Heildun með innsetningu

Heildun með innsetningu (eða innsetningaraðferð) er aðferð við heildun sem felur í sér að "fela" hluta fallsins undir nýrri breytu. Fallið er svo heildað með þekktri aðferð og breytunni skipt út fyrir upprunalega gildið.

$\int {\frac {5}{4+5x}}dx=\int {\frac {1}{t}}dt=\ln(t)+C=\ln(4+5x)+C$

Í dæminu hér að ofan er breytistærðin t sett inn í staðin fyrir gildið 4 + 5x. t er svo diffruð til að skipta út dx: dt = t' = (4 + 5x)' = 5dx.

Þessi aðferð er oft notuð til að koma föllum á form sem er þekkt og þægilegt að heilda.

$\int {\frac {8x}{16x^{4}+8x^{2}+2}}dx=\int {\frac {8x}{1+(4x^{2}+1)^{2}}}dx=\int {\frac {1}{1+t^{2}}}dt=\arctan(t)+C=\arctan(4x^{2}+1)+C$

Hérna er t = 4x² + 1 og þannig dt = 8x dx. Þessi aðferð hentar einkar vel hér til að einfalda annars illa útlítandi dæmi.

Innsetningaraðferð er hægt að nota við ákveðin heildi líkt og óákveðin.

$\int _{0}^{1}8e^{8x}\,dx=\int _{0}^{8}e^{t}\,dt=\left[e^{t}\right]_{0}^{8}=e^{8}-1$

Athugið að með ákveðin heildi er óþarfi að setja upprunalegu stærðina inn aftur, svo framarlega sem útgildunum(?) sé breytt þannig að miðað sé við nýja breytistærð. Í dæminu hér að ofan er t = 8x svo efra markið breytist úr 1 yfir í 8.