Woods 17 évesen csatlakozott a Nottingham Forest akadémiájához.[1] Eleinte John Middleton és Peter Shilton cseréjeként számítottak rá. Az 1977-78-as szezonban minden mérkőzésen pályára lépett a Ligakupában, a csapat pedig végül megnyerte a tornát. A következő idényben Shilton volt az első számú kapus, a klub pedig megnyerte a Football League-et, a Ligakupát és a BEK-et is.[2] 1979-ben a QPR 250 000 font ellenében megszerezte a 19 éves Woodsot, aki a csapatban töltött két idénye alatt összesen 63 bajnokin kapott lehetőséget.[1] A Norwich City 1981 májusában, 225 000 fontért igazolta le.[3] 1985-ben a klub megnyerte a Ligakupát, azonban a szezon végén kiestek a másodosztályba.[4] 1986-ban, 600 000 fontért a Rangersbe szerződött, ahol már az első évében megnyerte a skót bajnokságot és a skót ligakupát is. 1986 novembere és 1987 januárja között, összesen 1196 percen keresztül nem kapott gólt, ezzel pedig megdöntötte az erre vonatkozó brit rekordot.[5] A Rangersszel összesen négyszer nyerte meg a bajnokságot, és ugyanennyiszer a ligakupát, majd, miután az új edző, Walter SmithAndy Goram kapusra cserélte ki, 1991 augusztusában csapatot váltott, és aláírt a Sheffield Wednesday-hez.[1] Itt elveszítette a Ligakupa döntőjét,[6] majd az FA-kupában is csak ezüstérmes lett,[7] és 107 bajnokival a háta mögött előbb kölcsönbe szerződött a Reading csapatához, majd 1996-ban végleg elhagyta a klubot, és aláírt a Colorado Rapidshez. 1996 októberében kölcsönbe utazott a Southamptonhoz majd négy bajnoki után lábát törte, és visszautazott Amerikába. 1997-ben egy rövid ideig a Sunderland és a Burnley csapatait erősítette, majd 1998-ban visszavonult a labdarúgástól.[8]
Woods 1998-ban az Everton kapusedzője lett.[11] 2013-ban elhagyta az Evertont, és a Manchester United-hez csatlakozott, hogy David Moyes edzősködése alatt ugyanilyen pozícióban dolgozzon.[11] A csapattól nem távozott ugyan Moyes kirúgásakor, röviddel később azonban igen, amikor Louis van Gaal lett a vezetőedző.[12] 2015 júniusában a West Ham-nél lett kapusedző, innen 2018 májusában távozott, amint Manuel Pellegrinit nevezték ki edzőnek.[13]
