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En algèbre linéaire , une forme antisymétrique est une forme multilinéaire anticommutative , c’est-à-dire dont une permutation des arguments correspond à la multiplication de la valeur par la signature de la permutation .
Soit
ϕ
∈
L
n
(
E
)
{\displaystyle \phi \in {\mathcal {L_{n}}}(E)}
n
{\displaystyle n}
E
{\displaystyle E}
K
{\displaystyle K}
ϕ
{\displaystyle \phi }
∀
σ
∈
S
n
,
∀
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
E
n
,
ϵ
(
σ
)
ϕ
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
ϕ
(
x
σ
(
1
)
,
…
,
x
σ
(
n
)
)
{\displaystyle \forall \sigma \in {\mathfrak {S}}_{n},\;\forall (x_{1},\dots ,x_{n})\in E^{n},\;\epsilon (\sigma )\phi (x_{1},\dots ,x_{n})=\phi (x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})}
Où
S
n
{\displaystyle {\mathfrak {S}}_{n}}
groupe symétrique de
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle \{1,\dots ,n\}}
τ
∈
S
n
,
ϵ
(
τ
)
=
−
1
{\displaystyle \tau \in {\mathfrak {S}}_{n},~\epsilon (\tau )=-1}
∀
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
E
n
,
∀
(
i
,
j
)
∈
N
2
,
1
≤
i
<
j
≤
n
⇒
ϕ
(
x
1
,
…
,
x
i
,
…
,
x
j
,
…
,
x
n
)
=
−
ϕ
(
x
1
,
…
,
x
j
,
…
,
x
i
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle \forall (x_{1},\dots ,x_{n})\in E^{n},\;\forall (i,j)\in \mathbb {N} ^{2},\;1\leq i<j\leq n\Rightarrow \;\phi (x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=-\phi (x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})}
Il y a même équivalence entre les deux assertions, la seconde étant plus simple à manier, c'est généralement la définition retenue.
Une forme bilinéaire
f
{\displaystyle f}
E
{\displaystyle E}
∀
x
,
y
∈
E
f
(
x
,
y
)
=
−
f
(
y
,
x
)
{\displaystyle \forall x,y\in E\quad f(x,y)=-f(y,x)}
Le déterminant est une forme multilinéaire antisymétrique.
Toute forme alternée est antisymétrique. La réciproque est vraie pour les espaces vectoriels réels ou plus généralement lorsque le corps des scalaires est de caractéristique différente de 2. 
