolongeant celle de $M$ ; c'est un espace fibré de base $M$, et même un fibré vectoriel.

Utilité

Le fibré tangent apparait en particulier comme le domaine de définition de la dérivée d'une fonction différentiable sur $M$ : si $f:M\rightarrow N$ est une application différentiable entre deux variétés différentielles $M$ et $N$, alors sa dérivée est une fonction $Df:TM\rightarrow TN$.

Exemples

Supposons que $M$ soit une sous-variété de classe $C^{k}$ (k ≥ 1) et de dimension $d$ de $\mathbb {R} ^{n}\,$ ; on peut voir alors $TM$ comme l'ensemble des couples $(x,v)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$ formés d'un point $x\in M$et d'un vecteur $v$ tangent à $M$ en $x$. (Passer à $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$ permet de voir les espaces tangents aux différents points comme des ensembles disjoints.)

On obtient ainsi une sous-variété de classe $C^{k-1}$ et de dimension 2d de $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$. En effet, pour tout point de $M$, il existe un ouvert $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ et une submersion $f:U\mapsto \mathbb {R} ^{n-d}$ (de classe $C^{k}$) tels que $U\cap M=f^{-1}(0)$. On en déduit que

$T(U\cap M)=\{(x,v)\in U\times \mathbb {R} ^{n},f(x)=0\ \mathrm {et} \ f^{\prime }(x)\cdot v=0\}$

Mais l'application $(x,v)\mapsto {\big (}f(x),f^{\prime }(x)\cdot v{\big )}$ est une submersion de classe $C^{k-1}$ de $U\times \mathbb {R} ^{n}$ dans $\mathbb {R} ^{2(n-d)}$

Exemple : Le fibré tangent au cercle $S^{1}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2},x^{2}+y^{2}=1\}$ apparaît ainsi comme la sous-variété

$\{(x,y,X,Y)\in \mathbb {R} ^{4},x^{2}+y^{2}=1,xX+yY=0\}$.

Il est difféomorphe au cylindre $S^{1}\times \mathbb {R}$ (voir ci-contre).

En dimensions supérieures, il devient plus difficile de visualiser les fibrés tangents ; ainsi pour une variété de dimension 2, le fibré tangent correspondant est une variété de dimension 4. Ainsi dans le cas du théorème de la boule chevelue, le fibré tangent à la sphère est non trivial.

Topologie

On définit une topologie sur $TM$ en tant qu'espace fibré en se donnant pour chaque ouvert $U$ de $M$ une trivialisation locale

$\varphi _{U}\left\{{\begin{matrix}TM&\rightarrow &U\times V\\m&\mapsto &(P_{U}(m),v_{U}(m))\end{matrix}}\right.$

où $V$ est un espace vectoriel isomorphe à l'espace tangent à $M$ en n'importe quel $P\in U$ et pour chaque $m\in TM$, $v_{U}(m)$ appartient à l'espace tangent à $M$ en $P_{U}(m)$ .

Par ailleurs $\varphi _{U}$ doit satisfaire à la condition de recollement suivante : Si $P_{0}=P(m)\in U_{1}\cap U_{2}$ où $U_{1}\,$ et $U_{2}\,$ sont des ouverts associés à des cartes $x_{1}^{\mu }$ et $x_{2}^{\mu }$ alors on doit avoir (en notation de coordonnées pour les vecteurs $v_{U_{1}}$ et $v_{U_{2}}$)

$v_{U_{2}}^{\mu }(m)=\left.{\frac {\partial x_{2}^{\mu }}{\partial x_{1}^{\nu }}}\right|_{P_{0}}v_{U_{1}}^{\nu }(m)$

où on a adopté la convention de sommation d'indices répétés d'Einstein.

Champ de vecteurs

Un champ de vecteurs (ou champ vectoriel) est une fonction lisse associant à chaque point d'une variété un vecteur tangent en ce point. Un tel champ de vecteurs est donc une fonction différentiable prenant ses valeurs dans le fibré tangent :

${\begin{aligned}V:M&\rightarrow TM\\x&\mapsto (x,V_{x})\end{aligned}}$

où $V_{x}\in T_{x}M$ est un vecteur de l'espace tangent à $M$ en $x$. En d'autres termes ce champ est une section lisse de l'espace fibré $TM$.

L'ensemble des champs vectoriels sur $M$ est noté $\Gamma (TM)$ ou ${\mathfrak {X}}(M)$. Il peut être muni d'une opération d'addition définie par $(V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}$ et d'une multiplication par une fonction f à valeurs réelles différentiable sur M : $(f\cdot V)_{x}=f(x)V_{x}$. Ces opérations lui donnent une structure de module sur l'anneau des fonctions différentiables à valeurs réelles sur $M$.

Un champ vectoriel local est un champ défini localement sur un ouvert $U$ de $M$, associant à chaque point de $U$ un vecteur de l'espace tangent correspondant. L'ensemble des champs de vecteurs locaux de $M$ forme un faisceau des espaces vectoriels réels sur $M$.

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