En mathématiques , plus précisément en algèbre linéaire , une matrice de passage (ou encore matrice de changement de base ) permet d'écrire des formules de changement de base pour les représentations matricielles des vecteurs , des applications linéaires et des formes bilinéaires .
Soient K un corps commutatif , E un K-espace vectoriel de dimension finie n , et B, B' deux bases de E.
La matrice de passage de B à B' , notée
P
B
B
′
{\displaystyle \mathrm {P_{B}^{B'}} }
matrice représentative de l'application identité IdE , de E muni de la base B' dans E muni de la base B :
P
B
B
′
=
M
B
′
,
B
(
I
d
E
)
{\displaystyle \mathrm {P_{B}^{B'}} ={\mathcal {M}}_{\mathrm {B} ',\mathrm {B} }(\mathrm {Id_{E}} )}
[ 1] Autrement dit :
si un même vecteur de E a pour coordonnées les matrices colonnes X dans B et X' dans B', alors
X
=
P
B
B
′
X
′
{\displaystyle \mathrm {X} =\mathrm {P_{B}^{B'}} \mathrm {X} '}
[ 1] ou, ce qui est équivalent :
P
B
B
′
{\displaystyle \mathrm {P_{B}^{B'}} }
M
B
(
B
′
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathrm {B} }(\mathrm {B} ')}
c.-à-d. que ses colonnes sont les coordonnées des vecteurs de B', exprimés dans la base B[ 1]
Pour des raisons mnémotechniques, on qualifie B' de nouvelle base, B d'ancienne base. On observera que dans les deux premières descriptions données, les bases interviennent dans l'ordre opposé à celui de la terminologie. La troisième peut être détaillée ainsi : si
B
=
(
e
1
,
…
,
e
n
)
{\displaystyle \mathrm {B} =(e_{1},\ldots ,e_{n})}
B
′
=
(
e
1
′
,
…
,
e
n
′
)
{\displaystyle \mathrm {B} '=(e'_{1},\ldots ,e'_{n})}
e
j
′
=
∑
i
=
1
n
a
i
,
j
e
i
{\displaystyle e'_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}e_{i}}
j
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle j=1,\ldots ,n}
P
B
B
′
=
(
a
i
,
j
)
i
,
j
=
1
n
∈
M
n
(
K
)
{\displaystyle \mathrm {P_{B}^{B'}} =(a_{i,j})_{i,j=1}^{n}\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} )}
Comme déjà mentionné, si un vecteur de E a pour coordonnées X et X' dans deux bases B et B', alors
X
=
P
B
B
′
X
′
{\displaystyle \mathrm {X} =\mathrm {P_{B}^{B'}} \mathrm {X} '}
Considérons l'espace euclidien ℝ3 muni de sa base canonique B(e 1 , e 2 , e 3 ), « ancienne base », orthonormée directe.
Homothétie d'un facteur k . Homothétie La nouvelle base B'(e' 1 , e' 2 , e' 3 ) est obtenue par une homothétie de facteur k . On a ainsi :
e' 1 = k e 1 ;e' 2 = k e 2 ;e' 3 = k e 3 .La matrice de passage s'écrit
P
B
B
′
=
(
k
0
0
0
k
0
0
0
k
)
{\displaystyle \mathrm {P_{B}^{B'}} ={\begin{pmatrix}k&0&0\\0&k&0\\0&0&k\\\end{pmatrix}}}
Soit un vecteur x de composantes (X1 , X2 , X3 ) dans B et (X'1 , X'2 , X'3 ) dans B'. On a :
(
X
1
X
2
X
3
)
=
(
k
0
0
0
k
0
0
0
k
)
(
X
1
′
X
2
′
X
3
′
)
=
(
k
X
1
′
k
X
2
′
k
X
3
′
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {X} _{1}\\\mathrm {X} _{2}\\\mathrm {X} _{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}k&0&0\\0&k&0\\0&0&k\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {X} '_{1}\\\mathrm {X} '_{2}\\\mathrm {X} '_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}k\mathrm {X} '_{1}\\k\mathrm {X} '_{2}\\k\mathrm {X} '_{3}\\\end{pmatrix}}}
