Álxebra de Lie

En matemáticas, unha álxebra de Lie é a estrutura alxébrica definida sobre un espazo vectorial, asociada habitualmente aos grupos de Lie e empregadas no estudo xeométrico deses propios grupos e doutras variedades diferenciábeis. O vocábulo "álxebra de Lie" (referido a Sophus Lie) foi creado por Hermann Weyl na década de 1930, para o que se denominaba "grupo infinitesimal".

Se un grupo de Lie pode interpretarse en física como un grupo de transformacións sobre unha variedade diferenciábel, a álxebra de Lie fisicamente pode concibirse como un conxunto de transformacións infinitesimais.

Definición

Unha álxebra de Lie ${\mathfrak {a}}$ é un espazo vectorial sobre un certo corpo $\mathbb {F}$ xunto cunha operación binaria [•, •]: ${\mathfrak {a}}\times {\mathfrak {a}}\to {\mathfrak {a}}$ , chamada corchete de Lie, que satisfai as propiedades seguintes:

é bilinear, é dicir, [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z] e [z, a x + b y] = a [z, x] + b [z, y] para todo a, b en $\mathbb {F}$ e todo x, y, z en ${\mathfrak {a}}$ .
satisfai a identidade de Jacobi, é dicir, [[x, y], z] + [[z, x], y] + [[y, z], x] = 0 para todo x, y, z en ${\mathfrak {a}}$ .
[x, x] = 0 para todo x en ${\mathfrak {a}}$ .

Obsérvese que a primeira propiedade e a terceira xuntas implican [x, y] = − [y, x] para todo x, y en ${\mathfrak {a}}$ ("anti-simetría") se o corpo $\mathbb {F}$ é de característica diferente de dous. Obsérvese tamén que a multiplicación representada polo corchete de Lie non é, en xeral, asociativa, é dicir, [[x, y], z] non é igual necesariamente a [x, [y, z]].

Exemplos

Cada espazo vectorial convértese nunha álxebra de Lie abeliana trivial se se define o corchete de Lie como identicamente a cero.
O espazo euclidiano $\mathbb {R} ^{3}$ convértese nunha álxebra de Lie co corchete de Lie dado polo produto vectorial.
Se se dá unha álxebra asociativa A coa multiplicación * , pódese dar unha álxebra de Lie definindo [x, y] = x * y − y * x. Esta expresión chámase conmutador de x e y.
Inversamente, pode demostrarse que cada álxebra de Lie pódese mergullar noutra que xurda dunha álxebra asociativa dese xeito.
Outro exemplo importante vén da topoloxía diferencial: os campos vectoriais nunha variedade diferenciábel forman unha álxebra de Lie de dimensión infinita. Estes campos vectoriais actúan como operadores diferenciais sobre as funcións diferenciábeis sobre a variedade. Dados dous campos vectoriais X e Y, o corchete de Lie $\scriptstyle [X,Y]$ defínese como:

$\left[X,Y\right]f=(XY-YX)f\,$

e pode comprobarse que este operador corresponde a un campo vectorial. As xeneralizacións axeitadas da teoría de variedades ao caso de dimensión infinita mostran que esta álxebra de Lie é a asociada ao grupo de Lie dos difeomorfismos da variedade.

No caso dunha variedade que sexa un grupo de Lie $G$ á súa vez, un subespazo dos campos vectoriais queda inalterado polas transformacións dadas polo propio grupo, no sentido de que en cada punto $g$ do mesmo, o campo non é máis que:

$X(g)=dl_{g}(X(e))\,$

Este subespazo é de dimensión finita (e igual á do grupo), dado que se corresponde co espazo tanxente na identidade. Ademais herda a estrutura de álxebra de Lie definida no punto anterior e denomínase a álxebra de Lie asociada ao grupo $G$ .

Como exemplo concreto, considérese o grupo de Lie SL(n, R) de todas as matrices $n\times n$ con valores reais e determinante 1. O espazo tanxente na matriz identidade pode identificarse co espazo de todas as matrices reais $n\times n$ con traza 0 e a estrutura de álxebra de Lie que vén do grupo de Lie coincide co que xorde do conmutador da multiplicación de matrices.

