Axiomas de Birkhoff
Os axiomas de Birkhoff son un conxunto de catro postulados establecidos por G. D. Birkhoff en 1932 para a xeometría euclidiana no plano.[1] Estes postulados están todos baseados na xeometría básica que pode ser confirmada experimentalmente cunha escala e un transportador. Como os postulados se constrúen sobre os números reais, o enfoque é semellante a unha introdución baseada nun modelo da xeometría euclidiana.
O sistema de axiomas de Birkhoff foi utilizado no libro de texto da escola secundaria de Birkhoff e Beatley.[2] Estes axiomas tamén foron modificados polo School Mathematics Study Group para proporcionar un novo estándar para o ensino da xeometría nun instituto de secundaria, coñecidos como axiomas SMSG.[3]
Algúns outros libros de texto dos fundamentos da xeometría usan variantes dos axiomas de Birkhoff .[4]
Postulados
[editar | editar a fonte]A distancia entre dous puntos A e B é denotada por d(A, B), e o ángulo formado por tres puntos A, B, C denótase como ∠ ABC.
- Postulado I: Postulado de medida do segmento: O conxunto de puntos{A, B, ...} sobre unha liña pódese poñer nunha correspondencia 1:1 cos números reais De modo que |b − a| = d(A, B) para todos os puntos A e B.
- Postulado II : Postulado da recta por dous puntos: Hai unha e só unha liña ℓ que contén calquera dous puntos distintos dados P e Q.
- Postulado III : Postulado de medida do ángulo: O conxunto de semirectas {ℓ, m, n, ...} que parten dun punto calquera O pode poñerse en correspondencia 1:1 cos números reais a (mod 2π) así que se A e B son puntos de ℓ e m respectivamente (distintos de O), a diferenza am − aℓ (mod 2π) dos números asociados coas liñas ℓ e m, é ∠ AOB. Ademais, se o punto B en m varía continuamente nunha liña r que non contén o vértice O, o número am' tamén varía continuamente.
- Postulado IV: Postulado de semellanza: Dados dous triángulos ABC e A'B'C' e unha constante k > 0 tal que d(A', B' ) = kd(A, B), d(A', C' ) = kd(A, C) e ∠ B'A'C' = ±∠ BAC entón d(B', C' ) = kd(B, C), ∠ C'B'A' = ±∠ CBA e ∠ A'C'B' = ±∠ ACB.
Notas
[editar | editar a fonte]- ↑ Birkhoff, George David. A Set of Postulates for Plane Geometry (Based on Scale and Protractors). pp. 329–345.
- ↑ Birkhoff, George David; Beatley, Ralph (2000) [first edition, 1940]. Basic Geometry (3rd ed.). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2101-5.
- ↑ "SMSG axioms". Arquivado dende o orixinal o 15 de xuño de 2013. Consultado o 15 de xuño de 2013.
- ↑ Kelly, Paul Joseph; Matthews, Gordon (1981). The non-Euclidean, hyperbolic plane: its structure and consistency. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90552-9.