Rotation d'un angle α autour de e 3 . Rotation de la base La nouvelle base B'(e' 1 , e' 2 , e' 3 ) est obtenue par rotation d'un angle α autour de l'axe e 3 . On a ainsi :
e' 1 = cos(α) e 1 + sin(α) e 2 ;e' 2 = –sin(α) e 1 + cos(α) e 2 ;e' 3 = e 3 .La matrice de passage s'écrit
P
B
B
′
=
(
cos
α
−
sin
α
0
sin
α
cos
α
0
0
0
1
)
{\displaystyle \mathrm {P_{B}^{B'}} ={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}
Soit un vecteur x de composantes (X1 , X2 , X3 ) dans B et (X'1 , X'2 , X'3 ) dans B'. On a :
(
X
1
X
2
X
3
)
=
(
cos
α
−
sin
α
0
sin
α
cos
α
0
0
0
1
)
(
X
1
′
X
2
′
X
3
′
)
=
(
(
cos
α
)
X
1
′
−
(
sin
α
)
X
2
′
(
sin
α
)
X
1
′
+
(
cos
α
)
X
2
′
X
3
′
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {X} _{1}\\\mathrm {X} _{2}\\\mathrm {X} _{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {X} '_{1}\\\mathrm {X} '_{2}\\\mathrm {X} '_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(\cos \alpha )\mathrm {X} '_{1}-(\sin \alpha )\mathrm {X} '_{2}\\(\sin \alpha )\mathrm {X} '_{1}+(\cos \alpha )\mathrm {X} '_{2}\\\mathrm {X} '_{3}\\\end{pmatrix}}}
Soient B et B' deux bases de E. Alors
P
B
B
′
{\displaystyle \mathrm {P_{B}^{B'}} }
inversible et
(
P
B
B
′
)
−
1
=
P
B
′
B
{\displaystyle \left(\mathrm {P_{B}^{B'}} \right)^{-1}=\mathrm {P_{B'}^{B}} }
En effet, d'après la règle de calcul de la matrice d'une composée :
P
B
B
′
P
B
′
B
=
M
B
′
,
B
(
I
d
E
)
M
B
,
B
′
(
I
d
E
)
=
M
B
,
B
(
I
d
E
)
=
I
n
{\displaystyle \mathrm {P_{B}^{B'}} \mathrm {P_{B'}^{B}} ={\mathcal {M}}_{\mathrm {B'} ,\mathrm {B} }(\mathrm {Id_{E}} ){\mathcal {M}}_{\mathrm {B} ,\mathrm {B'} }(\mathrm {Id_{E}} )={\mathcal {M}}_{\mathrm {B} ,\mathrm {B} }(\mathrm {Id_{E}} )=\mathrm {I} _{n}}
Reprenons les exemples ci-dessus.
Homothétie La matrice inverse s'obtient simplement en remplaçant k par 1/k , soit :
P
B
′
B
=
(
1
/
k
0
0
0
1
/
k
0
0
0
1
/
k
)
{\displaystyle \mathrm {P_{B'}^{B}} ={\begin{pmatrix}1/k&0&0\\0&1/k&0\\0&0&1/k\\\end{pmatrix}}}
et donc
(
X
1
′
X
2
′
X
3
′
)
=
(
1
/
k
0
0
0
1
/
k
0
0
0
1
/
k
)
(
X
1
X
2
X
3
)
=
(
X
1
/
k
X
2
/
k
X
3
/
k
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {X} '_{1}\\\mathrm {X} '_{2}\\\mathrm {X} '_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1/k&0&0\\0&1/k&0\\0&0&1/k\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {X} _{1}\\\mathrm {X} _{2}\\\mathrm {X} _{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathrm {X} _{1}/k\\\mathrm {X} _{2}/k\\\mathrm {X} _{3}/k\\\end{pmatrix}}}
Rotation La matrice inverse s'obtient simplement en remplaçant α par –α, soit :
P
B
′
B
=
(
cos
α
sin
α
0
−
sin
α
cos
α
0
0
0
1
)
{\displaystyle \mathrm {P_{B'}^{B}} ={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}
(on remarque que c'est la transposée, PB' B = t PB B' ) et donc
(
X
1
′
X
2
′
X
3
′
)
=
(
cos
α
sin
α
0
−
sin
α
cos
α
0
0
0
1
)
(
X
1
X
2
X
3
)
=
(
(
cos
α
)
X
1
+
(
sin
α
)
X
2
−
(
sin
α
)
X
1
+
(
cos
α
)
X
2
X
3