Homomorfismos, subálxebras e ideais

Un homomorfismo $\varphi :{\mathfrak {a}}\to {\mathfrak {b}}$ entre as álxebras de Lie ${\mathfrak {a}}$ e ${\mathfrak {b}}$ sobre o mesmo corpo de base $\mathbb {F}$ é unha función $\mathbb {F}$ -linear tal que $[\varphi (x),\varphi (y)]=\varphi ([x,y])$ para todo x e y en ${\mathfrak {a}}$ . A composición deses homomorfismos é outra vez un homomorfismo, e as álxebras de Lie sobre o corpo $\mathbb {F}$ , xunto con estes morfismos, forman unha categoría. Se ese homomorfismo é bixectivo, chámase isomorfismo, e as dúas álxebras de Lie ${\mathfrak {a}}$ e ${\mathfrak {b}}$ chámanse isomorfas. Para todos os efectos prácticos, as álxebras de Lie isomorfas son idénticas.

Unha subálxebra da álxebra de Lie ${\mathfrak {a}}$ é un subespazo vectorial ${\mathfrak {b}}$ de ${\mathfrak {a}}$ tal que $[x,y]\in {\mathfrak {b}}$ para todo $x,y\in {\mathfrak {b}}$ . É dicir, $[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]\subset {\mathfrak {b}}$ . A subálxebra é entón unha álxebra de Lie.

Un ideal da álxebra de Lie A é un subespazo vectorial I de A tales que [a, y]∈I para todo a∈A y∈I. i.e. [A, I] ⊆ I. Todos os ideais son subálxebras. Se I é un ideal de A, entón o espazo cociente A/I convértese nunha álxebra de Lie definindo [x + I, y + I] = [x, y] + I para todo x, y ∈ A. Os ideais son precisamente os núcleos de homomorfismos, e o teorema fundamental de homomorfismos é válido para as álxebras de Lie.

Clasificación das álxebras de Lie

As álxebras de Lie reais e complexas poden clasificarse ata un certo grao, e esta clasificación é un paso importante cara a clasificación dos grupos de Lie. Cada álxebra de Lie real ou complexa finito-dimensional preséntase como a álxebra de Lie dun único grupo de Lie simplemente conexo real ou complexo (teorema de Ado), mais pode haber máis dun grupo, aínda máis dun grupo conexo, dando lugar á mesma álxebra. Por exemplo, os grupos SO(3) (matrices ortogonais 3×3 de determinante 1) e SU(2) (matrices unitarias 2×2 de determinante 1), dan lugar á mesma álxebra de Lie, que resulta R³ co produto vectorial. Unha álxebra de Lie é abeliana se o corchete de Lie se anula, é dicir [x, y] = 0 para todo x e y. Máis xeralmente, unha álxebra de Lie A é nilpotente se a serie central é descendente

A ⊇ [A, A] ⊇ [[A, A]], A] ⊇ [[[A, A]], A], A] ⊇...

acaba facéndose cero. Polo teorema de Engel, unha álxebra de Lie é nilpotente se e só se para cada x en A, a función ad(x): A -> A definida por

ad(x)(y) = [x, y]

é nilpotente. Máis xeralmente aínda, unha álxebra de Lie A é solúbel se a serie derivada

A ⊇ [A, A] ⊇ [[A, A]], [[A, A]] ⊇ [[[A, A]], [[A, A]],[[A, A]], [A, A]]] ⊇ ...

acaba facéndose cero. Unha subálxebra solúbel maximal denomínase subálxebra de Borel.

Unha álxebra de Lie A denomínase semisimple se o único ideal solúbel de A é trivial. Equivalentemente, A é semisimple se e só se a forma de Killing K(x, y) = tr(ad(x)ad(y)) é non-dexenerada; aquí tr denota o operador de traza. Cando o corpo F é de característica cero, A é semisimple se e só se cada representación é totalmente reducíbel, é dicir, que para cada subespazo invariante da representación hai un complemento invariante (teorema de Weyl).

Unha álxebra de Lie é simple se non ten ningún ideal non trivial. En particular, unha álxebra de Lie simple é semisimple, e máis xeralmente, as álxebras de Lie semisimples son suma directa de simples. As álxebras de Lie complexas semi-simples clasifícanse a través dos seus sistemas de raíz.

Véxase tamén

Outros artigos

Ligazóns externas

Miguel A. Rodríguez (2007) Álgebras de Lie de Universidade Complutense de Madrid.
McKenzie, Douglas, (2015), "An Elementary Introduction to Lie Algebras for Physicists"