Triplet de Gelfand

En analyse fonctionnelle, le triplet de Gelfand (aussi triplet de Banach-Gelfand ou triade hilbertienne ou rigged Hilbert space) est un espace-triplet $(V,H,V^{*})$ consistant en un espace de Hilbert $H$, un espace de Banach (ou plus généralement un espace vectoriel topologique) $V$ et son dual topologique $V^{*}$. L'espace $V$ est choisi tel que $V$ soit un sous-espace dense dans $H$ et que son inclusion soit continue. Cette construction a l'avantage que les éléments de $H$ peuvent être exprimés comme des éléments de l'espace dual $V^{*}$ en utilisant le théorème de représentation de Fréchet-Riesz.

Le triplet de Gelfand porte le nom de Israel Gelfand.

Definition

Soit $(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H})$ un espace de Hilbert séparable et $V\subset H$ un espace de Banach réflexif et dense dans $H$ avec une inclusion $i_{1}:V\hookrightarrow H$ continue. Soient $H^{*}$ et $V^{*}$ les espaces duals correspondants. La séparabilité de $H$ garantit l'existence d'un sous-espace dense dans $H$.

Il découle de ces propriétés que l'inclusion dense suivante est vérifiée

$V\subset H\subset V^{*},$

où $H$ est identifié à $H^{*}$. $H$ est appelé l'espace pivot.

Alors pour tout $h\in H,v\in V$, on a :

$\langle h,v\rangle _{H}={}_{V^{*}}\langle h,v\rangle _{V},$

où le côté droit désigne le crochet de dualité.

Le triplet $(V,H,V^{*})$ est appelé triplet de Gelfand.

Dérivation de l'inclusion

On peut montrer que $H^{*}\subset V^{*}$ est également dense et que l'inclusion $i_{2}:H^{*}\hookrightarrow V^{*}$ est continue. Pour un $\varphi \in H^{*}$ et $x\in H$, on définit la paire duale

${}_{H^{*}}\langle \varphi ,x\rangle _{H}:=\varphi (x).$

Pour chaque $\varphi \in H^{*}$ il existe une représentation de Riesz unique $h_{\varphi }\in H$ telle que

${}_{H^{*}}\langle \varphi ,x\rangle _{H}=\langle x,h_{\varphi }\rangle _{H}$

pour tout $x\in H$. On peut donc identifier $H\cong H^{*}$ et donc l'inclusion suit

$V\subset H\subset V^{*},$

et l’inclusion $i_{3}:H\hookrightarrow V^{*}$ est continue.

Cas général

Dans le cas général, $V$ n'est pas un espace de Banach mais seulement un espace vectoriel topologique. Le triplet $(V,H,V^{*})$ est aussi appelé triplet de Gelfand et $H^{*}\subset V^{*}$ est également dense et l'inclusion $i_{2}:H^{*}\hookrightarrow V^{*}$ est continue.

Exemples

• Soient $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ l’espace de Hilbert des fonctions de carré intégrable sur $\mathbb {R} ^{n}$ (qui est un cas particulier d’espace L^p), ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ l'espace de Schwartz et ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$ l'espace de distributions tempérées. Alors le triplet $({\mathcal {S}},L^{2},{\mathcal {S}}')$ est un triplet de Gelfand.
• Soient $\ell ^{1},\ell ^{2},\ell ^{\infty }$les espaces de suites classiques. Alors le triplet $(\ell ^{1},\ell ^{2},\ell ^{\infty })$ est un triplet de Gelfand.