Irrationnel quadratique
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Un irrationnel quadratique est un nombre irrationnel solution d'une équation quadratique à coefficients rationnels, et donc d'une équation quadratique à coefficients entiers. Dit autrement, c'est un nombre réel qui est racine d'un polynôme du second degré à coefficients rationnels irréductible sur le corps ℚ des rationnels, c'est-à-dire un nombre réel algébrique de degré 2.
Un irrationnel quadratique s'écrit r + s√d, où r, s sont des rationnels et d un entier naturel sans facteur carré.
Il engendre donc un corps quadratique réel ℚ(√d), où d est un entier positif sans facteur carré.
Les irrationnels quadratiques sont caractérisés par la périodicité à partir d'un certain rang de leur développement en fraction continue d'après le théorème de Lagrange.
Exemples
[modifier | modifier le code]- Les exemples les plus simples d'irrationnels quadratiques sont les racines carrées d'entiers naturels qui ne sont pas des carrés parfaits, comme √2). On démontre en effet que si un entier n'est pas le carré d'un entier alors, il n'est pas non plus le carré d'un rationnel (voir racine carrée d'un entier naturel#irrationnalité) ;
- plus généralement, tout entier algébrique réel non entier est irrationnel[1], et donc en particulier les entiers algébriques de degré 2, comme les racines carrées d'entiers mais aussi le nombre d'or 1+√52 (dont l'irrationnalité se déduit également de celle de √5) ;
Caractérisation
[modifier | modifier le code]La racine réelle d'un polynôme du second degré à coefficients entiers, peut toujours s'écrire :
où a est un entier relatif, a un entier naturel non nul, et c un entier relatif non nul. L'irrationnalité de ce nombre équivaut à celle de √c, d'où la caractérisation annoncée en introduction.
Notes et références
[modifier | modifier le code]- (en) Ivan Niven, Numbers : Rational and Irrational, The L. W. Singer Company, coll. « New Mathematical Library », , 136 p. (ISBN 978-0-88385-601-7), p. 15.
