Función limitada

En matemáticas, unha función $f$ definida nalgún conxunto $X$ con valores reais ou complexos denomínase limitada se o conxunto dos seus valores está limitado. Noutras palabras, existe un número real $M$ tal que

|f(x)|\leq M

para todo $x$ en $X$ .^[1] No caso contrario a función dise que é non limitada.

Un caso especial importante é unha sucesión limitada, onde $X$ tómase como o conxunto $\mathbb {N}$ dos números naturais. Así unha secuencia $f=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ está limitada se existe un número real $M$ tal que

|a_{n}|\leq M

para cada número natural $n$ . O conxunto de todas as secuencias limitadas forma o espazo das sucesións $l^{\infty }$ .

A definición de limitado pódese xeneralizar a funcións $f:X\rightarrow Y$ tomando valores nun espazo máis xeral $Y$ ao esixir que a imaxe $f(X)$ sexa un conxunto limitado $Y$ .

Nocións relacionadas

Máis débil que o concepto de limitado é o concepto de limitado localmente. Unha familia de funcións limitadas pode estar limitada uniformemente.

Exemplos

A función seno, $\sin :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ está limitada xa que $|\sin(x)|\leq 1$ para todas as $x\in \mathbb {R}$ .^[1]^[2]
A función $f(x)=(x^{2}-1)^{-1}$ , definida para todos os $x$ reais agás para −1 e 1, non ten límites. A medida que $x$ se achega a −1 ou 1, os valores desta función aumentan en magnitude. Esta función pódese limitar se se restrinxe o seu dominio a, por exemplo, $[2,\infty )$ ou $(-\infty ,-2]$ .
A función ${\textstyle f(x)=(x^{2}+1)^{-1}}$ , definida para todos os $x$ reais, está limitada, xa que ${\textstyle |f(x)|\leq 1}$ para todos os $x$ .
A función trigonométrica inversa arco tanxente definida como: $y=\arctan(x)$ ou $x=\tan(y)$ é crecente para todos os números reais $x$ e limitados por $-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}$ radiáns^[3]
Polo Teorema de Weierstrass, toda función continua nun intervalo pechado, como $f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R}$ , está limitada.^[4] De forma máis xeral, calquera función continua dun espazo compacto a un espazo métrico está limitada.
Todas as funcións de valores complexos $f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ que son enteiras son non limitadas ou constantes como consecuencia do Teorema de Liouville.^[5] En particular, a función complexa $\sin :\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ debe ser non límitada xa que é enteira.
A función $f$ que toma o valor 0 para $x$ número racional e 1 para $x$ número irracional (cf. Función de Dirichlet) está limitada. Así, unha función non precisa ter un aspecto usual para estar limitada. O conxunto de todas as funcións limitadas definidas en $[0,1]$ é moito maior que o conxunto das función continuas nese intervalo. Ademais, as funcións continuas non teñen por que estar limitadas; por exemplo, as funcións $g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ e $h:(0,1)^{2}\to \mathbb {R}$ definida por $g(x,y):=x+y$ e $h(x,y):={\frac {1}{x+y}}$ son ambos as dúas continuas, mais ningunha das dúas está limitada.^[6](No entanto, unha función continua debe estar limitada se o seu dominio está pechado e limitado.^[6])