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {X} '_{1}\\\mathrm {X} '_{2}\\\mathrm {X} '_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {X} _{1}\\\mathrm {X} _{2}\\\mathrm {X} _{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(\cos \alpha )\mathrm {X} _{1}+(\sin \alpha )\mathrm {X} _{2}\\-(\sin \alpha )\mathrm {X} _{1}+(\cos \alpha )\mathrm {X} _{2}\\\mathrm {X} _{3}\\\end{pmatrix}}}
Soient
E
,
E
′
{\displaystyle {\mathcal {E}},{\mathcal {E}}'}
F
,
F
′
{\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}'}
f
:
E
→
F
{\displaystyle f:\mathrm {E} \to \mathrm {F} }
de matrices A dans les bases
E
,
F
{\displaystyle {\mathcal {E}},{\mathcal {F}}}
E
′
,
F
′
{\displaystyle {\mathcal {E}}',{\mathcal {F}}'}
, alors
B
=
Q
−
1
A
P
{\displaystyle \mathrm {B} =\mathrm {Q} ^{-1}\mathrm {A} \mathrm {P} }
où
P est la matrice de passage de
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
E
′
{\displaystyle {\mathcal {E}}'}
Q est la matrice de passage de
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
F
′
{\displaystyle {\mathcal {F}}'}
En effet,
Q
−
1
A
P
=
M
F
′
,
F
−
1
(
I
d
F
)
[
M
E
,
F
(
f
)
M
E
′
,
E
(
I
d
E
)
]
=
M
F
,
F
′
(
I
d
F
)
M
E
′
,
F
(
f
)
=
M
E
′
,
F
′
(
f
)
=
B
{\displaystyle \mathrm {Q} ^{-1}\mathrm {A} \mathrm {P} ={\mathcal {M}}_{{\mathcal {F}}',{\mathcal {F}}}^{-1}(\mathrm {Id_{F}} )[{\mathcal {M}}_{{\mathcal {E}},{\mathcal {F}}}(f){\mathcal {M}}_{{\mathcal {E}}',{\mathcal {E}}}(\mathrm {Id_{E}} )]={\mathcal {M}}_{{\mathcal {F}},{\mathcal {F}}'}(\mathrm {Id_{F}} ){\mathcal {M}}_{{\mathcal {E}}',{\mathcal {F}}}(f)={\mathcal {M}}_{{\mathcal {E}}',{\mathcal {F}}'}(f)=\mathrm {B} }
Les matrices A et B sont alors dites équivalentes .
Dans le cas particulier d'un endomorphisme (i.e. F = E), si l'on choisit
F
=
E
{\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {E}}}
F
′
=
E
′
{\displaystyle {\mathcal {F}}'={\mathcal {E}}'}
semblables .
Soient
E
,
E
′
{\displaystyle {\mathcal {E}},{\mathcal {E}}'}
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
E
′
{\displaystyle {\mathcal {E}}'}
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
E
′
{\displaystyle {\mathcal {E}}'}
[ 2]
B
=
t
P
A
P
{\displaystyle \mathrm {B} =^{\operatorname {t} }\!\mathrm {P} \mathrm {A} \mathrm {P} }
où t P désigne la matrice transposée de P.
Les matrices A et B sont alors dites congruentes .
Il arrive que l'on considère une forme bilinéaire φ définie non pas sur E×E mais sur E×F où F est un espace vectoriel non nécessairement égal à E. Si
E
,
E
′
{\displaystyle {\mathcal {E}},{\mathcal {E}}'}
F
,
F
′
{\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}'}
B
=
t
P
A
Q
{\displaystyle \mathrm {B} =^{\operatorname {t} }\!\mathrm {P} \mathrm {A} \mathrm {Q} }
On peut également considérer une forme sesquilinéaire au lieu d'une forme bilinéaire. Dans ce cas, il faut remplacer, dans les formules, la transposée de la matrice de passage par sa matrice adjointe .
Forme
Transformée
Relation
Propriété
Famille
Associée
Résultats
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